Série 1 — Les règles de base · Triangles · Psychométriques

Une série, dix questions, dix minutes : une minute par question, le rythme de l'examen. Lancez le chrono, répondez aux dix questions sans ouvrir un seul corrigé, puis corrigez toute la série d'un coup et notez votre score sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : reprenez le corrigé de chaque question manquée et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : retournez au cours avant de poursuivre.

Le réflexe de la série : nommez la règle avant de calculer. Trois longueurs ? L'inégalité triangulaire, sur le plus grand côté seulement. Un angle dehors ? L'angle extérieur, somme des deux angles qui ne le touchent pas. Deux triangles entre deux parallèles ? La même hauteur, et les aires suivent les bases, sans carré.

Exercices

Exercice 1

Lequel des triplets suivants ne peut pas être celui des longueurs des trois côtés d'un triangle ?

$8$ , $10$ et $17$
$5$ , $6$ et $12$
$7$ , $7$ et $13$
$2$ , $9$ et $10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $5$ , $6$ et $12$

Corrigé :

2 + 9 = 11 > 10

le petit côté est très court, mais la somme des deux petits dépasse encore le grand

7 + 7 = 14 > 13

8 + 10 = 18 > 17

5 + 6 = 11 < 12

les deux petits côtés ne rejoignent pas les extrémités du grand

La bonne réponse : « $5$ , $6$ et $12$ ». Seul le test du plus grand côté compte : $5 + 6 = 11$ , moins que $12$ . « $2$ , $9$ et $10$ » attire par son tout petit côté, mais $2 + 9 = 11$ dépasse $10$ : le triangle existe, très aplati. « $7$ , $7$ et $13$ » paraît trop long ; pourtant $7 + 7 = 14 > 13$ . « $8$ , $10$ et $17$ » passe de justesse : $8 + 10 = 18 > 17$ .

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Exercice 2

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB = 27$ et $BC = 36$ . Que vaut $AC$ ?

$45$
$9$
$54$
$63$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $45$

Corrigé :

\begin{aligned}27 &= 9 \times 3 \\ \quad 36 &= 9 \times 4\end{aligned}

le facteur commun 9 fait apparaître le triplet 3-4-5

\begin{aligned}AC &= 9 \times 5 \\ &= 45\end{aligned}

La bonne réponse : « $45$ ». « $63$ » additionne les deux côtés de l'angle droit au lieu de leurs carrés. « $9$ » s'arrête au facteur commun, sans le multiplier par $5$ . « $54$ » double le petit côté, la règle du triangle $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ , qui n'est pas donné ici.

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Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ , $CA = CB$ . On prolonge le côté $AC$ au-delà de $C$ jusqu'au point $D$ . Combien de fois l'angle $\widehat{BCD}$ est-il plus grand que l'angle $\widehat{CAB}$ ?

$\frac{1}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$1$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2$

Corrigé :

\widehat{BCD} = \widehat{CAB} + \widehat{CBA}

l'angle extérieur en C est la somme des deux angles intérieurs qui ne le touchent pas

\widehat{CBA} = \widehat{CAB}

CA = CB : les angles à la base AB sont égaux

\widehat{BCD} = 2\,\widehat{CAB}

quels que soient les angles

La bonne réponse : « $2$ ». « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que le rapport dépend de la mesure des angles : il vaut $2$ pour tout triangle où $CA = CB$ . « $1$ » égale l'angle extérieur à un seul des deux angles qui ne le touchent pas. « $\frac{1}{2}$ » renverse le rapport : c'est $\widehat{CAB}$ qui est la moitié de $\widehat{BCD}$ .

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Exercice 4

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB = 12$ et $BC = 10$ . Le point $D$ est sur $AB$ , et $DB = 5$ . Quelle est l'aire du triangle grisé $ADC$ ?

$25$
$70$
$35$
$42$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $35$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{12 \times 10}{2} \\ &= 60\end{aligned}

\begin{aligned}S_{DBC} &= \frac{5 \times 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

le triangle blanc : sa base DB est sur un côté de l'angle droit, sa hauteur est l'autre côté, BC

\begin{aligned}S_{ADC} &= 60 - 25 \\ &= 35\end{aligned}

La bonne réponse : « $35$ ». On peut aussi la lire directement : base $AD = 7$ , hauteur $BC = 10$ . « $25$ » est l'aire du triangle blanc $DBC$ , pas celle de la partie grisée. « $70$ » oublie de diviser par $2$ : $7 \times 10$ . « $42$ » prend $AB$ pour la hauteur de $ADC$ , $\frac{7 \times 12}{2}$ : la hauteur relative à $AD$ est $BC$ .

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Exercice 5

Dans le trapèze $ABCD$ , $AB \parallel DC$ , $AB = a$ et $DC = 3a$ . Le point $P$ est sur $DC$ et le point $Q$ sur $AB$ . Que vaut le rapport de l'aire du triangle $ABP$ à l'aire du triangle $DCQ$ ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$3$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{9}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{1}{3}$

Corrigé :

h = \text{distance entre } AB \text{ et } DC

les deux triangles ont pour hauteur la hauteur du trapèze

\begin{aligned}\frac{S_{ABP}}{S_{DCQ}} &= \frac{a \cdot h / 2}{3a \cdot h / 2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{1}{3}$ ». « $\frac{1}{9}$ » élève le rapport des bases au carré, comme pour des triangles semblables ; ces deux triangles ne le sont pas, ils ont seulement la même hauteur. « $3$ » renverse le rapport. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » cherche la hauteur : elle se simplifie, et la place de $P$ et de $Q$ ne compte pas.

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Exercice 6

On a $n$ triangles qui ont tous la même base $b$ . La moyenne de leurs hauteurs relatives à cette base vaut $h$ . Quelle est la somme de leurs aires ?

$nbh$
$\frac{nbh}{2}$
$\frac{bh}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{nbh}{2}$

Corrigé :

h_1 + h_2 + \dots + h_n = nh

la somme des hauteurs se tire de la moyenne

\begin{aligned}\frac{b h_1}{2} + \dots + \frac{b h_n}{2} &= \frac{b}{2}(h_1 + \dots + h_n) \\ &= \frac{nbh}{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{nbh}{2}$ ». « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut chaque hauteur : seule leur somme compte, et la moyenne la donne. « $\frac{bh}{2}$ » est l'aire d'un seul triangle « moyen », pas la somme des $n$ aires. « $nbh$ » oublie la division par $2$ de la formule de l'aire.

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Exercice 7

Dans un repère, $A = (4\,;\,12)$ , $B = (10\,;\,2)$ , et le point $C$ est sur l'axe des ordonnées, à l'ordonnée $6$ . $M$ est le milieu de $AB$ , et $N$ le milieu de $MC$ . Quelles sont les coordonnées de $N$ ?

$(6{,}5\,;\,3{,}5)$
$(7\,;\,7)$
$(3{,}5\,;\,6{,}5)$
$(2\,;\,9)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(3{,}5\,;\,6{,}5)$

Corrigé :

C = (0\,;\,6)

un point de l'axe des ordonnées a pour abscisse 0

\begin{aligned}M &= \left(\frac{4 + 10}{2}\,;\,\frac{12 + 2}{2}\right) \\ &= (7\,;\,7)\end{aligned}

\begin{aligned}N &= \left(\frac{7 + 0}{2}\,;\,\frac{7 + 6}{2}\right) \\ &= (3{,}5\,;\,6{,}5)\end{aligned}

La bonne réponse : « $(3{,}5\,;\,6{,}5)$ ». « $(6{,}5\,;\,3{,}5)$ » inverse l'abscisse et l'ordonnée. « $(7\,;\,7)$ » s'arrête au premier milieu, $M$ . « $(2\,;\,9)$ » prend le milieu de $AC$ au lieu de celui de $MC$ .

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Exercice 8

Les angles $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ du triangle $ABC$ sont dans le rapport $3 : 4 : 5$ . Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

$\widehat{C} = 75^\circ$
$BC : CA : AB = 3 : 4 : 5$
Le triangle $ABC$ est rectangle
$AB < BC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\widehat{C} = 75^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}3 + 4 + 5 &= 12 \\ \quad \frac{180^\circ}{12} &= 15^\circ\end{aligned}

une part d'angle

\begin{aligned}\widehat{A} &= 45^\circ \\ \quad \widehat{B} &= 60^\circ \\ \quad \widehat{C} &= 75^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $\widehat{C} = 75^\circ$ ». « $BC : CA : AB = 3 : 4 : 5$ » croit que les côtés suivent le rapport des angles : ils sont rangés dans le même ordre, mais pas dans le même rapport. « Le triangle $ABC$ est rectangle » reconnaît le triplet $3$ - $4$ - $5$ , qui parle ici d'angles : le plus grand vaut $75^\circ$ . « $AB < BC$ » inverse l'ordre : $AB$ fait face au plus grand angle, $\widehat{C}$ , c'est le plus grand côté.

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Exercice 9

$ABCD$ est un trapèze isocèle : $AB \parallel DC$ et $AD = BC$ . On donne $\widehat{ABC} = 110^\circ$ et $\widehat{ACB} = 40^\circ$ . Les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent en $O$ . Que vaut $\widehat{AOD}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$70^\circ$
$60^\circ$
$80^\circ$
$120^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{BCD} &= 180^\circ - 110^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

deux angles voisins d'un même côté oblique sont supplémentaires

\begin{aligned}\widehat{ACD} &= 70^\circ - 40^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{BDC} &= \widehat{ACD} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

le trapèze isocèle est symétrique

\begin{aligned}\widehat{AOD} &= 30^\circ + 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

angle extérieur du triangle DOC en O

La bonne réponse : « $60^\circ$ ». « $120^\circ$ » est l'angle intérieur $\widehat{DOC}$ du petit triangle, pas l'angle extérieur demandé. « $70^\circ$ » recopie $\widehat{BCD}$ , un angle de la figure. « $80^\circ$ » prend $\widehat{ACB} = 40^\circ$ pour l'angle du petit triangle en $C$ : $40^\circ + 40^\circ$ .

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Exercice 10

On connaît l'aire d'une figure, et rien d'autre. Pour laquelle des figures suivantes cette aire suffit-elle à déterminer le périmètre ?

un triangle isocèle
un triangle rectangle
un rectangle
un triangle équilatéral

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Réponse : D un triangle équilatéral

Corrigé :

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 \\ \quad P &= 3c\end{aligned}

une seule longueur, le côté c, fixe le triangle équilatéral : l'aire donne c, donc le périmètre

\begin{aligned}\frac{2 \times 2}{2} &= \frac{4 \times 1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

deux triangles isocèles de même aire : base 2 et hauteur 2, base 4 et hauteur 1

La bonne réponse : « un triangle équilatéral ». Sa forme est fixée, une seule longueur reste libre : l'aire la détermine, et le périmètre avec elle. « un triangle isocèle » garde un degré de liberté : base $2$ et hauteur $2$ , ou base $4$ et hauteur $1$ , donnent la même aire et deux périmètres différents. « un triangle rectangle » aussi : côtés de l'angle droit $2$ et $2$ , ou $1$ et $4$ . « un rectangle » aussi : $2 \times 2$ et $1 \times 4$ ont la même aire, et des périmètres de $8$ et de $10$ .

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Exercices

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