On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Six questions, une par geste central du chapitre : l'inégalité triangulaire, deux fois ; les aires à même hauteur ; l'aire écrite deux fois ; les triangles semblables dans un triangle rectangle ; l'ordre des angles et des côtés. Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

À chaque question, manipulez d'abord la figure. Puis, à chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications.

Un mauvais choix ne coûte rien ici ; à l'examen, il coûte la question.

Le réflexe à installer : un triangle quelconque se lit avec des inégalités et des rapports, presque jamais avec une mesure. Deux côtés enferment le troisième, un angle désigne le côté qui lui fait face, deux triangles de même hauteur ont des aires dans le rapport de leurs bases.

1 — Combien de longueurs entières ?

59?ABC

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — L'isocèle dont on connaît deux côtés

511

Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — Deux découpes, une aire

2xxABCDE

Votre question jumelle : la troisième de la liste. Le point EE n'y est plus un milieu.

4 — L'aire écrite deux fois

10915?BAHCK

Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — La hauteur du triangle rectangle

49?ABCD

Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

6 — Des angles aux côtés

48°110°ABCE

Votre question jumelle : la sixième de la liste.

Si vos six jumelles tombent juste, passez aux séries : elles varient l'habillage de ces gestes, et les combinent parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

613?ABC

Deux côtés d'un triangle mesurent 66 et 1313. La longueur du troisième côté est un nombre entier. Combien de valeurs peut-elle prendre ?

  1. 1212
  2. 1313
  3. 1818
  4. 1111
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1111

Corrigé :

13−6<c<13+613 - 6 < c < 13 + 6

l'inégalité triangulaire, dans les deux sens

7<c<197 < c < 19

les entiers de 88 à 1818

18−8+1=1118 - 8 + 1 = 11

ou le raccourci : 2×6−1=112 \times 6 - 1 = 11

La bonne réponse : « 1111 ». Même geste que la première question : un intervalle ouvert, puis on compte. « 1313 » garde les deux bornes, 77 et 1919, qui donnent des triangles aplatis. « 1212 » calcule 19−719 - 7, ce qui revient à garder une borne. « 1818 » oublie la borne inférieure et compte de 11 à 1818.

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Exercice 2

614

Un triangle isocèle a un côté de 66 et un côté de 1414. Quel est son périmètre ?

  1. 2020
  2. 3434
  3. 2626 ou 3434
  4. 2626
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 3434

Corrigé :

6+6=12<146 + 6 = 12 < 14

le triangle 66, 66, 1414 ne se ferme pas

14+14+6=3414 + 14 + 6 = 34

il reste le triangle 1414, 1414, 66

La bonne réponse : « 3434 ». On essaie les deux côtés doublés, et l'inégalité triangulaire en élimine un. « 2626 » double le petit côté : 6+66 + 6 ne dépasse pas 1414. « 2626 ou 3434 » oublie de vérifier. « 2020 » additionne les deux données sans troisième côté.

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Exercice 3

2xx2yyABCDE

L'aire du triangle ABCABC vaut 4545. Le point DD est sur BCBC, avec BD=2⋅DCBD = 2 \cdot DC. Le point EE est sur ADAD, avec AE=2⋅EDAE = 2 \cdot ED. Quelle est l'aire du triangle grisé BECBEC ?

  1. 1515
  2. 22,522{,}5
  3. 1010
  4. 3030
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1515

Corrigé :

SABD=30 SADC=15\begin{aligned}S_{ABD} &= 30 \\ \ S_{ADC} &= 15\end{aligned}

même hauteur issue de A : les aires suivent BD et DC, dans le rapport 2 : 1

SBED=303=10 SCED=153=5\begin{aligned}S_{BED} &= \dfrac{30}{3} \\ &= 10 \\ \ S_{CED} &= \dfrac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

ED est le tiers de AD : même hauteur issue de B, puis issue de C

SBEC=10+5=15\begin{aligned}S_{BEC} &= 10 + 5 \\ &= 15\end{aligned}

soit le tiers de 4545, comme ED est le tiers de AD

La bonne réponse : « 1515 ». Le rapport BD:DCBD : DC ne sert à rien : BECBEC vaut toujours EDAD\dfrac{ED}{AD} de l'aire totale. « 3030 » est l'aire de ce qui reste, ABEABE et ACEACE ensemble. « 22,522{,}5 » traite EE comme le milieu de ADAD. « 1010 » ne garde que BEDBED et oublie CEDCED.

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Exercice 4

81220?BAHCK

Dans le triangle ABCABC, AB=8AB = 8 et BC=20BC = 20. La hauteur issue de CC tombe en HH, sur le prolongement de BABA, et CH=12CH = 12. Que vaut la hauteur issue de AA, relative au côté BCBC ?

  1. 1212
  2. 9,69{,}6
  3. 4,84{,}8
  4. 3030
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 4,84{,}8

Corrigé :

S=8⋅122=48\begin{aligned}S &= \dfrac{8 \cdot 12}{2} \\ &= 48\end{aligned}

base AB, hauteur CH : la hauteur tombe dehors, la formule ne change pas

20⋅h2=48 ⇒ h=4,8\begin{aligned}\dfrac{20 \cdot h}{2} &= 48 \ \Rightarrow\ h \\ &= 4{,}8\end{aligned}

la même aire, avec BC pour base

La bonne réponse : « 4,84{,}8 ». Le côté BCBC est le plus long des deux : sa hauteur est la plus courte. « 3030 » écrit la proportion à l'envers, comme si hauteur et côté grandissaient ensemble. « 1212 » croit que toutes les hauteurs sont égales. « 9,69{,}6 » oublie de diviser par deux dans une des deux écritures de l'aire.

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Exercice 5

416?ABCD

Le triangle ABCABC est rectangle en CC. La hauteur CDCD découpe l'hypoténuse en AD=4AD = 4 et DB=16DB = 16. Que vaut CDCD ?

  1. 88
  2. 1212
  3. 1010
  4. 4174\sqrt{17}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 88

Corrigé :

△ADC∼△CDB\triangle ADC \sim \triangle CDB

un angle droit en D chacun, et l'angle en A égale l'angle BCD

CD2=AD⋅DB=4⋅16=64\begin{aligned}CD^2 &= AD \cdot DB \\ &= 4 \cdot 16 \\ &= 64\end{aligned}

les petits côtés sur les grands, dans les deux triangles

CD=8CD = 8

la racine

La bonne réponse : « 88 ». « 1010 » fait la moyenne de 44 et 1616, au lieu du produit. « 1212 » soustrait : 16−416 - 4. « 4174\sqrt{17} » applique Pythagore à 44 et 1616 comme s'ils étaient les côtés de l'angle droit d'un même triangle.

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Exercice 6

35°100°ABCE

Dans le triangle ABCABC, A^=35∘\widehat{A} = 35^\circ, et l'angle extérieur en BB mesure 100∘100^\circ. Rangez les côtés du plus court au plus long.

  1. BC<AC<ABBC < AC < AB
  2. AC<AB<BCAC < AB < BC
  3. BC<AB<ACBC < AB < AC
  4. AB<AC<BCAB < AC < BC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C BC<AB<ACBC < AB < AC

Corrigé :

B^=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\widehat{B} &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

l'angle intérieur voisin de l'extérieur

C^=100∘−35∘=65∘\begin{aligned}\widehat{C} &= 100^\circ - 35^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

l'angle extérieur en B est la somme de A et de C

A^<C^<B^ ⇒ BC<AB<AC\widehat{A} < \widehat{C} < \widehat{B} \ \Rightarrow\ BC < AB < AC

chaque angle est remplacé par le côté qui lui fait face

La bonne réponse : « BC<AB<ACBC < AB < AC ». « AC<AB<BCAC < AB < BC » est l'ordre inverse. « AB<AC<BCAB < AC < BC » remplace chaque angle par le côté qui part de son sommet — A^\widehat{A} par ABAB, C^\widehat{C} par ACAC, B^\widehat{B} par BCBC — au lieu du côté qui lui fait face. « BC<AC<ABBC < AC < AB » échange B^\widehat{B} et C^\widehat{C} : il attribue 180∘−100∘=80∘180^\circ - 100^\circ = 80^\circ à l'angle en CC.

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Exercice 7

710?ABC

Deux côtés d'un triangle mesurent 77 et 1010. La longueur du troisième côté est un nombre entier. Combien de valeurs peut-elle prendre ?

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Réponse : 13

Corrigé :

10−7<c<10+710 - 7 < c < 10 + 7

l'inégalité triangulaire

c∈{4,5,…,16}c \in \{4, 5, \ldots, 16\}

16−4+1=1316 - 4 + 1 = 13, ou 2×7−1=132 \times 7 - 1 = 13

1313. Le piège : 17−3=1417 - 3 = 14, qui garde une borne. Les bornes 33 et 1717 aplatissent le triangle.

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Exercice 8

???ABC

Un triangle isocèle a un côté de 44 et un côté de 1010. Quel est son périmètre ?

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Réponse : 24

Corrigé :

4+4=8<104 + 4 = 8 < 10

44, 44, 1010 ne se ferme pas

10+10+4=2410 + 10 + 4 = 24

le seul isocèle possible

2424. Le piège : 4+4+10=184 + 4 + 10 = 18, un triangle qui n'existe pas.

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Exercice 9

ABCDE

L'aire du triangle ABCABC vaut 6060. Le point DD est sur BCBC, avec BD=3⋅DCBD = 3 \cdot DC, et EE est le milieu de ADAD. Quelle est l'aire du triangle grisé ABEABE ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22.5

Corrigé :

SABD=34⋅60=45\begin{aligned}S_{ABD} &= \dfrac{3}{4} \cdot 60 \\ &= 45\end{aligned}

même sommet AA : BDBD vaut les trois quarts de BCBC

SABE=12⋅45=22,5\begin{aligned}S_{ABE} &= \dfrac{1}{2} \cdot 45 \\ &= 22{,}5\end{aligned}

BEBE est une médiane de ABDABD

22,522{,}5. Le piège : 603=20\dfrac{60}{3} = 20, en lisant BD=3⋅DCBD = 3 \cdot DC comme « BDBD est le tiers ». BDBD vaut trois parts sur quatre.

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Exercice 10

12189BACH

Dans le triangle ABCABC, AB=12AB = 12 et BC=18BC = 18. La hauteur issue de CC tombe en HH, sur le prolongement de BABA, et CH=9CH = 9. Que vaut la hauteur issue de AA, relative au côté BCBC ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

S=12⋅92=54\begin{aligned}S &= \dfrac{12 \cdot 9}{2} \\ &= 54\end{aligned}

base ABAB, hauteur CHCH

18⋅h2=54 ⇒ h=6\begin{aligned}\dfrac{18 \cdot h}{2} &= 54 \ \Rightarrow\ h \\ &= 6\end{aligned}

la même aire, base BCBC

66. Le piège : prendre HBHB comme base, alors que la base reste le côté AB=12AB = 12.

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Exercice 11

312?ABCD

Le triangle ABCABC est rectangle en CC. La hauteur CDCD découpe l'hypoténuse en AD=3AD = 3 et DB=12DB = 12. Que vaut CDCD ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

CD2=AD⋅DB=3⋅12=36\begin{aligned}CD^2 &= AD \cdot DB \\ &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

les triangles ADCADC et CDBCDB sont semblables

CD=6CD = 6

66. Le piège : 3+122=7,5\dfrac{3 + 12}{2} = 7{,}5, la médiane issue de l'angle droit, plus longue que la hauteur.

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Exercice 12

50°120°ABCD

Dans le triangle ABCABC, A^=50∘\widehat{A} = 50^\circ, et l'angle extérieur en CC mesure 120∘120^\circ. Alors BC<AB<ACBC < AB < AC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

C^=180∘−120∘=60∘ B^=120∘−50∘=70∘\begin{aligned}\widehat{C} &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ \\ \ \widehat{B} &= 120^\circ - 50^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

l'angle voisin, puis l'angle extérieur

A^<C^<B^ ⇒ BC<AB<AC\widehat{A} < \widehat{C} < \widehat{B} \ \Rightarrow\ BC < AB < AC

chaque angle désigne le côté qui lui fait face

Vrai. Le piège : prendre C^=120∘\widehat{C} = 120^\circ pour l'angle intérieur, et croire ABAB le plus long.

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