Le réflexe triangles

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Le triangle est la figure la plus fréquente de la section quantitative.

Le chapitre des triangles particuliers traitait ce qui se calcule : Pythagore, les triangles 45∘45^\circ-45∘45^\circ-90∘90^\circ et 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ, l'équilatéral, l'isocèle, la chasse aux angles.

Ici, le triangle quelconque : ce qu'on sait de lui sans connaître ses angles. L'examen y demande un côté possible, un rapport d'aires, un ordre de longueurs, une hauteur.

Le chapitre tient en huit gestes : trois règles de base, deux gestes de longueurs, trois gestes d'aires, les triangles semblables sans parallèles, et le « nécessairement vrai ».

Geste 1 — Trois règles qui rapportent des points

Trois règles servent dans presque toute question de triangle.

A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ

dans tout triangle ; le formulaire l'imprime pour tout polygone, 180∘(n−2)180^\circ(n - 2)

angle exteˊrieur en C=A^+B^\text{angle extérieur en } C = \widehat{A} + \widehat{B}

sans passer par l'angle intérieur en CC : un calcul de moins

S=base⋅hauteur2S = \dfrac{\text{base} \cdot \text{hauteur}}{2}

la hauteur est perpendiculaire à la base, et relie la base au sommet opposé

Un angle extérieur est l'angle entre un côté et le prolongement d'un autre.

Un angle extérieur d'un triangle mesure 130∘130^\circ. Un des deux angles intérieurs qui ne le touchent pas mesure 45∘45^\circ. Que vaut l'autre ?

Voir la réponse et le corrigé

85∘85^\circ. L'angle extérieur est la somme des deux : 130∘−45∘=85∘130^\circ - 45^\circ = 85^\circ. Inutile de calculer l'angle intérieur voisin, 50∘50^\circ : il sert seulement à vérifier, 45∘+85∘+50∘=180∘45^\circ + 85^\circ + 50^\circ = 180^\circ.

La hauteur est la distance du sommet à la droite qui porte la base.

Dans un triangle obtus, cette droite se prolonge, et la hauteur tombe dehors.

La formule ne change pas : on garde la base du triangle, pas le segment prolongé.

Deux confusions fréquentes.

hauteur=un coˆteˊ du triangle\text{hauteur} = \text{un côté du triangle}
hauteur⊥base\text{hauteur} \perp \text{base}

un côté n'est une hauteur que si l'angle est droit ; dans un triangle obtus, la hauteur est souvent hors de la figure

angle exteˊrieur=180∘−un angle opposeˊ\text{angle extérieur} = 180^\circ - \text{un angle opposé}
angle exteˊrieur=somme des deux opposeˊs\text{angle extérieur} = \text{somme des deux opposés}

le supplément concerne l'angle intérieur VOISIN, pas les deux autres

Geste 2 — L'inégalité triangulaire : quelles longueurs sont possibles

Trois baguettes ne font pas toujours un triangle.

Les deux petites doivent se rejoindre au-dessus de la grande : leur somme doit dépasser la grande. Égale, le triangle s'aplatit ; plus petite, il ne se ferme pas.

Deux côtés aa et bb connus : le troisième est strictement entre leur différence et leur somme.

∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

Les deux bornes sont exclues, et c'est là que se cachent les distracteurs. Le formulaire n'en dit rien : il faut le savoir.

Le raccourci d'examen : avec deux côtés entiers, le nombre de valeurs entières du troisième est 2×(le plus petit)−12 \times (\text{le plus petit}) - 1. Ici, 2×3−1=52 \times 3 - 1 = 5. Le plus grand côté ne compte pas — il fixe seulement le centre de l'intervalle.

Deux côtés d'un triangle mesurent 55 et 88. Le périmètre peut-il valoir 2626 ?

Voir la réponse et le corrigé

Non. Le troisième côté serait 26−13=1326 - 13 = 13, soit exactement 5+85 + 8 : le triangle s'aplatit. Le périmètre est strictement entre 5+8+3=165 + 8 + 3 = 16 et 5+8+13=265 + 8 + 13 = 26.

La moitié de l'inégalité ne suffit pas.

c<a+bc < a + b
∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

le troisième côté a aussi une borne INFÉRIEURE : avec 33 et 1010, un côté de 55 est impossible

c≤a+bc \le a + b
c<a+bc < a + b

l'égalité donne un segment, pas un triangle : la borne est exclue

Geste 3 — Face au plus grand angle, le plus grand côté

Dans un triangle, les angles et les côtés se rangent dans le même ordre.

Le plus grand angle fait face au plus grand côté ; le plus petit, au plus petit. « Faire face » : le côté qui ne touche pas le sommet de l'angle.

40°60°80°ABC
Le plus grand angle, 80∘80^\circ en CC, fait face au plus grand côté, ABAB, en gras. Le plus petit, 40∘40^\circ en AA, fait face au plus petit, BCBC.
C^>B^  ⟺  AB>AC\widehat{C} > \widehat{B} \iff AB > AC

l'angle en C fait face à AB, l'angle en B fait face à AC — et la règle marche dans les deux sens

B^=C^  ⟺  AB=AC\begin{aligned}\widehat{B} &= \widehat{C} \iff AB \\ &= AC\end{aligned}

c'est l'isocèle : l'égalité est le cas limite de la même règle

angle droit ou obtus⇒il fait face au plus grand coˆteˊ\text{angle droit ou obtus} \Rightarrow \text{il fait face au plus grand côté}

l'hypoténuse est toujours le plus grand côté d'un triangle rectangle

Geste 4 — Même hauteur : les aires suivent les bases

Deux triangles qui ont le même sommet et leurs bases sur la même droite ont la même hauteur.

Leurs aires sont donc dans le rapport de leurs bases — sans carré, sans formule, sans connaître la hauteur.

h24ABDC
ABDABD et ADCADC partagent la hauteur hh issue de AA : leurs aires sont dans le rapport de leurs bases, 2:42 : 4.
SABDSADC=BDDC\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{BD}{DC}

même sommet, bases alignées : le rapport des aires est celui des bases

D milieu de BC⇒SABD=SADCD \text{ milieu de } BC \Rightarrow S_{ABD} = S_{ADC}

la médiane partage l'aire en deux moitiés égales

BD=13BC⇒SABD=13SABC\begin{aligned}BD &= \tfrac{1}{3} BC \Rightarrow S_{ABD} \\ &= \tfrac{1}{3} S_{ABC}\end{aligned}

un point au tiers d'un côté détache le tiers de l'aire

trois meˊdianes⇒6 triangles d’aires eˊgales\text{trois médianes} \Rightarrow 6 \text{ triangles d'aires égales}

elles se coupent au même point et découpent six parts égales

Geste 5 — Les milieux, le papillon, et la même base

Joindre les milieux des trois côtés découpe le triangle en quatre morceaux.

Le triangle du milieu occupe le quart de l'aire. Chacun de ses côtés vaut la moitié du côté qui lui est parallèle.

Dans un trapèze, les deux diagonales découpent quatre triangles.

Les deux triangles posés sur les côtés obliques — le « papillon » — ont toujours la même aire.

La raison : ABDABD et ABCABC ont la même base ABAB et la même hauteur. Chacun contient AOBAOB ; ce qui reste est égal.

La réciproque, que l'examen pose telle quelle : deux triangles de même base et même aire, sommets du même côté, ont leurs sommets sur une parallèle à la base.

BCAD
Même base BCBC, même aire : AA et DD sont à la même distance de BCBC, donc sur une même parallèle à BCBC.

Dans une question « nécessairement vrai », c'est ce parallélisme qui est forcé — jamais l'égalité des autres côtés. Rien n'oblige les deux triangles à être superposables.

Dans un trapèze, les diagonales découpent quatre triangles. Les deux triangles posés sur les bases ont des aires de 99 et de 44. Quelle est l'aire du trapèze ?

Voir la réponse et le corrigé

2525. Les deux triangles des bases sont semblables, dans le rapport 3:23 : 2 (car 9:49 : 4 est un rapport de carrés). Chaque triangle du papillon vaut 9⋅4=6\sqrt{9 \cdot 4} = 6. Total : 9+4+6+6=259 + 4 + 6 + 6 = 25.

Geste 6 — L'aire calculée deux fois

Un triangle a trois hauteurs, une par côté, et une seule aire.

Écrire cette aire avec deux bases donne une équation : le côté le plus long a la hauteur la plus courte.

ach₁h₂ABC
Deux façons d'écrire la même aire : a⋅h12=c⋅h22\dfrac{a \cdot h_1}{2} = \dfrac{c \cdot h_2}{2}.
a⋅ha=b⋅hb=c⋅hc=2S\begin{aligned}a \cdot h_a &= b \cdot h_b \\ &= c \cdot h_c \\ &= 2S\end{aligned}

Le cas le plus fréquent : la hauteur relative à l'hypoténuse.

La hauteur n'est pas la médiane.

h=hypoteˊnuse2h = \dfrac{\text{hypoténuse}}{2}
h=produit des coˆteˊs de l’angle droithypoteˊnuseh = \dfrac{\text{produit des côtés de l'angle droit}}{\text{hypoténuse}}

la moitié de l'hypoténuse est la MÉDIANE issue de l'angle droit ; elle est plus longue que la hauteur, sauf dans le triangle rectangle isocèle

Deux côtés d'un triangle mesurent 88 et 1212. La hauteur relative au côté de 88 mesure 66. Que vaut la hauteur relative au côté de 1212 ?

Voir la réponse et le corrigé

44. L'aire vaut 8⋅62=24\dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24, et 12⋅h2=24\dfrac{12 \cdot h}{2} = 24 donne h=4h = 4. Le côté est une fois et demie plus long, la hauteur une fois et demie plus courte.

Geste 7 — Des triangles semblables sans parallèles

Deux triangles qui ont deux angles égaux sont semblables.

Leur troisième angle est forcément égal aussi, et leurs côtés sont proportionnels. Pas besoin de parallèles.

L'examen cache souvent ces triangles l'un dans l'autre, avec un angle commun et un angle marqué égal.

Le vrai travail est la correspondance : on associe les sommets par les angles. Écrivez les deux triangles dans le même ordre d'angles, et les rapports se lisent sans erreur.

Le cas classique : la hauteur d'un triangle rectangle issue de l'angle droit. Elle découpe deux petits triangles, et les trois triangles de la figure sont semblables.

ααABCD
La hauteur CDCD découpe deux triangles rectangles, ADCADC et CDBCDB. Chacun a un angle droit et un angle α\alpha : tous deux sont semblables à ACBACB.
CD2=AD⋅DBCD^2 = AD \cdot DB

la hauteur, entre les deux segments de l'hypoténuse

AC2=AD⋅ABAC^2 = AD \cdot AB

un côté de l'angle droit, entre son segment et l'hypoténuse entière

S1S2=k2\dfrac{S_1}{S_2} = k^2

des triangles semblables de rapport kk ont des aires dans le rapport k2k^2

Thalès sans parallèle, c'est faux.

ADAC=BDBC\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BD}{BC}
ADAB=BDBC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{BD}{BC}

on apparie les côtés qui font face aux mêmes angles, pas ceux qui sont sur la même droite

S1S2=k\dfrac{S_1}{S_2} = k
S1S2=k2\dfrac{S_1}{S_2} = k^2

une longueur doublée quadruple l'aire

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit découpe l'hypoténuse en segments de 22 et de 88. Que vaut cette hauteur ?

Voir la réponse et le corrigé

44. h2=2⋅8=16h^2 = 2 \cdot 8 = 16. Vérification par Pythagore : les côtés de l'angle droit valent 4+16=20\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} et 64+16=80\sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}, et 20+80=100=10220 + 80 = 100 = 10^2.

Geste 8 — Ce qui est « nécessairement vrai » dans un triangle

Les dernières questions proposent souvent quatre affirmations sur un triangle : laquelle est forcément vraie ?

Quatre outils suffisent : l'inégalité triangulaire, l'ordre des angles et des côtés, les aires à même hauteur, et la réciproque des aires égales.

Tout le reste — un angle droit, deux côtés égaux, un milieu — doit être donné par l'énoncé.

ABCD
DD est sur BCBC et AD=ACAD = AC. L'angle ADC^\widehat{ADC} est un angle de base d'isocèle, donc aigu ; son voisin ADB^\widehat{ADB} est obtus. Dans le triangle ABDABD, l'angle obtus fait face à ABAB : AB>AD=ACAB > AD = AC, où que soit BB.
c>∣a−b∣c > |a - b|

vrai pour tout triangle : chaque côté dépasse la différence des deux autres

c<a+b+c2c < \dfrac{a + b + c}{2}

chaque côté est plus court que le demi-périmètre

AB>AC⇒C^>B^AB > AC \Rightarrow \widehat{C} > \widehat{B}

l'ordre des côtés donne l'ordre des angles

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

FAUX en général : Pythagore exige un angle droit donné

Pour éliminer une affirmation, cherchez un contre-exemple extrême : un triangle presque aplati, un triangle isocèle, un triangle rectangle. Si une seule figure permise rend l'affirmation fausse, elle n'est pas « nécessairement vraie ».

En résumé, les huit gestes :

∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

deux côtés enferment le troisième, bornes exclues

plus grand angle↔plus grand coˆteˊ\text{plus grand angle} \leftrightarrow \text{plus grand côté}

un angle désigne le côté qui lui fait face

S1S2=base1base2\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\text{base}_1}{\text{base}_2}

même sommet, bases alignées ; la médiane coupe en deux

14 SAOD=SBOC\begin{aligned}\tfrac{1}{4} \\ \ S_{AOD} &= S_{BOC}\end{aligned}

les milieux font quatre quarts, le papillon deux aires égales ; même base et même aire : parallèle

a⋅ha=b⋅hba \cdot h_a = b \cdot h_b

l'aire écrite deux fois relie les hauteurs aux côtés

S1S2=k2\dfrac{S_1}{S_2} = k^2

deux angles égaux font des triangles semblables — aires au carré

Exercices

Exercice 1

611?ABC

Deux côtés d'un triangle mesurent 66 et 1111. Laquelle des longueurs suivantes peut être celle du troisième côté ?

  1. 1818
  2. 55
  3. 99
  4. 1717
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 99

Corrigé :

11−6<c<11+611 - 6 < c < 11 + 6

l'inégalité triangulaire, dans les deux sens

5<c<175 < c < 17

seul 99 est strictement entre les deux bornes

La bonne réponse : « 99 ». « 55 » et « 1717 » sont les deux bornes elles-mêmes : avec elles, le triangle s'aplatit en un segment. « 1818 » dépasse la somme des deux autres côtés : les deux côtés ne se rejoindraient jamais.

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Exercice 2

40°75°ABC

Dans le triangle ABCABC, A^=40∘\widehat{A} = 40^\circ et B^=75∘\widehat{B} = 75^\circ. Quel est le plus long côté du triangle ?

  1. BCBC
  2. ABAB
  3. On ne peut pas le savoir
  4. ACAC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ACAC

Corrigé :

C^=180∘−40∘−75∘=65∘\begin{aligned}\widehat{C} &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

le troisième angle

B^=75∘ est le plus grand angle\widehat{B} = 75^\circ \text{ est le plus grand angle}

il fait face au côté AC

La bonne réponse : « ACAC ». Le plus grand angle, B^=75∘\widehat{B} = 75^\circ, a son sommet en BB : le côté qui lui fait face est celui qui ne touche pas BB, soit ACAC. « BCBC » fait face au plus petit angle, A^\widehat{A} : c'est le plus court. « ABAB » fait face à C^=65∘\widehat{C} = 65^\circ, l'angle du milieu. « On ne peut pas le savoir » oublie que deux angles donnent le troisième.

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Exercice 3

ABCMN

L'aire du triangle ABCABC vaut 3030. MM est le milieu de BCBC et NN le milieu de AMAM. Quelle est l'aire du triangle grisé BNMBNM ?

  1. 1515
  2. 7,57{,}5
  3. 55
  4. 1010
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 7,57{,}5

Corrigé :

SABM=302=15\begin{aligned}S_{ABM} &= \dfrac{30}{2} \\ &= 15\end{aligned}

la médiane AM partage ABC en deux triangles de même aire

SBNM=152=7,5\begin{aligned}S_{BNM} &= \dfrac{15}{2} \\ &= 7{,}5\end{aligned}

BN est une médiane du triangle ABM : elle le partage à son tour en deux

La bonne réponse : « 7,57{,}5 ». Deux médianes successives, deux divisions par deux : un quart de l'aire. « 1515 » s'arrête après la première médiane. « 1010 » et « 55 » divisent par trois, comme si MM ou NN étaient placés au tiers d'un côté.

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Exercice 4

912?ABCD

Les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle mesurent 99 et 1212. Que vaut la hauteur relative à l'hypoténuse ?

  1. 66
  2. 7,57{,}5
  3. 10,510{,}5
  4. 7,27{,}2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 7,27{,}2

Corrigé :

92+122=15\sqrt{9^2 + 12^2} = 15

l'hypoténuse (triplet 3-4-5 multiplié par 3)

S=9⋅122=54\begin{aligned}S &= \dfrac{9 \cdot 12}{2} \\ &= 54\end{aligned}

l'aire, avec les deux côtés de l'angle droit comme base et hauteur

h=2⋅5415=7,2\begin{aligned}h &= \dfrac{2 \cdot 54}{15} \\ &= 7{,}2\end{aligned}

la même aire, avec l'hypoténuse comme base

La bonne réponse : « 7,27{,}2 ». L'aire se calcule deux fois : 9⋅122=15⋅h2\dfrac{9 \cdot 12}{2} = \dfrac{15 \cdot h}{2}. « 7,57{,}5 » est la moitié de l'hypoténuse : c'est la médiane issue de l'angle droit, pas la hauteur. « 10,510{,}5 » fait la moyenne des deux côtés. « 66 » prend la moitié d'un côté, sans raison.

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Exercice 5

αα69?ABCD

Dans le triangle ABCABC, AB=6AB = 6 et AC=9AC = 9. Le point DD est sur ACAC, et ABD^=ACB^\widehat{ABD} = \widehat{ACB}. Que vaut ADAD ?

  1. 44
  2. 66
  3. 4,54{,}5
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 44

Corrigé :

△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB

l'angle A est commun et ABD = ACB : deux angles égaux

ADAB=ABAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AB}{AC}

D correspond à B, et B correspond à C

AD=629=4\begin{aligned}AD &= \dfrac{6^2}{9} \\ &= 4\end{aligned}

produit en croix

La bonne réponse : « 44 ». Le côté ABAB joue deux rôles : il est un côté du petit triangle ABDABD et un côté du grand triangle ACBACB. « 4,54{,}5 » place DD au milieu de ACAC, ce que rien ne dit. « 33 » soustrait les longueurs au lieu de les diviser. « 66 » croit le triangle ABDABD isocèle.

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Exercice 6

563BCAH

Dans le triangle ABCABC, l'angle B^\widehat{B} est obtus. HH est sur le prolongement de CBCB, et AH⊥HCAH \perp HC. On donne BC=5BC = 5, HB=3HB = 3 et AH=6AH = 6. Quelle est l'aire du triangle ABCABC ?

  1. 1515
  2. 99
  3. 2424
  4. 3030
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1515

Corrigé :

base BC=5 hauteur AH=6\begin{aligned}\text{base } BC &= 5 \\ \ \text{hauteur } AH &= 6\end{aligned}

la hauteur issue de A tombe hors du triangle, sur le prolongement de la base

S=5⋅62=15\begin{aligned}S &= \dfrac{5 \cdot 6}{2} \\ &= 15\end{aligned}

base fois hauteur sur deux

La bonne réponse : « 1515 ». La hauteur n'a pas besoin de tomber dans le triangle : c'est la distance du sommet à la droite qui porte la base. « 2424 » prend HC=8HC = 8 pour base : c'est l'aire du grand triangle AHCAHC. « 3030 » oublie de diviser par deux. « 99 » est l'aire du petit triangle rectangle AHBAHB.

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Exercice 7

35°?110°ABCD

Dans le triangle ABCABC, A^=35∘\widehat{A} = 35^\circ. On prolonge BCBC au-delà de CC, et l'angle extérieur en CC mesure 110∘110^\circ. Que vaut B^\widehat{B}, en degrés ?

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Réponse : 75

Corrigé :

110∘=35∘+B^110^\circ = 35^\circ + \widehat{B}

l'angle extérieur vaut la somme des deux angles qui ne le touchent pas

B^=110∘−35∘=75∘\begin{aligned}\widehat{B} &= 110^\circ - 35^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

75∘75^\circ. Le piège : 180∘−110∘=70∘180^\circ - 110^\circ = 70^\circ, c'est l'angle intérieur en CC, le voisin de l'angle extérieur — pas B^\widehat{B}.

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Exercice 8

ABC

Dans le triangle ABCABC, l'angle B^\widehat{B} est obtus. Alors la hauteur issue de AA tombe entre BB et CC, sur le segment BCBC.

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Réponse : Faux

Corrigé :

B^>90∘\widehat{B} > 90^\circ

la droite BCBC s'éloigne de AA au-delà de BB

H∉[BC]H \notin [BC]

le pied HH de la hauteur est sur le prolongement de CBCB, au-delà de BB

Faux. Dans un triangle obtus, la hauteur issue d'un sommet de l'angle aigu tombe dehors. Le piège : croire qu'une hauteur reste toujours dans le triangle. La formule de l'aire ne change pas pour autant : base BCBC, hauteur AHAH.

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Exercice 9

411?ABC

Deux côtés d'un triangle mesurent 44 et 1111. Le troisième côté a une longueur entière. Combien de valeurs peut-il prendre ?

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Réponse : 7

Corrigé :

11−4<c<11+411 - 4 < c < 11 + 4

l'inégalité triangulaire

7<c<157 < c < 15

les bornes sont exclues

c∈{8,9,…,14}c \in \{8, 9, \ldots, 14\}

14−8+1=714 - 8 + 1 = 7 valeurs, et 2×4−1=72 \times 4 - 1 = 7

77. Le piège : compter de 77 à 1515, soit 99 valeurs. Avec 77 ou 1515, le triangle s'aplatit en segment.

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Exercice 10

358

Trois baguettes mesurent 33, 55 et 88. On peut former un triangle avec ces trois baguettes.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

3+5=83 + 5 = 8

les deux petites ont exactement la longueur de la grande

8≮3+58 \not< 3 + 5

l'inégalité triangulaire est stricte

Faux. Les deux petites baguettes se couchent à plat sur la grande : un segment, pas un triangle. Le piège : oublier que la borne est exclue.

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Exercice 11

50°70°ABC

Dans le triangle ABCABC, A^=50∘\widehat{A} = 50^\circ et B^=70∘\widehat{B} = 70^\circ. Alors ABAB est le plus long côté du triangle.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

C^=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\widehat{C} &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

le troisième angle

B^=70∘ est le plus grand\widehat{B} = 70^\circ \text{ est le plus grand}

il fait face à ACAC

AC>AB>BCAC > AB > BC

Faux. Le plus long côté est ACAC, en face du plus grand angle, B^\widehat{B}. Le piège : ABAB touche les deux angles donnés, mais il fait face à C^=60∘\widehat{C} = 60^\circ.

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Exercice 12

35?ABDC

L'aire du triangle ABCABC vaut 4040. Le point DD est sur BCBC, avec BD=3BD = 3 et DC=5DC = 5. Quelle est l'aire du triangle grisé ABDABD ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

SABDSABC=BDBC=38\begin{aligned}\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}} &= \dfrac{BD}{BC} \\ &= \dfrac{3}{8}\end{aligned}

même sommet AA, bases sur la même droite

SABD=38⋅40=15\begin{aligned}S_{ABD} &= \dfrac{3}{8} \cdot 40 \\ &= 15\end{aligned}

1515. Le piège : diviser par 55 au lieu de 88. Le rapport se prend sur la base entière, BC=3+5BC = 3 + 5.

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Exercice 13

?ABCDEF

DD, EE et FF sont les milieux des côtés du triangle ABCABC, dont l'aire vaut 4848. Quelle est l'aire du triangle grisé DEFDEF ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

4 triangles superposables4 \text{ triangles superposables}

les milieux découpent ABCABC en quatre

SDEF=484=12\begin{aligned}S_{DEF} &= \dfrac{48}{4} \\ &= 12\end{aligned}

1212. Le piège : répondre 2424, la moitié. Les côtés de DEFDEF sont les moitiés de ceux de ABCABC, donc son aire est le quart.

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Exercice 14

12168?BACHK

Dans le triangle ABCABC, AB=12AB = 12 et BC=16BC = 16. La hauteur issue de CC, relative à ABAB, mesure 88. Que vaut la hauteur issue de AA, relative à BCBC ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

S=12⋅82=48\begin{aligned}S &= \dfrac{12 \cdot 8}{2} \\ &= 48\end{aligned}

l'aire avec la base ABAB

16⋅h2=48 ⇒ h=6\begin{aligned}\dfrac{16 \cdot h}{2} &= 48 \ \Rightarrow\ h \\ &= 6\end{aligned}

la même aire avec la base BCBC

66. Le piège : 8⋅1612\dfrac{8 \cdot 16}{12}, qui fait grandir la hauteur avec le côté. C'est l'inverse : le côté le plus long a la hauteur la plus courte.

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Exercice 15

49hABCD

Le triangle ABCABC est rectangle en CC. La hauteur CDCD découpe l'hypoténuse en AD=4AD = 4 et DB=9DB = 9. Alors CD=6CD = 6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

CD2=AD⋅DB=4⋅9=36\begin{aligned}CD^2 &= AD \cdot DB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

les triangles ADCADC et CDBCDB sont semblables

CD=6CD = 6

Vrai. La hauteur est la moyenne géométrique des deux segments. Le piège : la moyenne 4+92=6,5\dfrac{4 + 9}{2} = 6{,}5, qui est la médiane, pas la hauteur.

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Exercice 16

512?ABC

Dans le triangle ABCABC, AB=5AB = 5 et BC=12BC = 12. Alors, nécessairement, AC>7AC > 7.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

12−5<AC<12+512 - 5 < AC < 12 + 5

l'inégalité triangulaire

7<AC<177 < AC < 17

donc AC>7AC > 7 pour tout triangle

Vrai. La borne inférieure est exclue : AC=7AC = 7 aplatirait le triangle. Le piège : penser qu'un triangle rectangle (AC=13AC = 13) est forcé — rien ne le donne.

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