Lecture d’un graphe quelconque

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלות האלה אין נוסחה — יש רק ציור.

וזה בכוונה: בודקים אם מבינים מה כל שאלה אומרת בשפת הגרף.

מילון הגרף

↗ ↘\nearrow \ \searrow

עלייה וירידה — לאן הגרף הולך משמאל לימין.

+ −+ \ -

חיוביות ושליליות — מעל ציר ה-xx או מתחתיו.

f(x)=0f(x) = 0

פתרון משוואה — איפה הגרף חותך את ציר ה-xx.

f(x)>0f(x) > 0

פתרון אי-שוויון — כל התחום שבו הגרף מעל הציר.

f(x)=g(x)f(x) = g(x)

חיתוך שני גרפים — ערכי ה-xx של נקודות המפגש.

הכלל שפותר את רוב הטעויות: התשובה נכתבת תמיד בערכי xx — גם כשהשאלה מדברת על yy.

«איפה הפונקציה חיובית?» — מה תכתבו בתשובה: ערכי xx או ערכי yy?

Voir la réponse et le corrigé

ערכי xx. «חיובית» הוא התנאי על yy (מעל הציר). התשובה היא תחום של xx שבו התנאי מתקיים.

משוואה מתוך גרף

לפתור f(x)=4f(x) = 4 פירושו: להעביר קו אופקי בגובה 4.

רואים איפה הקו פוגש את הגרף, וקוראים את ערכי ה-xx של נקודות המפגש.

קו אופקי פוגש את הגרף בשלוש נקודות. כמה פתרונות יש למשוואה?

Voir la réponse et le corrigé

שלושה. כל נקודת מפגש היא פתרון אחד — ה-xx שלה.

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש. אפס מפגשים — אין פתרון.

אי-שוויון מתוך גרף

לפתור f(x)>g(x)f(x) > g(x) פירושו: איפה הגרף של ff נמצא מעל הגרף של gg.

קודם מוצאים את נקודות החיתוך. הן מחלקות את הציר לתחומים. בכל תחום בודקים מי למעלה.

ובנקודת החיתוך עצמה — האם f(x)>g(x)f(x) > g(x)?

Voir la réponse et le corrigé

לא. שם שני הגרפים שווים. לכן נקודת החיתוך היא גבול התחום, ולא חלק מהתשובה.

פונקציה זוגית ואי-זוגית

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

זוגית — הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy, כמו השתקפות במראה. דוגמה: y=x2y = x^2.

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

אי-זוגית — הגרף סימטרי ביחס לראשית, כלומר סיבוב של חצי סיבוב. דוגמה: y=x3y = x^3.

רוב הפונקציות לא זוגיות ולא אי-זוגיות.

זה המקרה השכיח, לא היוצא דופן. אין חובה שפונקציה תהיה אחת מהשתיים.

בדיקה אלגברית

האם f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 זוגית?

f(−x)=(−x)2+1f(-x) = (-x)^2 + 1

מציבים −x-x במקום xx

=x2+1= x^2 + 1

כי מינוס בריבוע נותן פלוס

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

יצא אותו דבר — הפונקציה זוגית

שתי הטעויות של קריאת גרף.

f(x)>0 כאשר y>0f(x) > 0 \ \text{כאשר} \ y > 0
f(x)>0 כאשר x>2f(x) > 0 \ \text{כאשר} \ x > 2

התשובה נכתבת בערכי xx. ה-yy הוא התנאי, לא התשובה.

פתרון f(x)=4 הוא y=4\begin{aligned}\text{פתרון } f(x) &= 4 \ \text{הוא } y \\ &= 4\end{aligned}
פתרון f(x)=4 הוא ערכי x של המפגש\text{פתרון } f(x) = 4 \ \text{הוא ערכי } x \ \text{של המפגש}

ה-4 כבר נתון — מחפשים איפה הוא מתקבל, כלומר את ה-xx.

מה מספר גרף שעולה, מתיישר ואז יורד?

Voir la réponse et le corrigé

עלייה, עצירה בפסגה (מקסימום), ואז ירידה. את הסיפור קוראים משמאל לימין — כמו טקסט באנגלית.

Exercices

Exercice 1

בגרף, כדי לפתור f(x)=4f(x) = 4 — מה עושים?

  1. מעבירים קו אופקי בגובה 4 וקוראים את ערכי ה-xx
  2. מחשבים את שיפוע הגרף
  3. מעבירים קו אנכי ב-x=4x = 4
  4. מחפשים איפה הגרף חותך את ציר ה-yy
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מעבירים קו אופקי בגובה 4 וקוראים את ערכי ה-xx

Corrigé :

y=4y = 4

קו אופקי

קוראים את x\text{קוראים את } x

בנקודות המפגש

ה-4 כבר נתון — מחפשים איפה הוא מתקבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הפונקציה f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 — האם היא זוגית?

  1. אי-זוגית
  2. כן, כי f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
  3. לא, כי יש מספר חופשי
  4. לא זוגית ולא אי-זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כן, כי f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

Corrigé :

f(−x)=(−x)2+1f(-x) = (-x)^2 + 1

On remplace (מציבים)

=x2+1=f(x)= x^2 + 1 = f(x)

מינוס בריבוע נותן פלוס

הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפונקציה f(x)=x3f(x) = x^3 — מה נכון?

  1. לא זוגית ולא אי-זוגית
  2. אי-זוגית
  3. זוגית
  4. זוגית וגם אי-זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אי-זוגית

Corrigé :

f(−x)=(−x)3=−x3\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^3 \\ &= -x^3\end{aligned}

חזקה אי-זוגית שומרת את המינוס

=−f(x)= -f(x)

זו ההגדרה של אי-זוגית

הגרף סימטרי ביחס לראשית — סיבוב של חצי סיבוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפתור f(x)>g(x)f(x) > g(x) מתוך גרף פירושו:

  1. למצוא את נקודות החיתוך בלבד
  2. למצוא איפה גרף ff נמצא מעל גרף gg
  3. למצוא איפה ff עולה
  4. למצוא איפה שניהם מעל ציר ה-xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B למצוא איפה גרף ff נמצא מעל גרף gg

Corrigé :

f מעל gf \ \text{מעל} \ g

זו המשמעות הגרפית

התשובה בערכי x\text{התשובה בערכי } x

תחום, לא נקודה

נקודות החיתוך הן רק הגבולות של התחום, לא התשובה עצמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פונקציה יורדת בתחום מסוים ונמצאת שם מעל ציר ה-xx. מה נכון?

  1. לא ייתכן
  2. יורדת ולכן שלילית
  3. יורדת וגם חיובית
  4. חיובית ולכן עולה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C יורדת וגם חיובית

Corrigé :

↘\searrow

כיוון

++

מיקום

שתי שאלות נפרדות לגמרי — אין ביניהן קשר הכרחי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גרף שטוח בגובה 5 בין x=2x=2 ל-x=6x=6 — מה זה אומר?

  1. עלייה מהירה
  2. אין הגדרה
  3. הערך קבוע 5 בקטע הזה
  4. הפונקציה אפס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הערך קבוע 5 בקטע הזה

Corrigé :

y=5y = 5

קבוע

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לגרף מקסימום ב-(3,8)(3, 8). מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

88

ה-y של הפסגה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף חותך את ציר ה-x בשלוש נקודות. כמה אפסים לפונקציה?

  1. אחד
  2. שלושה
  3. אף אחד
  4. שניים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שלושה

Corrigé :

33

כל חיתוך — אפס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

גרף עולה עד x=2x=2, יורד עד x=5x=5, ואז עולה. כמה נקודות קיצון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

22

מקסימום ב-2 ומינימום ב-5

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מאיזה כיוון קוראים גרף?

  1. מימין לשמאל
  2. לא משנה
  3. משמאל לימין תמיד
  4. מהאמצע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C משמאל לימין תמיד

Corrigé :

→\rightarrow

גם בעברית — ציר ה-x גדל ימינה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • ↗ ↘\nearrow \ \searrow
  • + −+ \ -
  • f(x)=0f(x) = 0
  • f(x)>0f(x) > 0
  • חיוביות ושליליות — מעל ציר ה-xx או מתחתיו.
  • עלייה וירידה — לאן הגרף הולך משמאל לימין.
  • פתרון אי-שוויון — כל התחום שבו הגרף מעל הציר.
  • פתרון משוואה — איפה הגרף חותך את ציר ה-xx.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ↗ ↘\nearrow \ \searrow — עלייה וירידה — לאן הגרף הולך משמאל לימין. · + −+ \ - — חיוביות ושליליות — מעל ציר ה-xx או מתחתיו. · f(x)=0f(x) = 0 — פתרון משוואה — איפה הגרף חותך את ציר ה-xx. · f(x)>0f(x) > 0 — פתרון אי-שוויון — כל התחום שבו הגרף מעל הציר.

Corrigé :

Chaque paire ici est apparue dans la leçon — l'association correspond exactement à ce que le tableau (טבלה) montrait.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: התשובה לכל שאלה נכתבת בערכי xx או בערכי yy?

  • ערכי xx
  • ערכי yy
  • האפסים של הפונקציה
  • הערך הגדול ביותר של הפונקציה
  • הערך של f(3)f(3)
  • הפתרונות של המשוואה f(x)=4f(x) = 4
  • התחום שבו f(x)>0f(x) > 0
  • התחום שבו הגרף של ff מעל הגרף של gg
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרונות של המשוואה f(x)=4f(x) = 4 — ערכי xx · התחום שבו f(x)>0f(x) > 0 — ערכי xx · האפסים של הפונקציה — ערכי xx · התחום שבו הגרף של ff מעל הגרף של gg — ערכי xx · הערך הגדול ביותר של הפונקציה — ערכי yy · הערך של f(3)f(3) — ערכי yy

Corrigé :

f(x)=4⇒x=?\begin{aligned}f(x) &= 4 \Rightarrow x \\ &= ?\end{aligned}

ה-4 נתון — מחפשים את ה-xx

f(3)=?f(3) = ?

ה-3 נתון — מחפשים את ה-yy

משוואה, אי-שוויון ואפסים שואלים איפה משהו קורה — והתשובה היא ערכי xx. ערך מקסימלי ו-f(3)f(3) שואלים כמה — והתשובה היא גובה, כלומר ערך של yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ff פונקציה זוגית ו-gg פונקציה אי-זוגית. ידוע ש-f(3)=7f(3) = 7 ו-g(2)=5g(2) = 5. השלימו.

f(−3)=f(-3) = ____, ו-g(−2)=g(-2) = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(−3)=f(-3) = 7, ו-g(−2)=g(-2) = -5

Corrigé :

f(−3)=f(3)=7\begin{aligned}f(-3) &= f(3) \\ &= 7\end{aligned}

זוגית — סימטרית ביחס לציר ה-yy

g(−2)=−g(2)=−5\begin{aligned}g(-2) &= -g(2) \\ &= -5\end{aligned}

אי-זוגית — סימטרית ביחס לראשית

בפונקציה זוגית הנקודה (3,7)(3, 7) משתקפת ל-(−3,7)(-3, 7). בפונקציה אי-זוגית הנקודה (2,5)(2, 5) מסתובבת חצי סיבוב סביב הראשית ל-(−2,−5)(-2, -5).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

תלמיד בדק אם הפונקציה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x זוגית או אי-זוגית. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

f(−x)=(−x)3+(−x)f(-x) = (-x)^3 + (-x)
=x3−x= x^3 - x
=−(x3+x)=−f(x)= -(x^3 + x) = -f(x)
לכן f אי-זוגית\text{לכן } f \text{ אי-זוגית}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =x3−x= x^3 - x → =−x3−x= -x^3 - x

Corrigé :

(−x)3=−x3(-x)^3 = -x^3

חזקה אי-זוגית שומרת את המינוס

−x3−x=−(x3+x)-x^3 - x = -(x^3 + x)

מוציאים מינוס משותף

בשורה השנייה המינוס נעלם מ-(−x)3(-x)^3, כאילו זו הייתה חזקה זוגית. עם התיקון המסקנה נכונה: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), והפונקציה אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

−2−11234−4−3−2−112345xyf-13

לפניכם הגרף של f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. מתי f(x)<0f(x) < 0?

  1. −1<x<3-1 < x < 3
  2. x=−1x = -1 או x=3x = 3
  3. x<−1x < -1 או x>3x > 3
  4. −4<y<0-4 < y < 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −1<x<3-1 < x < 3

Corrigé :

f(−1)=f(3)=0\begin{aligned}f(-1) &= f(3) \\ &= 0\end{aligned}

שתי נקודות החיתוך עם ציר ה-xx

−1<x<3-1 < x < 3

ביניהן הגרף מתחת לציר

התשובה היא תחום של xx. «−4<y<0-4 < y < 0» הוא התנאי על yy, לא התשובה; ו-x=−1x = -1, x=3x = 3 הם רק הגבולות, שבהם f(x)=0f(x) = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

−2−112−3−2−1123xyf(-1, 2)(1, -2)

לפניכם הגרף של ff. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1f(x) = 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

y=1y = 1

קו אופקי בגובה 1

−2<1<2-2 < 1 < 2

הקו עובר בין המינימום למקסימום — חותך את שלושת הקטעים

סופרים נקודות מפגש, לא מחשבים. הקו בגובה 1 פוגש את הגרף שלוש פעמים: שלושה פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

−2−112−3−2−112345xyf(-1, 2)(1, -2)

השלימו לפי הגרף של ff (מקסימום ב-(−1,2)(-1, 2), מינימום ב-(1,−2)(1, -2)).

למשוואה f(x)=2f(x) = 2 יש ____ פתרונות, ולמשוואה f(x)=5f(x) = 5 יש ____ פתרונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : למשוואה f(x)=2f(x) = 2 יש 2 פתרונות, ולמשוואה f(x)=5f(x) = 5 יש 1 פתרונות.

Corrigé :

y=2y = 2

הקו נוגע במקסימום ב-x=−1x = -1, ופוגש שוב את הענף הימני ב-x=2x = 2

y=5y = 5

מעל המקסימום — רק הענף הימני

נגיעה בפסגה היא נקודת מפגש אחת — פתרון אחד, לא שניים. ומעל הפסגה נשאר רק הענף העולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

−2−1123−11234567xyfg(-1, 1)(2, 4)

בציור הגרפים של f(x)=x2f(x) = x^2 ושל g(x)=x+2g(x) = x + 2. מתי f(x)>g(x)f(x) > g(x)?

  1. −1<x<2-1 < x < 2
  2. x<−1x < -1 או x>2x > 2
  3. x=−1x = -1 או x=2x = 2
  4. 1<y<41 < y < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x<−1x < -1 או x>2x > 2

Corrigé :

x=−1 x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות החיתוך — גבולות התחומים

x=0: 0<2x = 0: \ 0 < 2

באמצע הפרבולה מתחת לישר

x<−1 או x>2x < -1 \ \text{או} \ x > 2

בחוץ הפרבולה מעל

בודקים מי למעלה בכל תחום. בין נקודות החיתוך הישר מעל — זו התשובה ל-f(x)<g(x)f(x) < g(x), לא לשאלה הזו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

מיינו: זוגית או אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • −2x-2x
  • 3x2−13x^2 - 1
  • x2+7x^2 + 7
  • x3+xx^3 + x
  • x4x^4
  • x5x^5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x4x^4 — זוגית · 3x2−13x^2 - 1 — זוגית · x3+xx^3 + x — אי-זוגית · −2x-2x — אי-זוגית · x5x^5 — אי-זוגית · x2+7x^2 + 7 — זוגית

Corrigé :

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

זוגית: רק חזקות זוגיות (ומספר חופשי)

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

אי-זוגית: רק חזקות אי-זוגיות, בלי מספר חופשי

מציבים −x-x: חזקה זוגית מעלימה את המינוס, חזקה אי-זוגית שומרת אותו. מספר חופשי כמו −1-1 או 77 לא מקלקל זוגיות — אבל היה מקלקל אי-זוגיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x היא פונקציה זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(1)=2 f(−1)=0\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \ f(-1) &= 0\end{aligned}

שני ערכים שונים — לא זוגית

f(−1)≠−f(1)f(-1) \neq -f(1)

וגם לא נגדיים — לא אי-זוגית

חזקה זוגית אחת לא מספיקה: xx הוא חזקה אי-זוגית. הפונקציה לא זו ולא זו — המקרה השכיח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe