Prouver que c’est un losange

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

יש ארבע דרכים להוכיח שמרובע הוא מעוין, ומספיקה אחת.

נתון: ABCDABCD מקבילית, ו-AB=ADAB = AD. איזו דרך מתאימה?

Voir la réponse et le corrigé

השנייה: מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות. הצלעות הנגדיות כבר שוות, ולכן כל הארבע.

מאונכים לבד אינו מספיק

זו הנקודה שמפילה: דלתון הוא מרובע שאלכסוניו מאונכים, והוא אינו מעוין.

ההבדל: במעוין שני האלכסונים נחצים. בדלתון רק האלכסון הראשי חוצה את המשני.

⊥בלבד\perp \quad \text{בלבד}

דלתון — אלכסון אחד נחצה.

⊥+שניהם נחצים\perp \quad +\quad \text{שניהם נחצים}

מעוין — שני האלכסונים נחצים.

⊥+נחצים+שווים\perp \quad +\quad \text{נחצים} \quad +\quad \text{שווים}

ריבוע — ועוד תנאי אחד.

קיצור דרך שאינו עובד.

AC⊥BD⇒מעויןAC \perp BD \Rightarrow \text{מעוין}
AC⊥BD+חוצים⇒מעויןAC \perp BD \quad +\quad \text{חוצים} \Rightarrow \text{מעוין}

אנכיות לבדה מתקיימת בכל דלתון. בלי החצייה של שני האלכסונים, ההוכחה לא הוכיחה מעוין.

הוכחה מלאה

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, נתון AC⊥BDAC \perp BD, AO=OCAO = OC ו-BO=ODBO = OD. הוכיחו שהמרובע מעוין.

AC⊥BDAC \perp BD

AO=OCAO = OC

BO=ODBO = OD

ABCDABCD מעוין

AO=OCAO = OC, BO=ODBO = OD

נתון

ABCDABCD מקבילית

האלכסונים חוצים זה את זה

נתון

מקבילית שאלכסוניה מאונכים

שימו לב לסדר: קודם מקבילית, ורק אז מעוין. את האנכיות מוסיפים על בסיס שכבר הוכח.

מקבילית שאלכסוניה מאונכים — מה היא?

Voir la réponse et le corrigé

מעוין. זה אחד ממשפטי הזיהוי: מקבילית + אלכסונים מאונכים = מעוין.

איזו דרך לבחור?

בוחרים דרך לפי מה שנתון. קודם סורקים מה יש ביד.

Exercices

Exercice 1

נתון שהאלכסונים במרובע מאונכים בלבד. מה אפשר להסיק?

  1. המרובע ריבוע
  2. המרובע מעוין
  3. לא מספיק
  4. המרובע מלבן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא מספיק

Corrigé :

AC⊥BDנכון גם בדלתוןAC \perp BD \quad \text{נכון גם בדלתון}

תנאי חלקי

צריך להוסיף שגם שני האלכסונים חוצים זה את זה. ייתכן שזה דלתון

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזה צירוף מוכיח שמרובע הוא מעוין?

  1. האלכסונים שווים בלבד
  2. האלכסונים מאונכים ושווים
  3. האלכסונים חוצים זה את זה בלבד
  4. האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה

Corrigé :

⊥+חוצים⇒מעוין\perp \quad +\quad \text{חוצים} \Rightarrow \text{מעוין}

הדרך השלישית

חוצים לבד = מקבילית. מאונכים ושווים + חוצים = ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הראינו שארבע הצלעות במרובע שוות. מה הוכחנו?

  1. שהוא ריבוע
  2. שהוא דלתון בלבד
  3. לא מספיק כדי להסיק
  4. שהוא מעוין
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שהוא מעוין

Corrigé :

AB=BC=CD=DA⇒מעוין\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \Rightarrow \text{מעוין}\end{aligned}

הדרך הראשונה — ההגדרה

לריבוע חסרה עוד זווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במעוין הזווית ∠A=60°\angle A = 60°. מה גודל ∠B\angle B במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

∠A+∠B=180°\angle A + \angle B = 180°

מעוין הוא מקבילית — זוויות סמוכות משלימות

∠B=120°\angle B = 120°

Et on calcule (חשב)

כל תכונות המקבילית עובדות גם במעוין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDO
האלכסונים מאונכים — נראה מה זה מכריח.

במקבילית ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD. הוכיחו כי ABCDABCD הוא מעוין.

  • ABCDABCD מקבילית
  • AC⊥BDAC \perp BD

ABCDABCD מעוין

Voir la réponse et le corrigé
  1. ABCDABCD מקבילית — נתון
  2. AC⊥BDAC \perp BD — נתון
  3. BO=ODBO = OD — במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
  4. ∠AOB=∠AOD=90∘\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה
  5. AO=AOAO = AO — צלע משותפת לשני המשולשים
  6. △AOB≅△AOD\triangle AOB \cong \triangle AOD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  7. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. ABCDABCD מעוין — מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין

Corrigé :

BO=OD  ∠AOB=∠AOD=90∘  AO=AO\begin{aligned}BO &= OD \ \\ \ \angle AOB &= \angle AOD \\ &= 90^\circ \ \\ \ AO &= AO\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

△AOB≅△AOD\triangle AOB \cong \triangle AOD

צ.ז.צ

AB=ADAB = AD

שתי צלעות סמוכות שוות

לב ההוכחה הוא שהמקבילית נתנה לנו את חציית האלכסונים בחינם. בלעדיה לא היה לנו BO=ODBO = OD, ולא הייתה חפיפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD
במעוין כל הצלעות שוות — זו נקודת המוצא.

במעוין ABCDABCD, הוכיחו כי האלכסון ACAC חוצה את הזווית ∠BAD\angle BAD.

  • ABCDABCD מעוין

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ABCDABCD מעוין — נתון
  2. AB=ADAB = AD — במעוין כל הצלעות שוות
  3. CB=CDCB = CD — במעוין כל הצלעות שוות
  4. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AB=AD  CB=CD  AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD \ \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות שוות

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

זוויות מתאימות

שימו לב שההוכחה זהה לזו של הדלתון — כי מעוין הוא דלתון מיוחד, שבו גם הזוג השני של הצלעות שווה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית — מה היא?

  1. ריבוע
  2. טרפז
  3. מעוין
  4. מלבן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מעוין

Corrigé :

חוצה זווית→מעוין\text{חוצה זווית} \rightarrow \text{מעוין}

משפט זיהוי

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מרובע שכל צלעותיו שוות — בהכרח…

  1. דלתון
  2. מלבן
  3. ריבוע
  4. מעוין
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מעוין

Corrigé :

4=4 =

ההגדרה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מה מבדיל מעוין ממלבן באלכסונים?

  1. במעוין מאונכים, במלבן שווים
  2. במעוין שווים
  3. במלבן מאונכים
  4. אין הבדל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A במעוין מאונכים, במלבן שווים

Corrigé :

⊥ מול =\perp \ \text{מול} \ =

במעוין האלכסונים מאונכים אך לא שווים; במלבן שווים אך לא מאונכים. בריבוע — גם וגם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

להוכחת מעוין מתוך מקבילית — מה מספיק?

  1. Angle droit (זווית הישרה)
  2. שתי צלעות סמוכות שוות
  3. אלכסונים שווים
  4. שתי נגדיות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שתי צלעות סמוכות שוות

Corrigé :

סמוכות=\text{סמוכות} =

נגדיות שוות יש בכל מקבילית

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

האם הנתון מספיק כדי להוכיח שהמרובע הוא מעוין?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות
  • מקבילית שאלכסוניה מאונכים
  • מקבילית שאלכסוניה שווים
  • מרובע עם שתי צלעות סמוכות שוות
  • מרובע שאלכסוניו מאונכים
  • מרובע שאלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה
  • מרובע שכל צלעותיו שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מרובע שכל צלעותיו שוות — מספיק · מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות — מספיק · מקבילית שאלכסוניה מאונכים — מספיק · מרובע שאלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה — מספיק · מרובע שאלכסוניו מאונכים — לא מספיק · מקבילית שאלכסוניה שווים — לא מספיק · מרובע עם שתי צלעות סמוכות שוות — לא מספיק

Corrigé :

ABCD מקבילית, AC⊥BD⇒מעויןABCD \ \text{מקבילית} ,\ AC \perp BD \Rightarrow \text{מעוין}

מקבילית שאלכסוניה מאונכים

AC⊥BDAC \perp BD

לבד מתקיים גם בדלתון — לא מספיק

ארבעת הראשונים הם מדרכי ההוכחה של מעוין. אלכסונים מאונכים לבד מתקיימים גם בדלתון, וכך גם שתי צלעות סמוכות שוות. מקבילית עם אלכסונים שווים היא מלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה מקבילית ABCDABCD שבה AB=BCAB = BC. מוכיחים שהיא מעוין — שורה אחת שגויה

ABCD מקבילית (נתון)ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{נתון})
AB=DC BC=AD (צלעות נגדיות במקבילית שוות)\begin{aligned}AB &= DC \\ \ BC &= AD \ (\text{צלעות נגדיות במקבילית שוות})\end{aligned}
AB=BC (נתון)AB = BC \ (\text{נתון})
AB=BC=CD=DA (משתי השורות הקודמות)\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \ (\text{משתי השורות הקודמות})\end{aligned}
ABCD מעוין (מקבילית שאלכסוניה מאונכים)ABCD \ \text{מעוין} \ (\text{מקבילית שאלכסוניה מאונכים})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ABCD מעוין (מקבילית שאלכסוניה מאונכים)ABCD \ \text{מעוין} \ (\text{מקבילית שאלכסוניה מאונכים}) → ABCD מעוין (מרובע שכל צלעותיו שוות)ABCD \ \text{מעוין} \ (\text{מרובע שכל צלעותיו שוות})

Corrigé :

AB=BC=CD=DA⇒ABCD מעוין\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \Rightarrow ABCD \ \text{מעוין}\end{aligned}

מרובע שכל צלעותיו שוות

בהוכחה לא נאמר דבר על האלכסונים, ולכן אי אפשר לנמק בהם. מה שהוכח הוא שכל ארבע הצלעות שוות — וזו ההגדרה של מעוין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Complétez (השלימו)

במקבילית ABCDABCD נתון AB=2x+3AB = 2x + 3 ו-BC=4x−5BC = 4x - 5. המקבילית היא מעוין כאשר x=x = ____, ואז היקף המעוין הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : במקבילית ABCDABCD נתון AB=2x+3AB = 2x + 3 ו-BC=4x−5BC = 4x - 5. המקבילית היא מעוין כאשר x=x = 4, ואז היקף המעוין הוא 44.

Corrigé :

2x+3=4x−5⇒x=4\begin{aligned}2x + 3 &= 4x - 5 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}
AB=2⋅4+3=11BC=4⋅4−5=11\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 4 + 3 \\ &= 11 \\ \quad BC &= 4 \cdot 4 - 5 \\ &= 11\end{aligned}
P=4⋅11=44\begin{aligned}P &= 4 \cdot 11 \\ &= 44\end{aligned}

מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין, ולכן דורשים AB=BCAB = BC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ABCD
AB=2x+1AB = 2x + 1, AD=x+4AD = x + 4.

במקבילית ABCDABCD נתון AB=2x+1AB = 2x + 1 ו-AD=x+4AD = x + 4. לאיזה xx המקבילית היא מעוין?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x+1=x+42x + 1 = x + 4

מקבילית עם צלעות סמוכות שוות היא מעוין

x=3x = 3

On résout

AB=AD=7\begin{aligned}AB &= AD \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה

משווים צלעות סמוכות. ABAB ו-DCDC שוות בכל מקבילית, ומהן לא לומדים כלום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

האלכסונים של מרובע ABCDABCD מאונכים, ונחתכים בנקודה OO כך ש-BO=ODBO = OD. לכן המרובע הוא בהכרח מעוין.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AC⊥BDBO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

רק האלכסון BDBD נחצה

AO≠OC⇒דלתוןAO \neq OC \Rightarrow \text{דלתון}

בלי AO=OCAO = OC, זה דלתון

לא נכון. זה דלתון: ACAC חוצה את BDBD, אבל BDBD לא חוצה את ACAC. למעוין צריך ששני האלכסונים ייחצו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מקבילית ABCDABCD שבה ∠A=90∘\angle A = 90^\circ וגם AC⊥BDAC \perp BD היא ריבוע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AC⊥BD⇒מעויןAC \perp BD \Rightarrow \text{מעוין}

מקבילית שאלכסוניה מאונכים

∠A=90∘⇒ריבוע\angle A = 90^\circ \Rightarrow \text{ריבוע}

מעוין עם זווית ישרה

נכון. האנכיות נותנת מעוין, והזווית הישרה נותנת מלבן. מעוין שהוא גם מלבן הוא ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

איזה נתון מספיק כדי לקבוע שהמרובע ABCDABCD הוא מעוין? הנקודה OO היא נקודת החיתוך של האלכסונים.

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • גם AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • גם AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD
  • מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD
  • מקבילית ABCDABCD שבה AC⊥BDAC \perp BD
  • מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD
  • רק AC⊥BDAC \perp BD
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — מספיק · מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD — מספיק · מקבילית ABCDABCD שבה AC⊥BDAC \perp BD — מספיק · גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD — מספיק · רק AC⊥BDAC \perp BD — לא מספיק · גם AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — לא מספיק · מקבילית ABCDABCD שבה AC=BDAC = BD — לא מספיק · גם AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — לא מספיק

Corrigé :

AC⊥BDBO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

כך נראה גם דלתון

AC=BDAC = BD

במקבילית: מלבן, לא מעוין

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) מגדירים דלתון. למעוין צריך שכל הצלעות יהיו שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

התאימו כל נתון לדרך שהוא פותח

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD
  • גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD
  • מקבילית ABCDABCD שבה ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • הדרך הראשונה: ההגדרה
  • הדרך הרביעית: אלכסון חוצה זווית
  • הדרך השלישית: אלכסונים מאונכים
  • הדרך השנייה: צלעות סמוכות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — הדרך הראשונה: ההגדרה · מקבילית ABCDABCD שבה AB=ADAB = AD — הדרך השנייה: צלעות סמוכות שוות · גם AO=OCAO = OC, גם BO=ODBO = OD, וגם AC⊥BDAC \perp BD — הדרך השלישית: אלכסונים מאונכים · מקבילית ABCDABCD שבה ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — הדרך הרביעית: אלכסון חוצה זווית

Corrigé :

AO=OC BO=OD⇒מקבילית\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

בדרך השלישית, החצייה נותנת את המקבילית

בשלוש הדרכים האחרונות «מקבילית» היא חצי מהתנאי. כשהיא לא כתובה, מחפשים אותה בנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABCD
ACAC חוצה את ∠A\angle A. AB=5AB = 5.

במקבילית ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A, ו-AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המקבילית, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

∠BAC=∠DAC⇒מעוין\angle BAC = \angle DAC \Rightarrow \text{מעוין}

מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית

4⋅5=204 \cdot 5 = 20

כל הצלעות שוות ל-ABAB

לא 2⋅5+…2 \cdot 5 + \ldots: בלי לזהות מעוין, ADAD לא ידוע. הזיהוי הוא מה שנותן את שלוש הצלעות האחרות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe