Le sens inverse : factoriser · Identités remarquables · Kita ט

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

Jusqu'à présent, nous avons développé les parenthèses (סוגריים). Maintenant, c'est le sens inverse : on reçoit une expression algébrique (ביטוי) développée, on identifie de quelle formule (נוסחה) elle provient, et on la refactorise.

Pourquoi cela en vaut-il la peine ? Une expression algébrique (ביטוי) factorisée peut être simplifiée dans une fraction (שבר). Et on peut l'égaler à zéro et résoudre (פתור) une équation (משוואה).

Différence de carrés (ריבועים) — la plus facile à reconnaître

Deux termes (איברים) seulement, tous deux des carrés (ריבועים), et un moins au milieu. Une telle expression algébrique (ביטוי) se factorise toujours, et le schéma montre pourquoi.

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Activité interactive

On factorise ensemble, coefficient compris

4x^2 - 25

Cliquez sur « Commencer ». Il n'y a pas trois termes (איברים) ici — il y en a deux, avec un moins au milieu. Cela renvoie directement à la troisième formule.

On compte les termes (איברים)

4x^2 - 25

Toujours la première étape : combien y a-t-il de termes (איברים) ? Ici deux, avec un moins au milieu — et cela renvoie directement à la différence de deux carrés (הפרש ריבועים), sans rien vérifier d'autre.

On extrait la racine carrée (שורש)

\begin{aligned}\sqrt{4x^2} &= 2x \quad \\ \quad \sqrt{25} &= 5\end{aligned}

La racine carrée (שורש) de tout le terme (איברים), le coefficient (מקדם) y compris. $\sqrt{4x^2}$ est $2x$ , ni $4x$ ni $2x^2$ .

On ferme les parenthèses

4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)

Les deux mêmes termes (איברים) dans les deux parenthèses (סוגריים), une fois avec un moins et une fois avec un plus. L'ordre des parenthèses n'a pas d'importance.

On vérifie

(2x-5)(2x+5) = 4x^2 - 25 \ \checkmark

Toujours redévelopper. Une factorisation erronée (שגוי) se repère en trois secondes (שניות), et on ne peut pas se tromper avec cette vérification.

Exactement la même chaîne sur $x^2-9$ , sur $49a^2-1$ et sur $100-y^2$ — on compte, on extrait la racine, on ferme, on vérifie.

Faire l'activité sur elev

Une somme (סכום) de carrés (ריבועים), comme $x^2 + 9$ , ne se factorise pas : il n'y a pas deux parenthèses (סוגריים) qui la donneront. Seulement une différence (הפרש).

Factorisez (פרקו) : $x^2 - 49$

Voir la réponse et le corrigé

$(x-7)(x+7)$ — différence de deux carrés (הפרש ריבועים) dans le sens inverse. Vérification : on redéveloppe et on obtient $x^2-49$ .

שלושה איברים — ריבוע מושלם

שלושה איברים, הראשון והאחרון ריבועים. זה לא מספיק.

צריך לבדוק שהאיבר האמצעי הוא בדיוק פעמיים המכפלה של שני השורשים. הבדיקה הזו היא ההבדל בין פירוק לניחוש.

פירוק שנראה נכון ואינו.

x^2 + 6x + 25 = (x+5)^2

2 \cdot x \cdot 5 = 10x \neq 6x

הקצוות מתאימים, אבל האיבר האמצעי לא. בלי הבדיקה הזו מפרקים ביטויים שאינם ריבוע מושלם.

x^2 + 16 = (x+4)^2

(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

כאן חסר האיבר האמצעי לגמרי. סכום ריבועים אינו מתפרק — שני איברים עם פלוס נשארים כמו שהם.

האם $x^2 - 14x + 49$ הוא ריבוע מושלם? ואם כן — של מה?

Voir la réponse et le corrigé

כן: $\sqrt{x^2}=x$ , $\sqrt{49}=7$ , ו- $2 \cdot x \cdot 7 = 14x$ — מתאים. המינוס באמצע נותן $(x-7)^2$ .

Activité interactive

מפרקים יחד: $9x^2 - 30x + 25$

פרקו לגורמים: $9x^2 - 30x + 25$ . בכל שלב בחרו מה עושים — הבדיקה לפני הפירוק, תמיד.

$(3x-5)^2$

$(3x-5)(3x+5)$

$(9x-5)^2$

$(3x-25)^2$

מה בודקים ראשון?

מוציאים מיד שורש ומנחשים סוגריים

Voir la réponse et le corrigé

לא. ניחוש נותן תשובה שנראית נכונה ואינה. הבדיקה קודמת.

סופרים כמה איברים יש

Voir la réponse et le corrigé

כן. שלושה איברים שולחים לריבוע מושלם, שניים עם מינוס — להפרש ריבועים. זו השאלה שמכריעה איזו נוסחה בכלל רלוונטית.

מחפשים גורם משותף למספרים $9$ , $30$ ו- $25$

Voir la réponse et le corrigé

רעיון נכון בדרך כלל, אבל כאן אין: ל- $9$ , $30$ ו- $25$ אין מחלק משותף גדול מ- $1$ .

9x^2 - 30x + 25

שלושה איברים, והאחרון חיובי — אז לא הפרש ריבועים. נבדוק ריבוע מושלם.

מהם שני השורשים של הקצוות?

$9x$ ו- $25$

Voir la réponse et le corrigé

אלה האיברים עצמם, לא השורשים שלהם. צריך שורש של כל קצה.

$3x$ ו- $5$

Voir la réponse et le corrigé

כן: $\sqrt{9x^2} = 3x$ (המקדם והמשתנה יחד), ו- $\sqrt{25} = 5$ .

$3x^2$ ו- $5$

Voir la réponse et le corrigé

כמעט. $\sqrt{x^2}$ הוא $x$ , לא $x^2$ — השורש מוריד את החזקה.

\begin{aligned}\sqrt{9x^2} &= 3x \quad \\ \quad \sqrt{25} &= 5\end{aligned}

שורש של האיבר כולו, המקדם בכלל זה.

עכשיו הבדיקה שמכריעה: האם האמצע מתאים?

$3x \cdot 5 = 15x$ — לא מתאים ל- $30x$

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את הפעמיים. הנוסחה אומרת $2ab$ , לא $ab$ .

$2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$ — מתאים

Voir la réponse et le corrigé

כן. פעמיים המכפלה יוצא בדיוק האיבר האמצעי, ולכן זה אכן ריבוע מושלם.

אין צורך לבדוק — הקצוות מתאימים

Voir la réponse et le corrigé

זו בדיוק הטעות שהמלכודת למעלה מתארת. $9x^2+6x+25$ עובר את הקצוות ונכשל באמצע.

2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x \ \checkmark

מתאים — ולכן מותר לסגור.

ואיזה סימן ייכנס לסוגריים?

פלוס — כי האיבר האחרון חיובי

Voir la réponse et le corrigé

לא. האיבר האחרון חיובי תמיד בריבוע מושלם, בשני המקרים. הסימן נקבע באמצע.

מינוס — כי האיבר האמצעי שלילי

Voir la réponse et le corrigé

כן. האיבר האמצעי הוא היחיד שנושא את הסימן, ולכן $(3x-5)^2$ .

9x^2 - 30x + 25 = (3x-5)^2

סימן האמצע הוא סימן הסוגריים. ובודקים: $(3x-5)^2 = 9x^2-30x+25$ .

Voir la réponse et le corrigé

התשובה היא $(3x-5)^2$ . המסיחים מודדים שלוש טעויות: מקדם שלא הוצא ממנו שורש ( $9x$ במקום $3x$ ), האיבר האחרון שלא הוצא ממנו שורש ( $25$ במקום $5$ ), והתבנית הלא נכונה (הפרש ריבועים במקום ריבוע מושלם).

Faire l'activité sur elev

הצעד שקודם לכל השאר: גורם משותף

לפני שמחפשים נוסחה, שואלים: האם משהו כופל את כל האיברים? אם כן, מוציאים אותו ראשון.

בלי הצעד הזה, $2x^2 - 72$ נראה כאילו לא מתפרק: $2x^2$ אינו ריבוע יפה, וגם $72$ לא.

Activité interactive

קודם גורם משותף, ואז הנוסחה

2x^2 - 72 \quad ,\quad 3x^2 - 12x + 12

שני ביטויים שנראים חסינים לנוסחאות — עד שמוציאים מהם את מה שכופל הכול.

מחפשים משותף

2x^2 - 72 = 2(x^2 - 36)

$2$ כופל את שני האיברים ( $2x^2$ ו- $72 = 2 \cdot 36$ ). מוציאים אותו — ומה שנשאר בסוגריים הוא פתאום מוכר.

ועכשיו הנוסחה

= 2(x-6)(x+6)

הפרש ריבועים בתוך הסוגריים. הגורם $2$ נשאר בחוץ ומופיע בתשובה — הוא לא נעלם.

השני

3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4)

כאן $3$ כופל את שלושת האיברים. שוב, מה שנשאר הוא ביטוי מוכר.

וסוגרים

= 3(x-2)^2

ריבוע מושלם, כי $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$ מתאים. התשובה השלמה היא $3(x-2)^2$ — עם השלוש.

On vérifie

\begin{aligned}3(x-2)^2 &= 3(x^2-4x+4) \\ &= 3x^2 - 12x + 12 \ \checkmark\end{aligned}

פותחים בחזרה, תמיד. אם השלוש נשמטה — הבדיקה תתפוס אותה מיד.

סדר העבודה הסופי, ואין ממנו סטייה: גורם משותף ← ספירת איברים ← הנוסחה ← בדיקה.

Faire l'activité sur elev

הגורם שיצא ולא חזר.

2x^2 - 72 = (x-6)(x+6)

2x^2 - 72 = 2(x-6)(x+6)

ה- $2$ הוצא ואז נשכח. בדיקה בפתיחה חוזרת: $(x-6)(x+6) = x^2 - 36$ , ולא $2x^2 - 72$ . כל גורם שיוצא חייב להופיע בתשובה.

3x^3 - 27x = 3x(x^2 - 9)

3x^3 - 27x = 3x(x-3)(x+3)

כאן הגורם המשותף נכון, אבל עצרו באמצע: מה שנשאר בסוגריים עדיין מתפרק. מפרקים עד הסוף.

פרקו עד הסוף: $4x^2 - 64$

Voir la réponse et le corrigé

$4(x-4)(x+4)$ — מוציאים $4$ , ואז הפרש ריבועים בסוגריים. אפשר גם $(2x-8)(2x+8)$ , וזה נכון — אבל לא מפורק עד הסוף, כי מכל סוגריים אפשר עוד להוציא $2$ .

צמצום שברים בעזרת פירוק

זו הסיבה שהפירוק שווה את הטרחה: אי אפשר לצמצם חיבור, רק מכפלה.

לכן בשבר אלגברי מפרקים קודם את המונה ואת המכנה. רק אז מוחקים גורם שמופיע בשניהם.

כשצריך לפרק גם למטה

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$ .

x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

למעלה: הפרש ריבועים

x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

למטה: ריבוע מושלם — הבדיקה: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$

\dfrac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \dfrac{x+5}{x-5}

גורם $(x-5)$ אחד נמחק. אחד, לא שניים

x \neq 5

ומציינים את התחום

אסור למחוק $x^2$ למעלה ולמטה: הוא איבר בתוך חיבור, לא גורם. מוחקים רק מה שכופל את כל השורה.

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 36}{x + 6}$

Voir la réponse et le corrigé

$x - 6$ — המונה הוא $(x-6)(x+6)$ , והגורם $(x+6)$ נמחק. בתנאי ש- $x \neq -6$ .

ולמה זה פותח משוואות

הפירוק הוא הכלי שפותח את המשוואות הריבועיות.

$x^2 - 9 = 0$ הופכת ל- $(x-3)(x+3) = 0$ . מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים אפס: $x = 3$ או $x = -3$ .

Activité interactive

בעיה מילולית: מוצאים צלע משטח

S = x^2 + 12x + 36

שטחו של ריבוע הוא $x^2 + 12x + 36$ סמ״ר. מה אורך צלעו?

מה נשאל

S = \text{צלע} \times \text{צלע}

שטח ריבוע הוא הצלע כפול עצמה — כלומר הצלע בריבוע. אז השאלה היא: של מי הביטוי הזה ריבוע?

On vérifie

\begin{aligned}\sqrt{x^2} &= x \ \\ \ \sqrt{36} &= 6 \ \\ \ 2 \cdot x \cdot 6 &= 12x \ \checkmark\end{aligned}

שלוש הבדיקות, באותו סדר. האמצע מתאים — זה ריבוע מושלם.

מפרקים

x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2

ולכן השטח הוא $(x+6)$ בריבוע.

עונים

\text{הצלע} = x + 6

הצלע היא $x+6$ ס״מ. שימו לב שהתשובה היא ביטוי, לא מספר — כי הנתון היה ביטוי.

כל בעיה מילולית של «נתון שטח, מצאו צלע» היא בדיוק זה: פירוק לגורמים, ושורש של מכפלה.

Faire l'activité sur elev

Exercices

סדרה א — קל: לזהות ולסגור

Exercice 1

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x^2 - 9

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\sqrt{9} = 3

שורש האיבר השני

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

הביטוי	פעמיים המכפלה	ריבוע מושלם?
$x^2 + 8x + 16$	____	____
$x^2 + 12x + 16$	____	____
$4x^2 + 20x + 25$	____	____
$9x^2 + 12x + 16$	____	____

Différence de carrés (ריבועים) — la plus facile à reconnaître

שלושה איברים — ריבוע מושלם

הצעד שקודם לכל השאר: גורם משותף

צמצום שברים בעזרת פירוק

ולמה זה פותח משוואות

Exercices

סדרה א — קל: לזהות ולסגור

סדרה ב — בינוני: מקדמים, מספרים ושברים

Série c — Défi : problèmes verbaux et simplification de fractions

סדרה ד — מתקדם: קודם גורם משותף, ואז הנוסחה

סדרה ה — לקראת המבחן: שברים, השוואות והוכחה

La suite se pratique sur elev