Prouver que c’est un carré

Réponse : B ששתי צלעות סמוכות שוות

Corrigé :

הזוויות והאלכסונים השווים כבר קיימים במלבן — הם לא מוסיפים מידע.

Réponse : B שיש לו זווית ישרה אחת

Corrigé :

הצלעות השוות והאלכסונים המאונכים כבר קיימים במעוין.

Réponse : C מאונכים, חוצים זה את זה ושווים

Corrigé :

חוצים לבד = מקבילית. חוצים ושווים = מלבן. חוצים ומאונכים = מעוין. שלושתן = ריבוע.

Réponse : B לא — אלה צלעות נגדיות, וזה נכון בכל מלבן

Corrigé :

צריך צלעות סמוכות — שתי צלעות שנפגשות בקודקוד.

Réponse : B אחת מתוך השלוש

Corrigé :

בוחרים את זו שהנתונים כבר מובילים אליה.

1. $ABCD$ מעוין — נתון
2. $\angle A = 90^\circ$ — נתון
3. כל צלעות $ABCD$ שוות — במעוין כל הצלעות שוות
4. $ABCD$ מקבילית — מעוין הוא מקבילית מיוחדת
5. $\angle C = \angle A = 90^\circ$ — במקבילית הזוויות הנגדיות שוות
6. $\angle B = \angle D = 90^\circ$ — זוויות חד־צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל-$180^\circ$
7. $ABCD$ ריבוע — מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות הוא ריבוע

Corrigé :

ריבוע = מעוין + זווית ישרה, וגם ריבוע = מלבן + שתי צלעות סמוכות שוות. שני מסלולים לאותו יעד.

1. $ABCD$ מלבן — נתון
2. $AC$ חוצה את $\angle BAD$ — נתון
3. $\angle BAC = \angle DAC$ — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
4. $AB \parallel DC$ — במלבן הצלעות הנגדיות מקבילות
5. $\angle BAC = \angle DCA$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
6. $\angle DAC = \angle DCA$ — שתי זוויות השוות לזווית שלישית שוות זו לזו
7. $DA = DC$ — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
8. $ABCD$ ריבוע — מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע

Corrigé :

חוצה הזווית והמקבילות יחד יוצרים משולש שווה-שוקיים — אותה תבנית כמו במקבילית שבה אלכסון חוצה זווית.

Réponse : B ריבוע

Corrigé :

מעוין נותן צלעות שוות ואלכסונים מאונכים; אלכסונים שווים מוסיפים את הזווית הישרה — יחד, ריבוע.

Réponse : B ריבוע

Corrigé :

מלבן נותן את הזוויות הישרות; אלכסונים מאונכים מוסיפים את שוויון הצלעות — יחד, ריבוע.

Réponse : C כי צריך גם את תכונות המלבן וגם את של המעוין

Corrigé :

ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין. להוכיח רק אחד מהם משאיר חצי מהתכונות בלי הצדקה. גם הדרך השלישית, שנראית כשלב אחד, מכילה את שניהם: אלכסונים חוצים ושווים — מלבן; חוצים ומאונכים — מעוין.

Réponse : $AB = BC$ — מספיק · $AC \perp BD$ — מספיק · $AC$ חוצה את $\angle BAD$ — מספיק · $AB = CD$ — לא מספיק · $AC = BD$ — לא מספיק · $\angle B = 90°$ — לא מספיק

Corrigé :

למלבן חסרות רק צלעות סמוכות שוות. צלעות סמוכות שוות, אלכסונים מאונכים או אלכסון שחוצה זווית — כל אחד מהם מוסיף את מה שחסר. $AB = CD$, $AC = BD$ ו-$\angle B = 90°$ נכונים בכל מלבן, ולכן הם לא מוסיפים דבר.

Réponse : $AB = CD \ (\text{נתון})$ → $AB = BC \ (\text{נתון})$

Corrigé :

$AB$ ו-$CD$ הן צלעות נגדיות, וזה גם לא הנתון. צלעות נגדיות שוות בכל מלבן, ולכן אין בהן הוכחה. הנתון הוא $AB = BC$ — שתי צלעות סמוכות, ורק הן משלימות את המלבן לריבוע.

Réponse : $ABCD$ מעוין ו-$AC = BD$ (נתון) · $ABCD$ מקבילית — כל מעוין הוא מקבילית · $ABCD$ מלבן — מקבילית שאלכסוניה שווים · $ABCD$ ריבוע — מלבן שהוא גם מעוין

Corrigé :

כל שורה נשענת על השורה שלפניה: בלי לדעת שהמעוין הוא מקבילית אי אפשר להשתמש במשפט על מקבילית עם אלכסונים שווים, ובלי המלבן אין ריבוע.

Réponse : מלבן ו-$AB = BC$ — דרך 1: צלעות סמוכות שוות · מלבן ו-$AC \perp BD$ — דרך 1: אלכסונים מאונכים · מעוין ו-$\angle A = 90^\circ$ — דרך 2: זווית ישרה · מעוין ו-$AC = BD$ — דרך 2: אלכסונים שווים

Corrigé :

בכל דרך מוסיפים בדיוק את מה שחסר למשפחה. נתון שכבר יש בה לא מקדם כלום.

Réponse : Faux

Corrigé :

האלכסונים של כל מעוין מאונכים, ולכן הנתון לא מוסיף דבר. חסרה זווית ישרה, או אלכסונים שווים.

Réponse : מלבן, $AB = BC$ — מוכיח ריבוע · מלבן, $AB = CD$ — לא מספיק · מעוין, $\angle A = 90^\circ$ — מוכיח ריבוע · מעוין, $AC \perp BD$ — לא מספיק · מלבן, $AC \perp BD$ — מוכיח ריבוע · מעוין, $AC = BD$ — מוכיח ריבוע · מקבילית, $AC = BD$ — לא מספיק · מרובע, $AC = BD$, $AC \perp BD$ — לא מספיק

Corrigé :

המלכודת: נתון שכבר נובע מהמשפחה לא מוסיף כלום. ו«שווים ומאונכים» בלי «חוצים» אינו מספיק.

Réponse : $ABCD$ מקבילית ו-$AC = BD$ — נתון · $ABCD$ מלבן — מקבילית שאלכסוניה שווים · $ABCD$ ריבוע — מלבן שאלכסוניו מאונכים

Corrigé :

אי אפשר לקפוץ ישר לריבוע: קודם המשפחה, ואז מה שחסר לה.