Factoriser par le facteur commun

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפני כל שיטת פירוק בודקים דבר אחד: יש גורם משותף לכל האיברים?

אם יש, מוציאים אותו החוצה. רק אז מסתכלים על מה שנשאר בסוגריים.

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

זה חוק הפילוג, נקרא מימין לשמאל.

אין כאן שיטה חדשה. יש סדר חדש, והוא קובע אם התרגיל ייקח שורה או חמש.

מהו הגורם המשותף

6x3+9x2=3x2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)

מהמקדמים — המחלק המשותף הגדול ביותר: 3.

x2+8x=x(x+8)x^2 + 8x = x(x + 8)

ומהנעלם — החזקה הנמוכה ביותר שמופיעה: xx.

בדיקה בשתי שניות: פותחים את הסוגריים חזרה. אם לא חזרנו בדיוק לביטוי המקורי — הגורם שהוצאנו שגוי.

כשהגורם המשותף מתחבא

ב-6x3+9x26x^3 + 9x^2 הגורם המשותף נראה מיד: שני האיברים בנויים אותו דבר.

ב-2x+162x + 16 האיבר השני הוא מספר לבד. הגורם שם, אבל הוא לא כתוב.

התפקיד שלנו: לכתוב את המספר כמכפלה שמראה את הגורם.

ואז — הכלים האחרים

אחרי ההוצאה קוראים את הסוגריים. שני איברים עם מינוס: הפרש ריבועים. שלושה איברים: טרינום או ריבוע שלם.

ולפעמים אין מה להוסיף, והפירוק נגמר.

שני שלבים, בסדר הזה

פרקו לגורמים: 2x2+4x−702x^2 + 4x - 70.

2(x2+2x−35)2(x^2 + 2x - 35)

קודם הגורם המשותף 2 — והמקדם של x2x^2 נעשה 1

m⋅n=−35m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= -35 \quad \\ \quad m + n &= 2\end{aligned}

ורק עכשיו טרינום, שדורש מקדם 1

2(x+7)(x−5)2(x + 7)(x - 5)

המספרים הם 7 ו-5 מינוס

מי שמנסה טרינום ישר על 2x2+4x−702x^2 + 4x - 70 נתקע: השיטה דורשת מקדם 1 ל-x2x^2. הוצאת ה-2 היא בדיוק מה שמייצר את התנאי הזה.

תחום ההצבה

מכנה אסור שיהיה אפס.

מפרקים את המכנה. כל גורם שמתאפס נותן ערך אסור אחד.

רושמים אותם לפני הצמצום: הגורם שנמחק נעלם מהדף, ואי אפשר יהיה לדעת שהיה שם.

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

x2+8x2x+16=x22\frac{x^2 + 8x}{2x + 16} = \frac{x^2}{2}
x(x+8)2(x+8)=x2\frac{x(x + 8)}{2(x + 8)} = \frac{x}{2}

מחקו את ה-8x8x מול ה-16 מתוך סכומים. מצמצמים גורמים — דברים שמוכפלים — ולעולם לא איבר מתוך סכום.

(x+3)22(x+3)=(x+3)22\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \frac{(x + 3)^2}{2}
(x+3)22(x+3)=x+32\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \frac{x + 3}{2}

מחקו את הסוגריים במכנה ושכחו שלמעלה יש שתיים מהן. ריבוע מצטמצם פעם אחת ונשאר עם אחת.

בשבר x−2x2−4x+4\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4} — למה התוצאה אינה 1?

Voir la réponse et le corrigé

כי המכנה הוא (x−2)2(x-2)^2, כלומר שתי סוגריים. אחת מצטמצמת מול המונה, ואחת נשארת: התוצאה היא 1x−2\frac{1}{x - 2}, עם התנאי x≠2x \neq 2.

Exercices

Exercice 1

פרקו וצמצמו: x2+8x2x+16\frac{x^2 + 8x}{2x + 16}

  1. x2x\frac{x}{2x}
  2. x+82\frac{x + 8}{2}
  3. x2\frac{x}{2}
  4. x22\frac{x^2}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x2\frac{x}{2}

Corrigé :

x(x+8)2(x+8)\frac{x(x + 8)}{2(x + 8)}

גורם משותף למעלה ולמטה

x≠−8x \neq -8

תחום ההצבה, לפני הצמצום

x2\frac{x}{2}

מצמצמים את (x+8)(x+8)

שני הצדדים מתפרקים בהוצאת גורם משותף בלבד — למעלה xx, למטה 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פרקו וצמצמו: a2+7aa2+14a+49\frac{a^2 + 7a}{a^2 + 14a + 49}

  1. 1a+7\frac{1}{a + 7}
  2. a+7a\frac{a + 7}{a}
  3. aa+7\frac{a}{a + 7}
  4. a7\frac{a}{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C aa+7\frac{a}{a + 7}

Corrigé :

a(a+7)(a+7)2\frac{a(a + 7)}{(a + 7)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע שלם למטה

a≠−7a \neq -7

תחום ההצבה

aa+7\frac{a}{a + 7}

מצטמצמת סוגריים אחת, נשארת אחת

המכנה הוא ריבוע שלם: 2⋅a⋅7=14a2 \cdot a \cdot 7 = 14a, בדיוק האיבר האמצעי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פרקו וצמצמו: x−2x2−4x+4\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}

  1. 11
  2. 1(x−2)2\frac{1}{(x - 2)^2}
  3. 1x−2\frac{1}{x - 2}
  4. x−2x - 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1x−2\frac{1}{x - 2}

Corrigé :

x−2(x−2)2\frac{x - 2}{(x - 2)^2}

המכנה ריבוע שלם

x≠2x \neq 2

תחום ההצבה

1x−2\frac{1}{x - 2}

מצמצמים סוגריים אחת מתוך שתיים

כאן אין גורם משותף להוציא — המונה עצמו כבר גורם, והמכנה מתפרק בנוסחת הכפל המקוצר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פרקו וצמצמו: x2−8xx2−16x+64\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64}

  1. xx−8\frac{x}{x - 8}
  2. x−8x\frac{x - 8}{x}
  3. xx+8\frac{x}{x + 8}
  4. x8\frac{x}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A xx−8\frac{x}{x - 8}

Corrigé :

x(x−8)(x−8)2\frac{x(x - 8)}{(x - 8)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע שלם למטה

x≠8x \neq 8

תחום ההצבה

xx−8\frac{x}{x - 8}

מצמצמים (x−8)(x-8) אחת

אותו מבנה כמו התרגיל עם aa — רק שהסימן במכנה מינוס: 2⋅x⋅8=16x2 \cdot x \cdot 8 = 16x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פרקו וצמצמו: x2+6x+92x+6\frac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}

  1. x+32x\frac{x + 3}{2x}
  2. x+92\frac{x + 9}{2}
  3. (x+3)22\frac{(x + 3)^2}{2}
  4. x+32\frac{x + 3}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x+32\frac{x + 3}{2}

Corrigé :

(x+3)22(x+3)\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}

ריבוע שלם למעלה, גורם משותף למטה

x≠−3x \neq -3

תחום ההצבה

x+32\frac{x + 3}{2}

מצמצמים סוגריים אחת מתוך שתיים

כאן הפירוק הפוך מהתרגילים הקודמים: הריבוע השלם למעלה והגורם המשותף למטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פרקו וצמצמו: 2x2+4x−702x+14\frac{2x^2 + 4x - 70}{2x + 14}

  1. x+5x + 5
  2. x−5x - 5
  3. x−52\frac{x - 5}{2}
  4. 2(x−5)2(x - 5)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x−5x - 5

Corrigé :

2(x2+2x−35)2(x+7)\frac{2(x^2 + 2x - 35)}{2(x + 7)}

גורם משותף 2 בשני הצדדים

2(x+7)(x−5)2(x+7)\frac{2(x + 7)(x - 5)}{2(x + 7)}

טרינום: מכפלה 35 מינוס, סכום 2

x≠−7x \neq -7

תחום ההצבה

x−5x - 5

מצמצמים את ה-2 ואת (x+7)(x+7)

בלי הוצאת ה-2 הטרינום לא היה עובד: השיטה דורשת מקדם 1 ל-x2x^2. זה התרגיל שמראה למה סדר הפעולות חשוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בשבר x2−8xx2−16x+64\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64} יש ערך אחד אסור ל-xx. מהו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

x2−16x+64=(x−8)2x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2

מפרקים את המכנה

x−8=0 ⇒ x=8\begin{aligned}x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

המכנה מתאפס

תחום ההצבה נקבע מהמכנה המקורי, לפני הצמצום. אחרי הצמצום נשאר xx−8\frac{x}{x-8} — במקרה הזה אותו תנאי, אבל זה לא תמיד כך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו הערך האסור ל-xx בשבר 2x2+4x−702x+14\frac{2x^2 + 4x - 70}{2x + 14}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

2x+14=2(x+7)2x + 14 = 2(x + 7)

מוציאים גורם משותף מהמכנה

x+7=0 ⇒ x=−7\begin{aligned}x + 7 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -7\end{aligned}

אחרי הצמצום נשאר x−5x - 5 — ביטוי שמוגדר לכל xx. זו בדיוק הסיבה לרשום את התנאי לפני שמוחקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

צמצום עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+6x+92x+6\frac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}
=(x+3)22(x+3)= \frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}
=(x+3)22= \frac{(x + 3)^2}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =(x+3)22= \frac{(x + 3)^2}{2} → =x+32= \frac{x + 3}{2}

Corrigé :

(x+3)(x+3)2(x+3)\frac{(x + 3)(x + 3)}{2(x + 3)}

כותבים את הריבוע כמכפלה

x+32\frac{x + 3}{2}

סוגריים אחת מול סוגריים אחת

הפירוק היה נכון — הצמצום לא. מחקו את הסוגריים מהמכנה בלי להוריד אחת מהמונה. מי שכותב את הריבוע כמכפלה לא נופל בזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו: מה מפרקים בהוצאת גורם משותף בלבד, ומה דורש גם נוסחה או טרינום?

  • גורם משותף בלבד
  • נוסחת כפל מקוצר / טרינום
  • 2x+162x + 16
  • a2+7aa^2 + 7a
  • x2−16x+64x^2 - 16x + 64
  • x2−8xx^2 - 8x
  • x2+2x−35x^2 + 2x - 35
  • x2+6x+9x^2 + 6x + 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2x+162x + 16 — גורם משותף בלבד · x2−16x+64x^2 - 16x + 64 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום · a2+7aa^2 + 7a — גורם משותף בלבד · x2+6x+9x^2 + 6x + 9 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום · x2−8xx^2 - 8x — גורם משותף בלבד · x2+2x−35x^2 + 2x - 35 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום

Corrigé :

x2−8x=x(x−8)x^2 - 8x = x(x - 8)

גורם משותף — ונגמר

x2+2x−35=(x+7)(x−5)x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5)

אין גורם משותף — טרינום

השאלה הראשונה תמיד: יש איבר שמופיע בכל המחוברים? אם כן — מוציאים. אם לא — סופרים איברים ומחליטים בין הפרש ריבועים, ריבוע שלם וטרינום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

השלימו את הפירוק: 6x3+9x26x^3 + 9x^2

מוציאים 3x3x בחזקת ____ , ונשאר בסוגריים 2x2x ועוד ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מוציאים 3x3x בחזקת 2 , ונשאר בסוגריים 2x2x ועוד 3.

Corrigé :

6x3+9x2=3x2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)

המחלק המשותף של 6 ו-9 הוא 3, והחזקה הנמוכה היא x2x^2

מהמקדמים לוקחים את המחלק המשותף הגדול, ומהנעלם את החזקה הנמוכה ביותר. בדיקה: פותחים חזרה ומקבלים 6x3+9x26x^3 + 9x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

אפשר לצמצם את השבר x+82x+16\frac{x + 8}{2x + 16}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x+82(x+8)\frac{x + 8}{2(x + 8)}

מוציאים גורם משותף מהמכנה

12\frac{1}{2}

מצמצמים את (x+8)(x+8)

המונה נראה כמו סכום, אבל הוא סוגריים שלמה מול סוגריים שלמה במכנה — ולכן מותר. התנאי: x≠−8x \neq -8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

השלימו את הוצאת הגורם המשותף: 5x+355x + 35

מוציאים את ____, ונשאר בסוגריים xx ועוד ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מוציאים את 5, ונשאר בסוגריים xx ועוד 7.

Corrigé :

5x+35=5x+5⋅75x + 35 = 5x + 5 \cdot 7

5 מחלק את 35

=5(x+7)= 5(x + 7)

ה-5 גלוי בשני האיברים

בדיקה בפתיחה: 5(x+7)=5x+355(x + 7) = 5x + 35 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ל-3x+103x + 10 יש גורם משותף מספרי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

10:3=31310 : 3 = 3\tfrac{1}{3}

3 לא מחלק את 10

המספרים שמחלקים את 10 הם 1, 2, 5, 10. אף אחד מהם, חוץ מ-1, לא מחלק את 3. אין גורם משותף מספרי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe