Volume du cône, de la pyramide et de la sphère

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לגליל ולמנסרה יש אותו חתך מלמטה עד למעלה. לכן «שטח הבסיס כפול הגובה» עבד.

החרוט והפירמידה מצטמצמים עד לחוד. ברור שייכנס בהם פחות — אבל כמה פחות?

נחשו: כמה חרוטים מלאים ימלאו את הגליל שלהם?

Voir la réponse et le corrigé

שלושה. בדקו בניסוי.

חרוט

נפח חרוט = שליש משטח הבסיס כפול הגובה

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

גביע גלידה

חרוט שרדיוס בסיסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מה נפחו? (π=3.14\pi = 3.14)

πr2h=3.14⋅9⋅10=282.6\begin{aligned}\pi r^2 h &= 3.14 \cdot 9 \cdot 10 \\ &= 282.6\end{aligned}

קודם מחשבים כאילו זה גליל

V=282.6:3V = 282.6 : 3

ורק בסוף לוקחים שליש

V=94.2 סמ״קV = 94.2\ \text{סמ״ק}

פחות משליש ליטר

סדר העבודה הנוח: קודם הגליל, בסוף שליש. כך יש מספר אחד לחלק ב-3, ולא שבר שנגרר בכל השורות.

גליל וחרוט בעלי אותו בסיס ואותו גובה. נפח הגליל 600 סמ״ק. מה נפח החרוט?

Voir la réponse et le corrigé

200 סמ״ק — שליש. אין צורך ברדיוס או בגובה: היחס לבדו מספיק.

פירמידה

אותו יחס בדיוק חוזר בין הפירמידה למנסרה שלה.

V=13Sבסיס⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{בסיס}} \cdot h

פירמידה עם בסיס ריבועי

פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו 6 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ.

Sבסיס=6⋅6=36\begin{aligned}S_{\text{בסיס}} &= 6 \cdot 6 \\ &= 36\end{aligned}

שטח הריבוע

36⋅10=36036 \cdot 10 = 360

כאילו זו מנסרה

V=360:3=120 סמ״ק\begin{aligned}V &= 360 : 3 \\ &= 120\ \text{סמ״ק}\end{aligned}

ושליש

כדור

לכדור אין בסיס ואין גובה — יש לו רק רדיוס.

אבל אפשר לשים אותו בתוך גליל שעוטף אותו בדיוק: אותו רדיוס, וגובה 2r2r.

V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

כאן הרדיוס בחזקה שלישית: אין גובה נפרד, וכל שלושת הממדים באים מהרדיוס.

כדור שרדיוסו 3 ס״מ

מחשבים לפי הסדר: קודם החזקה, אחר כך פאי, ובסוף השבר.

r3=33=27\begin{aligned}r^3 &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}

חזקה שלישית

3.14⋅27=84.783.14 \cdot 27 = 84.78

כפול פאי

84.78⋅43=113.04 סמ״ק84.78 \cdot \frac{4}{3} = 113.04\ \text{סמ״ק}

כפול ארבע חלקי שלוש

שתי הטעויות של הפרק.

Vחרוט=πr2hV_{\text{חרוט}} = \pi r^2 h
Vחרוט=13πr2hV_{\text{חרוט}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

לשכוח את השליש. התשובה יוצאת פי שלושה גדולה מדי — וחרוט לעולם אינו מכיל כמו הגליל שסביבו.

Vכדור=43πr2V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi r^2
Vכדור=43πr3V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi r^3

בכדור החזקה היא שלישית. חזקה שנייה נותנת שטח, ושטח אינו נפח.

למה בכדור הרדיוס בחזקה שלישית, ובגליל רק בשנייה?

Voir la réponse et le corrigé

כי נפח הוא תמיד שלושה ממדים. בגליל שני ממדים באים מהבסיס (r2r^2) והשלישי מהגובה. בכדור אין גובה נפרד — כל שלושת הממדים חייבים לבוא מהרדיוס עצמו.

Exercices

להתאמן

Exercice 1

נפח גליל הוא 90 סמ״ק. מה נפח החרוט בעל אותו בסיס ואותו גובה, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

90:3=3090 : 3 = 30

שליש

שלושים סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

103
רדיוס הבסיס: 3 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

חרוט שרדיוס בסיסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 94.2

Corrigé :

3.14⋅9⋅10=282.63.14 \cdot 9 \cdot 10 = 282.6

כאילו גליל

282.6:3=94.2282.6 : 3 = 94.2

ושליש

כ-94 סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ah
צלע הריבוע a והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו 5 ס״מ וגובהה 12 ס״מ. מהו נפחה בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

S=5⋅5=25\begin{aligned}S &= 5 \cdot 5 \\ &= 25\end{aligned}

שטח הבסיס

25⋅12=30025 \cdot 12 = 300

כאילו מנסרה

300:3=100300 : 3 = 100

ושליש

מאה סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

3
הרדיוס: 3 ס״מ.

כדור שרדיוסו 3 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 113.04

Corrigé :

33=273^3 = 27

חזקה שלישית

43⋅3.14⋅27=113.04\frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 27 = 113.04

והנוסחה

כ-113 סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חרוט וגליל בעלי אותו בסיס ואותו גובה. מה נכון?

  1. נפחם שווה
  2. נפח החרוט גדול פי 3
  3. נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל
  4. נפח החרוט הוא חצי מנפח הגליל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל

Corrigé :

Vחרוט=13VגלילV_{\text{חרוט}} = \frac{1}{3} V_{\text{גליל}}

שלוש שפיכות מילאו את הגליל

זה בדיוק מה שהניסוי הראה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נפח חרוט הוא 50 סמ״ק. מה נפח הגליל בעל אותו בסיס ואותו גובה, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 150

Corrigé :

50⋅3=15050 \cdot 3 = 150

הכיוון ההפוך — כפל ב-3

הגליל גדול פי שלושה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בנוסחת נפח הכדור הרדיוס מועלה בחזקה שנייה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

חזקה שלישית

חזקה שנייה הייתה נותנת שטח. נפח דורש שלושה ממדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

930
שטח הבסיס: 30 סמ״ר. הגובה: 9 ס״מ.

חרוט ששטח בסיסו 30 סמ״ר וגובהו 9 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

30⋅9=27030 \cdot 9 = 270

בסיס כפול גובה

270:3=90270 : 3 = 90

ושליש

כשנתון שטח הבסיס אין צורך בפאי כלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

סדרו את שלבי חישוב נפח חרוט

  • כותבים את התשובה בסמ״ק
  • מחלקים ב-3
  • מחשבים את שטח הבסיס
  • מכפילים בגובה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מחשבים את שטח הבסיס · מכפילים בגובה · מחלקים ב-3 · כותבים את התשובה בסמ״ק

Corrigé :

Sבסיס → ×h → :3S_{\text{בסיס}} \ \rightarrow \ \times h \ \rightarrow \ : 3

שלושת הצעדים, בסדר הזה

V=13Sבסיס⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{בסיס}} \cdot h

וזו הנוסחה שהם מרכיבים

השליש תמיד אחרון — כך מחלקים מספר אחד ולא גוררים שבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

6
הרדיוס: 6 ס״מ.

כדור שרדיוסו 6 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 904.32

Corrigé :

63=2166^3 = 216

חזקה שלישית

3.14⋅216=678.243.14 \cdot 216 = 678.24

כפול פאי

678.24⋅43=904.32678.24 \cdot \frac{4}{3} = 904.32

וכפול ארבע שלישים

רדיוס כפול הביא נפח גדול פי שמונה — כי החזקה שלישית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

חרוט שגובהו 9 ס״מ, וגליל שגובהו 3 ס״מ, עם אותו בסיס בדיוק — נפחם שווה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

13⋅S⋅9=3S\frac{1}{3} \cdot S \cdot 9 = 3S

החרוט

S⋅3=3SS \cdot 3 = 3S

הגליל

נכון! החרוט גבוה פי 3, וזה בדיוק מאזן את השליש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

56
רדיוס הבסיס: 6 ס״מ. הגובה: 5 ס״מ.

חרוט שרדיוס בסיסו 6 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מהו נפחו, בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 188.4

Corrigé :

3.14⋅36⋅5=565.23.14 \cdot 36 \cdot 5 = 565.2

כאילו גליל

565.2:3=188.4565.2 : 3 = 188.4

ושליש

בלי השליש יוצא 565.2 — נפח הגליל שמסביב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

10
שטח הבסיס: 48 סמ״ר. הגובה: 10 ס״מ.

פירמידה ששטח בסיסה 48 סמ״ר וגובהה 10 ס״מ. מהו נפחה, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 160

Corrigé :

48⋅10=48048 \cdot 10 = 480

כאילו מנסרה

480:3=160480 : 3 = 160

ושליש

כשנתון שטח הבסיס, לא צריך לדעת את צורתו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Complétez (השלימו)

מנסרה שנפחה 90 סמ״ק. פירמידה עם אותו בסיס ואותו גובה — נפחה ____ סמ״ק, וצריך ____ פירמידות כאלה כדי למלא את המנסרה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מנסרה שנפחה 90 סמ״ק. פירמידה עם אותו בסיס ואותו גובה — נפחה 30 סמ״ק, וצריך 3 פירמידות כאלה כדי למלא את המנסרה.

Corrigé :

90:3=3090 : 3 = 30

שליש

שלוש שפיכות ממלאות את המנסרה — כמו בניסוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

באיזו נוסחה יש שליש?

  • יש שליש
  • אין שליש
  • גליל
  • חרוט
  • מנסרה
  • פירמידה
  • תיבה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : חרוט — יש שליש · פירמידה — יש שליש · גליל — אין שליש · מנסרה — אין שליש · תיבה — אין שליש

Corrigé :

V=13ShV = \frac{1}{3} S h

גופים שמסתיימים בחוד

רק לגופים שמסתיימים בחוד יש שליש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

גליל עוטף כדור בדיוק: אותו רדיוס, וגובה פעמיים הרדיוס. נפח הגליל 150 סמ״ק. מה נפח הכדור, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

150⋅23=100150 \cdot \frac{2}{3} = 100

הכדור ממלא שני שלישים

כמו בניסוי של ארכימדס: הכדור הוא שני שלישים מהגליל שעוטף אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

מה נפח כדור שרדיוסו 3, כשכותבים אותו עם π\pi?

  1. 36π36\pi
  2. 12π12\pi
  3. 108π108\pi
  4. 27π27\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 36π36\pi

Corrigé :

43π⋅33=43⋅27π=36π\begin{aligned}\frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 &= \frac{4}{3} \cdot 27 \pi \\ &= 36\pi\end{aligned}

החזקה קודם

12π12\pi הוא עם r2r^2, ו-27π27\pi שוכח את 43\frac{4}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

התאימו כל גוף לנוסחת הנפח שלו

  • גליל
  • חרוט
  • כדור
  • פירמידה
  • 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h
  • 13S⋅h\frac{1}{3} S \cdot h
  • 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3
  • πr2h\pi r^2 h
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גליל — πr2h\pi r^2 h · חרוט — 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h · כדור — 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3 · פירמידה — 13S⋅h\frac{1}{3} S \cdot h

Corrigé :

13, 43\frac{1}{3}, \ \frac{4}{3}

השליש של החוד, וארבעה שלישים של הכדור

גליל — בסיס כפול גובה. חרוט ופירמידה — שליש מזה. כדור — רדיוס בחזקה שלישית.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe