Volume du prisme et du cylindre

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בתיבה חישבנו נפח ככפל של שלוש מידות.

יש דרך שנייה לקרוא את אותו חישוב. והיא תעבוד על כל הגופים של הפרק:

נפח = שטח הבסיס × גובה

הבסיס הוא קומה אחת של הגוף. הגובה אומר כמה קומות כאלה מעמידים זו על זו.

הכלל עובד כשהגוף שומר על אותו חתך מלמטה עד למעלה.

תיבה ששטח בסיסה 20 סמ״ר וגובהה 3 ס״מ — מה נפחה?

Voir la réponse et le corrigé

60 סמ״ק. שלוש קומות של 20 קוביות: 20×320 \times 3.

מנסרה

מנסרה היא גוף עם שני בסיסים זהים ומקבילים.

בין הבסיסים יש פאות צדדיות מלבניות. הבסיס יכול להיות משולש, מחומש, כל מצולע — והכלל אחד.

יש כאן שני גבהים שקל לבלבל ביניהם: גובה המשולש (בתוך הבסיס, כדי לחשב את שטחו) וגובה המנסרה (המרחק בין שני הבסיסים). הם לא אותו דבר.

מנסרה ששטח בסיסה 15 סמ״ר וגובהה 4 ס״מ — מה נפחה?

Voir la réponse et le corrigé

60 סמ״ק. 15×415 \times 4. אין צורך לדעת איזה מצולע הבסיס — שטחו כבר נתון.

שטח פנים ומעטפת

כדי לדעת כמה נייר צריך כדי לעטוף את הגוף — לא כמה מקום יש בתוכו — מחברים את שטחי כל הפאות.

Sמעטפת=Pבסיס⋅hS_{\text{מעטפת}} = P_{\text{בסיס}} \cdot h

גליל

גליל הוא אותו סיפור בדיוק, רק שהבסיס הוא עיגול.

לכן שטח הבסיס הוא πr2\pi r^2 — מה שלמדנו בפרק המעגל.

V=πr2⋅hV = \pi r^2 \cdot h

שתי הטעויות שחוזרות בכל תרגיל גליל.

V=π⋅102⋅3V = \pi \cdot 10^2 \cdot 3
V=π⋅32⋅10V = \pi \cdot 3^2 \cdot 10

רדיוס בריבוע, לא גובה בריבוע. החזקה שייכת לבסיס בלבד, כי רק הבסיס הוא שטח.

r=8 כשנתון קוטר 8r = 8 \text{ כשנתון קוטר } 8
r=4 כשנתון קוטר 8r = 4 \text{ כשנתון קוטר } 8

כשהשאלה נותנת קוטר, מחלקים ב-2 לפני שמציבים. אחרת התשובה גדולה פי ארבעה.

מה גדול יותר: גליל שרדיוסו 2 וגובהו 9, או גליל שרדיוסו 3 וגובהו 4?

Voir la réponse et le corrigé

π⋅4⋅9=36π\pi \cdot 4 \cdot 9 = 36\pi לעומת π⋅9⋅4=36π\pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi — הם שווים! הרדיוס בריבוע של הגליל האחד (44) הוא הגובה של השני, ולהפך: 44 ו-99 פשוט מחליפים מקום.

פחית שהקוטר שלה 8 ס״מ. איזה רדיוס מציבים בנוסחה?

Voir la réponse et le corrigé

4 ס״מ. הקוטר הוא פעמיים הרדיוס — מחלקים ב-2 לפני הכול.

המעטפת של הגליל

גם את המעטפת של הגליל פורשים: מורידים את התווית מהפחית, ומניחים אותה על השולחן.

Sמעטפת=2πr⋅hS_{\text{מעטפת}} = 2\pi r \cdot h

Exercices

להתאמן

Exercice 1

hS
שטח הבסיס S והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

מנסרה ששטח בסיסה 12 סמ״ר וגובהה 5 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12 \cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}

שטח הבסיס כפול הגובה

שישים סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

6104
הבסיס: משולש ישר זווית עם ניצבים 6 ו-4 ס״מ. גובה המנסרה: 10 ס״מ.

מנסרה שבסיסה משולש עם ניצבים 6 ו-4 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

S=6⋅42=12\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

קודם שטח הבסיס

V=12⋅10=120\begin{aligned}V &= 12 \cdot 10 \\ &= 120\end{aligned}

ואז כפול הגובה

הסדר הזה — בסיס ואז גובה — הוא כל הפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

rh
הרדיוס r והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

גליל שרדיוס בסיסו 2 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 125.6

Corrigé :

S=3.14⋅22=12.56\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 2^2 \\ &= 12.56\end{aligned}

שטח הבסיס העגול

V=12.56⋅10=125.6\begin{aligned}V &= 12.56 \cdot 10 \\ &= 125.6\end{aligned}

כפול הגובה

בערך 125.6 סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

610
הקוטר: 6 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

גליל שקוטר בסיסו 6 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 282.6

Corrigé :

r=6:2=3\begin{aligned}r &= 6 : 2 \\ &= 3\end{aligned}

קודם קוטר לרדיוס

S=3.14⋅9=28.26\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 9 \\ &= 28.26\end{aligned}

שטח הבסיס

V=28.26⋅10=282.6\begin{aligned}V &= 28.26 \cdot 10 \\ &= 282.6\end{aligned}

כפול הגובה

מי שהציב 6 במקום 3 קיבל פי ארבעה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בנוסחת נפח הגליל, את מי מעלים בחזקה שנייה?

  1. את הרדיוס בלבד
  2. את הרדיוס ואת הגובה
  3. את פאי
  4. את הגובה בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A את הרדיוס בלבד

Corrigé :

V=πr2hV = \pi r^2 h

הריבוע שייך לבסיס, כי הבסיס הוא שטח

הגובה נכנס פעם אחת בלבד — הוא מספר הקומות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

7?
הנפח: 84 סמ״ק. הגובה: 7 ס״מ.

נפח מנסרה הוא 84 סמ״ק, וגובהה 7 ס״מ. מהו שטח הבסיס, בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

S⋅7=84S \cdot 7 = 84

הנוסחה, כשהנעלם הוא הבסיס

S=84:7=12\begin{aligned}S &= 84 : 7 \\ &= 12\end{aligned}

מחלקים בגובה

הכיוון ההפוך: חילוק במקום כפל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

1030
הרדיוס: 10 ס״מ. הגובה: 30 ס״מ.

מיכל גלילי שרדיוסו 10 ס״מ וגובהו 30 ס״מ. כמה ליטר הוא מכיל? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.42

Corrigé :

V=3.14⋅100⋅30V = 3.14 \cdot 100 \cdot 30

בסיס כפול גובה

=9420 סמ״ק= 9420\ \text{סמ״ק}

הנפח בסנטימטרים מעוקבים

9420:1000=9.429420 : 1000 = 9.42

אלף סמ״ק הם ליטר

כ-9.4 ליטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

31045
הבסיס: ניצבים 3 ו-4, יתר 5. גובה המנסרה: 10 ס״מ.

מנסרה שבסיסה משולש עם ניצבים 3 ו-4 ויתר 5, וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת (בלי הבסיסים), בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

P=3+4+5=12\begin{aligned}P &= 3 + 4 + 5 \\ &= 12\end{aligned}

היקף הבסיס

S=12⋅10=120\begin{aligned}S &= 12 \cdot 10 \\ &= 120\end{aligned}

מלבן אחד ארוך

בדיוק מה שהגלגול הראה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שני גלילים שווי גובה — אם רדיוס אחד גדול פי 2, נפחו גדול פי 2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

π(2r)2h=4πr2h\pi (2r)^2 h = 4 \pi r^2 h

הרדיוס נכנס בריבוע

פי 4, לא פי 2. זו בדיוק הסיבה שהריבוע שבנוסחה חשוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

72
הרדיוס: 7 ס״מ. הגובה: 2 ס״מ.

כמה סמ״ק מים נכנסים בגליל שרדיוסו 7 ס״מ וגובהו 2 ס״מ? (π=227\pi = \frac{22}{7})

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 308

Corrigé :

S=227⋅49=154\begin{aligned}S &= \frac{22}{7} \cdot 49 \\ &= 154\end{aligned}

עם רדיוס 7 השבר מצטמצם יפה

V=154⋅2=308\begin{aligned}V &= 154 \cdot 2 \\ &= 308\end{aligned}

כפול הגובה

כשהרדיוס מתחלק ב-7 נוח לקחת את הקירוב 227\frac{22}{7}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

גוף שמצטמצם למעלה עד לחוד, כמו פירמידה, מחשבים ב«שטח הבסיס כפול הגובה»

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

S×hS \times h

רק לגוף עם אותו חתך מלמטה עד למעלה

לא. הכלל עובד רק כשכל הקומות זהות. בפירמידה כל קומה קטנה מזו שמתחתיה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

באילו גופים עובד «שטח הבסיס כפול הגובה»?

  • עובד
  • לא עובד
  • גליל
  • חרוט
  • כדור
  • מנסרה משולשת
  • פירמידה
  • קובייה
  • תיבה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תיבה — עובד · קובייה — עובד · מנסרה משולשת — עובד · גליל — עובד · חרוט — לא עובד · פירמידה — לא עובד · כדור — לא עובד

Corrigé :

V=S×hV = S \times h

אותו חתך לכל הגובה

תיבה, קובייה, מנסרה וגליל שומרים על אותו חתך. חרוט ופירמידה מצטמצמים, ולכדור אין בסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

5128
הבסיס: משולש ישר זווית עם ניצבים 5 ו-8 ס״מ. גובה המנסרה: 12 ס״מ.

מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית עם ניצבים 5 ו-8 ס״מ, וגובהה 12 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 240

Corrigé :

S=5⋅82=20\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 8}{2} \\ &= 20\end{aligned}

קודם שטח הבסיס

V=20⋅12=240\begin{aligned}V &= 20 \cdot 12 \\ &= 240\end{aligned}

ואז כפול הגובה

לא 5⋅8⋅125 \cdot 8 \cdot 12: הבסיס משולש, ושטחו חצי ממכפלת הניצבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

התאימו כל מנסרה לנפח שלה

  • בסיס 12 סמ״ר, גובה 5 ס״מ
  • בסיס 8 סמ״ר, גובה 9 ס״מ
  • בסיס 10 סמ״ר, גובה 4 ס״מ
  • 40 סמ״ק
  • 60 סמ״ק
  • 72 סמ״ק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בסיס 12 סמ״ר, גובה 5 ס״מ — 60 סמ״ק · בסיס 8 סמ״ר, גובה 9 ס״מ — 72 סמ״ק · בסיס 10 סמ״ר, גובה 4 ס״מ — 40 סמ״ק

Corrigé :

12⋅5=60 8⋅9=72 10⋅4=40\begin{aligned}12 \cdot 5 &= 60 \\ \ 8 \cdot 9 &= 72 \\ \ 10 \cdot 4 &= 40\end{aligned}

שטח הבסיס כפול הגובה

אין צורך לדעת איזה מצולע הבסיס: שטחו כבר נתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

מנסרה שבסיסה ריבוע שצלעו 4 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת (בלי הבסיסים), בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 160

Corrigé :

P=4⋅4=16\begin{aligned}P &= 4 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

היקף הבסיס

16⋅10=16016 \cdot 10 = 160

מלבן אחד, בגובה המנסרה

המעטפת נפרשת למלבן אחד: היקף הבסיס כפול הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

גליל שרדיוסו 4 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

V=πr2hV = \pi r^2 h
V=3.14⋅102⋅4V = 3.14 \cdot 10^2 \cdot 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : V=3.14⋅102⋅4V = 3.14 \cdot 10^2 \cdot 4 → V=3.14⋅42⋅10V = 3.14 \cdot 4^2 \cdot 10

Corrigé :

V=3.14⋅16⋅10=502.4\begin{aligned}V &= 3.14 \cdot 16 \cdot 10 \\ &= 502.4\end{aligned}

הרדיוס בריבוע

הציבו את הגובה במקום הרדיוס. החזקה שייכת לרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

פחית א: רדיוס 3 ס״מ, גובה 4 ס״מ. פחית ב: רדיוס 2 ס״מ, גובה 8 ס״מ. באיזו נכנס יותר?

  1. בשתיהן אותו נפח
  2. בפחית א
  3. בפחית ב
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B בפחית א

Corrigé :

π⋅9⋅4=36π\pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi

פחית א

π⋅4⋅8=32π\pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi

פחית ב

פחית ב גבוהה פי 2, אבל הרדיוס נכנס בריבוע: 99 מול 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

510
הרדיוס: 5 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

פחית שרדיוסה 5 ס״מ וגובהה 10 ס״מ. כמה סמ״ר נייר צריך לתווית שעוטפת אותה? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 314

Corrigé :

2⋅3.14⋅5=31.42 \cdot 3.14 \cdot 5 = 31.4

היקף הבסיס — רוחב התווית

31.4⋅10=31431.4 \cdot 10 = 314

כפול הגובה

התווית היא מלבן: היקף העיגול כפול הגובה. לא πr2\pi r^2 — זה שטח המכסה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

כשפורשים את המעטפת של גליל, מקבלים מלבן שאורכו הוא היקף הבסיס

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

Sמעטפת=2πr⋅hS_{\text{מעטפת}} = 2\pi r \cdot h

היקף כפול גובה

נכון. התווית מקיפה את העיגול פעם אחת בדיוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

102
הקוטר: 10 ס״מ. הגובה: 2 ס״מ.

גליל שקוטר בסיסו 10 ס״מ וגובהו 2 ס״מ. מהו הנפח, בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 157

Corrigé :

r=10:2=5\begin{aligned}r &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

קודם קוטר לרדיוס

S=3.14⋅25=78.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 25 \\ &= 78.5\end{aligned}

שטח הבסיס

V=78.5⋅2=157\begin{aligned}V &= 78.5 \cdot 2 \\ &= 157\end{aligned}

כפול הגובה

עם הקוטר במקום הרדיוס היה יוצא פי 4: 628.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe