Série 2 — moyen · Croissance et décroissance · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות על כל הפרק: אחוז מתוך שני ערכים, כמה צעדים אחורה בזמן, «מתי לראשונה» בגדילה ובדעיכה, השוואה בין שתי כמויות, ושינוי כולל על פני כמה שנים. כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

כשנתונים שני ערכים בהפרש של $n$ שנים: מחלקים את המאוחר במוקדם, ומוציאים שורש מסדר $n$ . ב«מתי לראשונה» כותבים שתי שורות בטבלת הניסוי.

Exercices

Exercice 1

מספר המשתמשים באפליקציה גדל בשנתיים מ- $6400$ ל- $7744$ , באותו אחוז בכל שנה. בכמה אחוזים גדל מספר המשתמשים בכל שנה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

6400 \cdot q^2 = 7744

שתי שנים

\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש

p = 10

האחוז

הגדילה היא $10\%$ בשנה. הגדילה הכוללת היא $21\%$ , ולא $20\%$ , כי בשנה השנייה האחוז נלקח מ- $7040$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

סכום בקרן השתלמות גדל ב- $10\%$ בכל שנה. היום יש בקרן $13310$ ש״ח. כמה ש״ח היו בקרן לפני $3$ שנים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10000

Corrigé :

A \cdot 1.1^3 = 13310

שלוש שנים קדימה מהסכום הלא ידוע

\begin{aligned}A &= 13310 : 1.331 \\ &= 10000\end{aligned}

מחלקים

לפני $3$ שנים היו $10000$ ש״ח. מי שמוריד $30\%$ מ- $13310$ מקבל $9317$ : זו טעות כפולה, גם קווית וגם בכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ערך של רכב הוא $50000$ ש״ח, והוא יורד ב- $10\%$ בכל שנה. אחרי כמה שנים שלמות, לראשונה, יהיה ערכו נמוך מ- $30000$ ש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

50000 \cdot 0.9^t < 30000 \ \Rightarrow \ 0.9^t < 0.6

מחלקים ב- $50000$

0.9^4 \approx 0.656 \qquad 0.9^5 \approx 0.590

ניסוי

אחרי $5$ שנים. בדעיכה סימן אי-השוויון הוא $<$ : מחפשים את הפעם הראשונה שיורדים מתחת לסף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במעבדה שתי תרביות. בתרבית א יש $1000$ חיידקים, ומספרם גדל ב- $20\%$ בכל שעה. בתרבית ב יש $2000$ חיידקים, ומספרם קטן ב- $10\%$ בכל שעה. אחרי כמה שעות שלמות, לראשונה, יהיו בתרבית א יותר חיידקים מבתרבית ב?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}t &= 2: \ 1000 \cdot 1.2^2 \\ &= 1440 \ \\ \quad 2000 \cdot 0.9^2 &= 1620\end{aligned}

עוד לא

\begin{aligned}t &= 3: \ 1000 \cdot 1.2^3 \\ &= 1728 \ \\ \quad 2000 \cdot 0.9^3 &= 1458\end{aligned}

כבר כן

אחרי $3$ שעות. משווים את שתי הכמויות באותו $t$ , בטבלה של שתי שורות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמות גדלה ב- $10\%$ בכל שנה, במשך $3$ שנים. בכמה אחוזים גדלה בסך הכול?

$133.1\%$
$33.1\%$
$31\%$
$30\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $33.1\%$

Corrigé :

1.1^3 = 1.331

שלושה מכפילים

1.331 = 1 + 0.331

גדילה של $33.1\%$

הנכונה: $33.1\%$ . $30\%$ מחבר את האחוזים כאילו הגדילה קווית. $133.1\%$ הוא הערך החדש ביחס להתחלה, לא הגדילה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ערכה של מניה ירד בשלוש שנים מ- $20000$ ש״ח ל- $17147.5$ ש״ח, באותו אחוז בכל שנה. בכמה אחוזים ירד ערכה בכל שנה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}q^3 &= \frac{17147.5}{20000} \\ &= 0.857375\end{aligned}

שלוש שנים

q = 0.95

שורש שלישי: $0.95^3 = 0.857375$

\begin{aligned}p &= 100 - 95 \\ &= 5\end{aligned}

האחוז

הירידה היא $5\%$ בשנה. בשלוש שנים מוציאים שורש שלישי, לא שורש ריבועי ולא חילוק ב- $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

דנה חישבה כמה יהיו בחשבון אחרי $3$ שנים, אם מפקידים $5000$ ש״ח בריבית דריבית של $4\%$ לשנה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}q &= 1 + \frac{4}{100} \\ &= 1.04\end{aligned}

\begin{aligned}A_3 &= 5000 + 3 \cdot 200 \\ &= 5600\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A_3 = 5000 + 3 \cdot 200 = 5600$ → $A_3 = 5000 \cdot 1.04^3 \approx 5624.32$

Corrigé :

q = 1.04

המכפיל נכון

A_3 = 5000 \cdot 1.04^3 \approx 5624.32

שלוש פעמים באותו מכפיל

דנה חישבה ריבית פשוטה: $200$ ש״ח בכל שנה. בריבית דריבית הריבית נלקחת כל שנה מסכום גדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בשנת 2018 גרו בעיר $40000$ תושבים, ובשנת 2020 גרו בה $44100$ תושבים. מספר התושבים גדל באותו אחוז בכל שנה. כמה תושבים יגורו בעיר בשנת 2023? עגלו למספר שלם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 51051

Corrigé :

\begin{aligned}q^2 &= \frac{44100}{40000} \\ &= 1.1025 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.05\end{aligned}

שתי שנים בין 2018 ל-2020

44100 \cdot 1.05^3 \approx 51051.26

שלוש שנים מ-2020

כ- $51051$ תושבים. את השנים סופרים מ-2020, מהערך האחרון הידוע. מ-2018 צריך $40000 \cdot 1.05^5$ , וזה אותו מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשרד יש מספר גדל של מחשבים. בשנת 2021 היו $3200$ מחשבים, ובשנת 2023 היו $5000$ . המספר גדל באותו אחוז בכל שנה. השלימו.

אחוז הגדילה השנתי: ____ % ; מספר המחשבים בשנת 2022: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחוז הגדילה השנתי: 25 % ; מספר המחשבים בשנת 2022: 4000

Corrigé :

\begin{aligned}q^2 &= \frac{5000}{3200} \\ &= 1.5625 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.25\end{aligned}

שתי שנים

3200 \cdot 1.25 = 4000

שנה אחת מ-2021

4000 \cdot 1.25 = 5000 \ \checkmark

בדיקה

שנת 2022 היא לא הממוצע של $3200$ ו- $5000$ ( $4100$ ). במודל מעריכי מגיעים לאמצע ביחס, לא בהפרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

טענה: ירידה של $20\%$ בכל שנה, במשך שנתיים, היא ירידה של $40\%$ בסך הכול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

0.8^2 = 0.64

שני מכפילים

1 - 0.64 = 0.36

ירידה של $36\%$

הטענה לא נכונה. הירידה הכוללת היא $36\%$ . בשנה השנייה ה- $20\%$ נלקחים מערך קטן יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev