Aires et volumes à l'échelle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בתוכנית של דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, הסלון הוא 6 ס״מ על 4 ס״מ: 24 סמ״ר על הנייר. האם גם במציאות שטחו פי 100, כלומר 2,400 סמ״ר? זה פחות מרבע מ״ר, שטח של שולחן קטן. במציאות הסלון 6 מטר על 4 מטר, כלומר 24 מ״ר, ושטח זה גדול פי 10,000 מהשטח בתוכנית.

ABCDEF
תוכנית של דירה בצורת האות L. בכל פינה זווית ישרה, ולכן חותכים אותה לשני מלבנים ומחברים את השטחים.

אם כל הצלעות גדלות פי 3, פי כמה גדל השטח? ופי כמה גדל הנפח של גוף?

Voir la réponse et le corrigé

השטח גדל פי 32=93^2 = 9: שטח הוא אורך כפול אורך. הנפח גדל פי 33=273^3 = 27: שלושה כיוונים.

הכלל: אורך פי k, שטח פי k², נפח פי k³

L′=k⋅LS′=k2⋅SV′=k3⋅V\begin{aligned}L' &= k \cdot L \qquad S' \\ &= k^2 \cdot S \qquad V' \\ &= k^3 \cdot V\end{aligned}

L,S,VL, S, V הם אורך, שטח ונפח בשרטוט, והמסומנים בגרש הם במציאות. בקנה מידה 1:n1 : n, היחס הוא k=nk = n.

במפות גדולות k2k^2 הוא מספר עצום, ולכן יש דרך נוחה יותר: ממירים קודם ס״מ אחד של המפה למטרים, ורק אז מעלים בריבוע.

אגם במפה

במפה בקנה מידה 1:25,0001 : 25{,}000 שטחו של אגם הוא 8 סמ״ר. מהו שטחו במציאות, בדונם?

1 ס״מ→25,000 ס״מ=250 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 25{,}000 \text{ ס״מ} = 250 \text{ מ׳}

ס״מ אחד במפה

1 סמ״ר→2502=62,500 מ״ר1 \text{ סמ״ר} \to 250^2 = 62{,}500 \text{ מ״ר}

ריבוע של 1 ס״מ על 1 ס״מ הוא ריבוע של 250 מ׳ על 250 מ׳

8⋅62,500=500,000 מ״ר8 \cdot 62{,}500 = 500{,}000 \text{ מ״ר}

שמונה ריבועים כאלה

500,000:1000=500 דונם500{,}000 : 1000 = 500 \text{ דונם}

בדונם 1000 מ״ר

במפה בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000: כמה מ״ר במציאות מייצג סמ״ר אחד במפה?

Voir la réponse et le corrigé

ס״מ אחד הוא 10,00010{,}000 ס״מ, כלומר 100 מטר. סמ״ר אחד הוא 1002=10,000100^2 = 10{,}000 מ״ר, 10 דונם.

מהשטחים אל קנה המידה

מהו קנה המידה?

שטח חדר במציאות הוא 20 מ״ר, ובתוכנית הוא 20 סמ״ר. מהו קנה המידה של התוכנית?

20 מ״ר=200,000 סמ״ר20 \text{ מ״ר} = 200{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

k2=200,000:20=10,000\begin{aligned}k^2 &= 200{,}000 : 20 \\ &= 10{,}000\end{aligned}

יחס השטחים הוא k2k^2

k=10,000=100\begin{aligned}k &= \sqrt{10{,}000} \\ &= 100\end{aligned}

מוציאים שורש

1:1001 : 100

קנה המידה

יחס השטחים הוא לא קנה המידה. אחרי החילוק תמיד מוציאים שורש. בדיקה מהירה: k2k^2 יוצא ריבוע של מספר שלם כמו 100100, 400400 או 10,00010{,}000.

דגמים ונפחים

דגם של מכולה

דגם של מכולת מים בקנה מידה 1:201 : 20 מחזיק חצי ליטר. כמה מים מחזיקה המכולה האמיתית?

k3=203=8000\begin{aligned}k^3 &= 20^3 \\ &= 8000\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3

0.5⋅8000=4000 ליטר0.5 \cdot 8000 = 4000 \text{ ליטר}

הנפח במציאות

4000 ליטר=4 מ״ק4000 \text{ ליטר} = 4 \text{ מ״ק}

במ״ק 1000 ליטר

שלוש הטעויות של שטח ונפח בקנה מידה.

S′=100⋅SS' = 100 \cdot S
S′=1002⋅SS' = 100^2 \cdot S

בקנה מידה 1:1001 : 100 השטח גדל פי 10,000. פי 100 נכון רק לאורכים.

k=200,000:20=10,000\begin{aligned}k &= 200{,}000 : 20 \\ &= 10{,}000\end{aligned}
k=10,000=100\begin{aligned}k &= \sqrt{10{,}000} \\ &= 100\end{aligned}

יחס השטחים הוא k2k^2. שכחו להוציא שורש.

V′=202⋅VV' = 20^2 \cdot V
V′=203⋅VV' = 20^3 \cdot V

לנפח שלושה כיוונים, ולכן החזקה היא 3.

Exercices

Exercice 1

ABCD
חדר העבודה ABCD בתוכנית

בתוכנית של דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, חדר העבודה ABCD הוא 5 ס״מ על 3 ס״מ. מהו שטחו במציאות, במ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

5 ס״מ→5 מ׳,3 ס״מ→3 מ׳5 \text{ ס״מ} \to 5 \text{ מ׳} ,\quad 3 \text{ ס״מ} \to 3 \text{ מ׳}

בקנה מידה 1:1001 : 100, ס״מ אחד הוא מטר אחד

5⋅3=155 \cdot 3 = 15

שטח המלבן, במ״ר

ממירים את הצלעות לפני הכפל, וכך אין צורך לזכור פי כמה גדל השטח. מי שכפל 15⋅10015 \cdot 100 קיבל 15001500 סמ״ר, פחות ממ״ר אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במפה בקנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000: כמה מ״ר במציאות מייצג סמ״ר אחד במפה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 250000

Corrigé :

1 ס״מ→50,000 ס״מ=500 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 50{,}000 \text{ ס״מ} = 500 \text{ מ׳}

אורך

5002=250,000500^2 = 250{,}000

שטח: היחס בריבוע

250,000250{,}000 מ״ר הם 250 דונם. מי שענה 500 שכח שסמ״ר הוא ריבוע, ולא קטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מגדילים שרטוט כך שכל אורך גדל פי 3. פי כמה גדל שטח של כל צורה בשרטוט?

  1. 33
  2. 99
  3. 66
  4. 2727
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 99

Corrigé :

k=3k = 3

יחס האורכים

k2=9k^2 = 9

יחס השטחים

הנכונה: 9. 6=2⋅36 = 2 \cdot 3 מכפיל ב-2 במקום להעלות בריבוע. 27=3327 = 3^3 הוא יחס הנפחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במפה בקנה מידה 1:20,0001 : 20{,}000 שטחו של פארק הוא 6 סמ״ר. מהו שטח הפארק במציאות, בדונם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 240

Corrigé :

1 ס״מ→200 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 200 \text{ מ׳}

ס״מ אחד במפה

1 סמ״ר→2002=40,000 מ״ר1 \text{ סמ״ר} \to 200^2 = 40{,}000 \text{ מ״ר}

סמ״ר אחד במפה

6⋅40,000=240,000 מ״ר=240 דונם\begin{aligned}6 \cdot 40{,}000 &= 240{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 240 \text{ דונם}\end{aligned}

שישה סמ״ר, ואז לדונם

הטעות הנפוצה: 6⋅200=12006 \cdot 200 = 1200 מ״ר. זה כופל שטח ביחס האורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שטח מרפסת במציאות הוא 48 מ״ר, ובתוכנית הוא 12 סמ״ר. קנה המידה של התוכנית הוא 1:n1 : n. מצאו את nn.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 200

Corrigé :

48 מ״ר=480,000 סמ״ר48 \text{ מ״ר} = 480{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

k2=480,000:12=40,000\begin{aligned}k^2 &= 480{,}000 : 12 \\ &= 40{,}000\end{aligned}

יחס השטחים

k=40,000=200\begin{aligned}k &= \sqrt{40{,}000} \\ &= 200\end{aligned}

שורש

מי שענה 40,000 עצר ביחס השטחים. קנה המידה הוא יחס של אורכים, ולכן מוציאים שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

דגם של מיכל דלק בקנה מידה 1:501 : 50. נפח הדגם 60 סמ״ק. מה נפח המיכל האמיתי, בליטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7500

Corrigé :

k3=503=125,000\begin{aligned}k^3 &= 50^3 \\ &= 125{,}000\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3

60⋅125,000=7,500,000 סמ״ק60 \cdot 125{,}000 = 7{,}500{,}000 \text{ סמ״ק}

הנפח האמיתי

7,500,000:1000=75007{,}500{,}000 : 1000 = 7500

בליטר 1000 סמ״ק

מי שכפל ב-50250^2 קיבל 150 ליטר, כאילו לנפח שני כיוונים בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: בתוכנית בקנה מידה 1:1001 : 100, שטח של חדר במציאות גדול פי 100 משטחו בתוכנית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

k=100k = 100

יחס האורכים

k2=10,000k^2 = 10{,}000

יחס השטחים

הטענה לא נכונה. השטח גדל פי 10,000. פי 100 נכון רק לאורך, לרוחב ולהיקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDEF

בתוכנית בקנה מידה 1:2001 : 200 מופיעה דירה ABCDEF, וכל זוויותיה ישרות (ראו שרטוט). בתוכנית: AB = 6 ס״מ, BC = 3 ס״מ, EF = 4 ס״מ, AF = 5 ס״מ. מהו שטח הדירה במציאות, במ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 104

Corrigé :

CD=6−4=2DE=5−3=2\begin{aligned}CD &= 6 - 4 \\ &= 2 \\ \quad DE &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן שוות

6⋅3+4⋅2=26 סמ״ר6 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 26 \text{ סמ״ר}

השטח בתוכנית: שני מלבנים

1 ס״מ→2 מ׳ ⇒ 1 סמ״ר→4 מ״ר1 \text{ ס״מ} \to 2 \text{ מ׳} \ \Rightarrow \ 1 \text{ סמ״ר} \to 4 \text{ מ״ר}

ס״מ אחד הוא 200 ס״מ

26⋅4=10426 \cdot 4 = 104

השטח במציאות

מי שכפל 26⋅2=5226 \cdot 2 = 52 השתמש ביחס האורך. הדרך הבטוחה: ממירים כל צלע למטרים (12, 6, 8, 10) ומחשבים 12⋅6+8⋅4=10412 \cdot 6 + 8 \cdot 4 = 104.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בתוכנית בקנה מידה 1:501 : 50 שטח מטבח הוא 30 סמ״ר. תלמידה חישבה את שטחו במציאות. שורה אחת שגויה, מצאו אותה.

k=50k = 50
S′=30⋅50=1500 סמ״ר\begin{aligned}S' &= 30 \cdot 50 \\ &= 1500 \text{ סמ״ר}\end{aligned}
1500 סמ״ר=0.15 מ״ר1500 \text{ סמ״ר} = 0.15 \text{ מ״ר}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S′=30⋅50=1500 סמ״רS' = 30 \cdot 50 = 1500 \text{ סמ״ר} → S′=30⋅502=75,000 סמ״רS' = 30 \cdot 50^2 = 75{,}000 \text{ סמ״ר}

Corrigé :

S′=30⋅2500=75,000 סמ״ר\begin{aligned}S' &= 30 \cdot 2500 \\ &= 75{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

שטח: היחס בריבוע

75,000:10,000=7.5 מ״ר75{,}000 : 10{,}000 = 7.5 \text{ מ״ר}

המרה למ״ר

המטבח 7.57.5 מ״ר. מטבח של 0.150.15 מ״ר הוא בגודל של מגש: בדיקת היגיון תופסת את הטעות כבר בשורה השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במפה בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000 שטחה של חורשה הוא 18 סמ״ר. מה יהיה שטחה, בסמ״ר, במפה בקנה מידה 1:30,0001 : 30{,}000?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

30,000:10,000=330{,}000 : 10{,}000 = 3

המפה השנייה מוקטנת פי 3 באורך

32=93^2 = 9

ולכן פי 9 בשטח

18:9=218 : 9 = 2

השטח במפה השנייה

מי שחילק ב-3 קיבל 6 סמ״ר. בין שתי מפות, כמו בין מפה למציאות, השטח משתנה ביחס בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe