On résout ensemble · Rapport et échelle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות של אשכול ההתמצאות במישור ובמרחב, אחת לכל רעיון של הפרק: מפת טיולים, חלוקה ביחס, תוכנית דירה, ודגם. כל שאלה נפתרת יחד, סעיף אחרי סעיף. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל סעיף כתבו יחידות ליד כל מספר. בשאלות של קנה מידה כמעט כל טעות היא טעות של יחידות, וכך רואים אותה מיד.

1 — מפת טיולים: מרחק, זמן ושטח

Activité interactive

מפת טיולים בקנה מידה $1 : 50{,}000$ . א. במפה, המרחק בין החניון לתצפית הוא 9 ס״מ. מהו המרחק במציאות, בק״מ? ב. מטיילת הולכת במהירות קבועה של 3 קמ״ש. כמה דקות תימשך ההליכה? ג. שטחה של שמורת טבע במפה הוא 12 סמ״ר. מהו שטחה במציאות, בדונם?

\begin{aligned}1 : 50{,}000 \\ \quad d &= 9 \text{ ס״מ} \\ \quad v &= 3 \\ \quad S &= 12 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בסעיף א עוברים ממפה למציאות, בסעיף ג עושים זאת בשטח.

א.

9 \cdot 50{,}000 = 450{,}000 \text{ ס״מ}

מהמפה למציאות: כופלים ב- $n$ . התוצאה בס״מ.

א. המרה

450{,}000 \text{ ס״מ} = 4.5 \text{ ק״מ}

בק״מ $100{,}000$ ס״מ.

ב.

\begin{aligned}t &= \frac{4.5}{3} \\ &= 1.5 \text{ שעות}\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות.

ב. המרה

1.5 \cdot 60 = 90 \text{ דקות}

השאלה ביקשה דקות.

ג. ס״מ אחד

1 \text{ ס״מ} \to 500 \text{ מ׳}

לפי סעיף א: $50{,}000$ ס״מ הם 500 מטר.

ג. סמ״ר אחד

1 \text{ סמ״ר} \to 500^2 = 250{,}000 \text{ מ״ר}

בשטח היחס בריבוע.

ג.

\begin{aligned}12 \cdot 250{,}000 &= 3{,}000{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 3000 \text{ דונם}\end{aligned}

בדונם 1000 מ״ר.

שני המקומות שבהם השאלה «תופסת»: ההמרה משעות לדקות בסעיף ב, והריבוע של יחס האורך בסעיף ג.

Faire l'activité sur elev

בסעיף ג, מה הייתה התשובה של מי שכופל $12 \cdot 50{,}000$ וממיר למ״ר? למה היא שגויה?

Voir la réponse et le corrigé

$12 \cdot 50{,}000 = 600{,}000$ , ואם קוראים את זה כסמ״ר מקבלים 60 מ״ר, שטח של דירה קטנה. זה שטח שגדל ביחס האורך. בשטח היחס נכנס פעמיים: $50{,}000^2$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — חלוקה ביחס של שלושה

Activité interactive

רווח של שלושה שותפים

שלושה שותפים בעסק קטן מחלקים רווח של 42,000 שקלים ביחס $2 : 3 : 5$ . כמה מקבל השותף שחלקו הגדול ביותר?

21,000 שקלים

8,400 שקלים

14,000 שקלים

4,200 שקלים

מה הצעד הראשון?

סופרים את מספר החלקים

Voir la réponse et le corrigé

הרווח כולו מורכב מחלקים שווים.

מחלקים את 42,000 ב-5

Voir la réponse et le corrigé

5 הוא רק מספר החלקים של שותף אחד.

2+3+5=10

10 חלקים

כמה שווה חלק אחד?

Voir la réponse et le corrigé

$42{,}000 : 10$

Voir la réponse et le corrigé

זה חילוק ב-3, מספר השותפים, ולא במספר החלקים.

42{,}000 : 10 = 4200

חלק אחד

ומה מקבל השותף הגדול?

$5 \cdot 4200$

Voir la réponse et le corrigé

לו 5 חלקים.

$2 \cdot 4200$

Voir la réponse et le corrigé

זה השותף הקטן.

5 \cdot 4200 = 21{,}000

בדיקה: $8400+12{,}600+21{,}000=42{,}000$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

21,000 שקלים. 8,400 הוא חלקו של השותף הקטן. 14,000 מתקבל מחלוקה שווה בין שלושה. 4,200 הוא רק חלק אחד.

Faire l'activité sur elev

השותף הקטן רוצה לקבל לפחות רבע מהרווח. האם היחס $2 : 3 : 5$ נותן לו את זה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. חלקו $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ מהרווח, כלומר 8,400 שקלים, פחות מרבע ( $10{,}500$ ).

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — תוכנית דירה: מידות, שטח ואריחים

Activité interactive

בתוכנית של דירה בקנה מידה $1 : 50$ , המטבח הוא 8 ס״מ על 6.4 ס״מ. א. מהן מידות המטבח במציאות, במטרים? ב. מהו שטח המטבח במציאות, במ״ר? ג. מרצפים את המטבח באריחים של 40 ס״מ על 40 ס״מ. כמה אריחים צריך? ד. הראו שיחס השטחים הוא $50^2$ .

1 : 50 ,\quad 8 \times 6.4 \text{ ס״מ} ,\quad 40 \times 40 \text{ ס״מ}

לחצו «להתחיל». ממירים קודם את הצלעות, ורק אחר כך מחשבים שטח.

א.

\begin{aligned}8 \cdot 50 &= 400 \text{ ס״מ} \\ &= 4 \text{ מ׳} \\ \quad 6.4 \cdot 50 &= 320 \text{ ס״מ} \\ &= 3.2 \text{ מ׳}\end{aligned}

כל צלע כופלים ב-50.

ב.

4 \cdot 3.2 = 12.8 \text{ מ״ר}

שטח מלבן: אורך כפול רוחב.

ג.

\begin{aligned}400 : 40 &= 10 \\ \quad 320 : 40 &= 8\end{aligned}

כמה אריחים בכל כיוון.

ג.

10 \cdot 8 = 80 \text{ אריחים}

בדיקה: $128{,}000 : 1600 = 80$ ✓

ד.

8 \cdot 6.4 = 51.2 \text{ סמ״ר}

השטח בתוכנית.

ד.

\begin{aligned}128{,}000 : 51.2 &= 2500 \\ &= 50^2\end{aligned}

$12.8$ מ״ר הם $128{,}000$ סמ״ר.

סעיף ד הוא הכלל של הפרק במספרים: האורך פי 50, השטח פי $50^2 = 2500$ .

Faire l'activité sur elev

אם האריחים היו 80 ס״מ על 80 ס״מ, כמה אריחים היו נדרשים? למה לא בדיוק חצי?

Voir la réponse et le corrigé

שטח האריח גדל פי $2^2 = 4$ , ולכן צריך רבע: $80 : 4 = 20$ אריחים ( $5 \cdot 4$ ). לא חצי, כי הצלע גדלה פי 2 אבל השטח פי 4.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — דגם: גובה ושטח

Activité interactive

דגם של בניין

אדריכלית בונה דגם של בניין בקנה מידה $1 : 200$ . גובה הדגם 30 ס״מ, ושטח הגג בדגם 150 סמ״ר. מה גובה הבניין ומה שטח הגג במציאות?

60 מ׳ ו-600 מ״ר

60 מ׳ ו-3 מ״ר

6 מ׳ ו-600 מ״ר

600 מ׳ ו-6,000 מ״ר

איך מוצאים את הגובה?

$30 \cdot 200$ ס״מ

Voir la réponse et le corrigé

גובה הוא אורך: היחס פעם אחת.

$30 \cdot 200^2$ ס״מ

Voir la réponse et le corrigé

בריבוע מעלים רק שטח.

\begin{aligned}30 \cdot 200 &= 6000 \text{ ס״מ} \\ &= 60 \text{ מ׳}\end{aligned}

גובה הבניין

ואיך מוצאים את שטח הגג?

$150 \cdot 200^2$ סמ״ר

Voir la réponse et le corrigé

שטח: היחס בריבוע.

$150 \cdot 200$ סמ״ר

Voir la réponse et le corrigé

זה יחס האורך, והתוצאה קטנה פי 200.

150 \cdot 40{,}000 = 6{,}000{,}000 \text{ סמ״ר}

שטח הגג בסמ״ר

כמה מ״ר זה?

מחלקים ב-10,000

Voir la réponse et le corrigé

$1 \text{ m}^{2} = 10{,}000 \text{ cm}^{2}$

מחלקים ב-100

Voir la réponse et le corrigé

זו המרה של אורך, לא של שטח.

6{,}000{,}000 : 10{,}000 = 600 \text{ מ״ר}

שטח הגג

Voir la réponse et le corrigé

60 מ׳ ו-600 מ״ר. «3 מ״ר» כופל את השטח ביחס האורך. «6 מ׳» ו-«600 מ׳» הם טעויות בהמרה מס״מ למטרים.

Faire l'activité sur elev

נפח הדגם הוא 4,500 סמ״ק. פי כמה גדול נפח הבניין?

Voir la réponse et le corrigé

פי $200^3 = 8{,}000{,}000$ . אורך פי $k$ , שטח פי $k^2$ , נפח פי $k^3$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 שואלת את השאלה ההפוכה: מהשטחים אל קנה המידה.

Exercices

Exercice 1

מפת טיולים בקנה מידה $1 : 25{,}000$ . במפה, אורך השביל מהחניון לעין הוא 14 ס״מ. מטייל הולך במהירות קבועה של 5 קמ״ש. שטחו של יער במפה הוא 8 סמ״ר. השלימו.

אורך השביל: ____ ק״מ , זמן ההליכה: ____ דקות , שטח היער: ____ דונם

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אורך השביל: 3.5 ק״מ , זמן ההליכה: 42 דקות , שטח היער: 500 דונם

Corrigé :

\begin{aligned}14 \cdot 25{,}000 &= 350{,}000 \text{ ס״מ} \\ &= 3.5 \text{ ק״מ}\end{aligned}

מהמפה למציאות

\begin{aligned}\frac{3.5}{5} &= 0.7 \text{ שעות} \\ &= 42 \text{ דקות}\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות

1 \text{ ס״מ} \to 250 \text{ מ׳} \ \Rightarrow \ 1 \text{ סמ״ר} \to 62{,}500 \text{ מ״ר}

שטח: בריבוע

\begin{aligned}8 \cdot 62{,}500 &= 500{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 500 \text{ דונם}\end{aligned}

לדונם

$0.7$ שעות הן 42 דקות, לא 70. ובשטח: $8 \cdot 250 = 2000$ מ״ר הוא שטח שגדל רק ביחס האורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

36,000 שקלים מתחלקים בין שלוש אחיות ביחס $1 : 3 : 5$ . כמה מקבלת האחות שחלקה הקטן ביותר?

4,000 שקלים
7,200 שקלים
12,000 שקלים
36,000 שקלים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4,000 שקלים

Corrigé :

1+3+5=9

9 חלקים

36{,}000 : 9 = 4000

חלק אחד, וזה בדיוק חלקה של הקטנה

הנכונה: 4,000 שקלים. 12,000 הוא חלוקה שווה בין שלוש. 7,200 הוא חילוק ב-5 במקום ב-9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חדר השינה ABCD

בתוכנית בקנה מידה $1 : 50$ , חדר שינה הוא 9 ס״מ על 7.2 ס״מ. מרצפים אותו באריחים של 45 ס״מ על 45 ס״מ. השלימו.

שטח החדר במציאות: ____ מ״ר , מספר האריחים: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שטח החדר במציאות: 16.2 מ״ר , מספר האריחים: 80

Corrigé :

\begin{aligned}9 \cdot 50 &= 450 \text{ ס״מ} \\ \quad 7.2 \cdot 50 &= 360 \text{ ס״מ}\end{aligned}

המידות במציאות

4.5 \cdot 3.6 = 16.2 \text{ מ״ר}

Aire (שטח) du rectangle (מלבן)

\begin{aligned}(450 : 45) \cdot (360 : 45) &= 10 \cdot 8 \\ &= 80\end{aligned}

אריחים בכל כיוון

בדיקה בדרך השנייה: $162{,}000 : 2025 = 80$ ✓. מי שהמיר $16.2$ מ״ר ל-1,620 סמ״ר קיבל פחות מאריח אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: בדגם בקנה מידה $1 : 200$ , סמ״ר אחד בדגם מייצג 4 מ״ר במציאות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

1 \text{ ס״מ} \to 200 \text{ ס״מ} = 2 \text{ מ׳}

אורך

1 \text{ סמ״ר} \to 2^2 = 4 \text{ מ״ר}

שטח: בריבוע

הטענה נכונה. ריבוע של 1 ס״מ על 1 ס״מ בדגם הוא ריבוע של 2 מ׳ על 2 מ׳ במציאות. מי שענה «2 מ״ר» לא העלה בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שטח דירה במציאות הוא 80 מ״ר, ובתוכנית הוא 20 סמ״ר. קנה המידה של התוכנית הוא $1 : n$ . מצאו את $n$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 200

Corrigé :

80 \text{ מ״ר} = 800{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

\begin{aligned}k^2 &= 800{,}000 : 20 \\ &= 40{,}000\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}k &= \sqrt{40{,}000} \\ &= 200\end{aligned}

שורש: יחס האורכים

יחס השטחים הוא $k^2$ , לא $k$ . מי שענה 40,000 שכח את השורש.

Vérifier la réponse sur elev

1 — מפת טיולים: מרחק, זמן ושטח

2 — חלוקה ביחס של שלושה

3 — תוכנית דירה: מידות, שטח ואריחים

4 — דגם: גובה ושטח

Exercices

La suite se pratique sur elev