Rapport et proportion

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחומוסייה קטנה מכינים חומוס מגרגרים ומטחינה, שלוש כוסות גרגרים לכל כוס טחינה. ביום רגיל שמים 6 כוסות גרגרים ו-2 כוסות טחינה. ביום שישי שמים 30 כוסות גרגרים ו-10 כוסות טחינה. הכמויות שונות לגמרי, והטעם זהה. מה שנשמר הוא לא הכמות, אלא היחס: 6:26 : 2 ו-30:1030 : 10 הם שניהם 3:13 : 1.

לפי האנימציה: כמה שווה חלק אחד, ולמה מחלקים את 450 ב-9 ולא ב-4 או ב-5?

Voir la réponse et le corrigé

חלק אחד שווה 50 שקלים. הסכום כולו מורכב מ-4+5=94+5=9 חלקים שווים. נועה מקבלת 4⋅50=2004 \cdot 50=200 ואיתי 5⋅50=2505 \cdot 50=250. בדיקה: 200+250=450200+250=450 ✓

יחס הוא השוואה בחילוק

a:b=aba : b = \frac{a}{b}

היחס לא משתנה כשכופלים או מחלקים את שני האיברים באותו מספר.

לכן מצמצמים יחס כמו שמצמצמים שבר. ויש כלל אחד שאסור לשכוח: משווים רק כמויות באותן יחידות. לפני שמצמצמים ס״מ ומטרים, או דקות ושעות, ממירים ליחידה אחת.

36:48=3:436 : 48 = 3 : 4

מחלקים את שני האיברים ב-12

0.5:2=1:40.5 : 2 = 1 : 4

כופלים את שני האיברים ב-2 ומקבלים מספרים שלמים

40 ס״מ:2 מ׳=40:200=1:5\begin{aligned}40 \text{ ס״מ} : 2 \text{ מ׳} &= 40 : 200 \\ &= 1 : 5\end{aligned}

קודם ממירים את המטרים לס״מ

12:18:30=2:3:512 : 18 : 30 = 2 : 3 : 5

יחס של שלוש כמויות: מחלקים את שלושתן ב-6

צמצמו את היחס בין 45 דקות לבין שעתיים.

Voir la réponse et le corrigé

שעתיים הן 120 דקות. 45:120=3:845 : 120 = 3 : 8 (מחלקים ב-15). מי שכתב 45:245 : 2 השווה דקות לשעות.

חלוקה ביחס: שלושה צעדים

11

סופרים את מספר החלקים: מחברים את איברי היחס

22

מחלקים את הכמות במספר החלקים: זה הערך של חלק אחד

33

כופלים את הערך של חלק אחד במספר החלקים של כל אחד

פרס של שלושה

שלושה חברים זכו בפרס של 1,200 שקלים ומחלקים אותו ביחס 2:3:52 : 3 : 5. כמה מקבל כל אחד?

2+3+5=102+3+5=10

10 חלקים

1200:10=1201200 : 10 = 120

חלק אחד שווה 120 שקלים

2⋅120=2403⋅120=3605⋅120=600\begin{aligned}2 \cdot 120 &= 240 \\ \quad 3 \cdot 120 &= 360 \\ \quad 5 \cdot 120 &= 600\end{aligned}

כל אחד לפי מספר החלקים שלו

240+360+600=1200240+360+600=1200

בדיקה ✓

פרופורציה ומכפלה בהצלבה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. כשאחד מארבעת המספרים חסר, מוצאים אותו במכפלה בהצלבה. כך פותרים גם בעיות של ערך משולש: שתי כמויות שגדלות יחד באותו יחס. פי 2 מזה, פי 2 מזה.

ab=cd  ⟺  a⋅d=b⋅c\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \iff a \cdot d \\ &= b \cdot c\end{aligned}

דלק לאילת

מכונית צורכת 8 ליטר דלק לכל 100 ק״מ. כמה ליטר תצרוך בנסיעה של 350 ק״מ?

8100=x350\frac{8}{100}=\frac{x}{350}

ליטרים למעלה, קילומטרים למטה, בשני הצדדים

100x=8⋅350=2800\begin{aligned}100x &= 8 \cdot 350 \\ &= 2800\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

x=28x = 28

28 ליטר

מתכון לעוגה ל-4 אנשים דורש 300 גרם קמח. כמה קמח צריך ל-10 אנשים?

Voir la réponse et le corrigé

3004=x10\frac{300}{4}=\frac{x}{10}, ולכן x=750x=750 גרם. דרך אחרת: לאדם אחד 75 גרם, ול-10 אנשים 750750.

לפני שכותבים פרופורציה, בודקים שהכמויות באמת גדלות יחד. קמח ואנשים: כן. פועלים וזמן עבודה: לא, יותר פועלים מסיימים מהר יותר, וזו כבר לא פרופורציה ישרה.

שלוש הטעויות של יחס.

450:4 ו- 450:5450 : 4 \ \text{ו-} \ 450 : 5
450:(4+5)=50450 : (4+5) = 50

מחלקים את הסכום במספר החלקים כולו, לא בכל איבר לחוד.

40 ס״מ:2 מ׳=20:140 \text{ ס״מ} : 2 \text{ מ׳} = 20 : 1
40:200=1:540 : 200 = 1 : 5

השוו ס״מ למטרים. קודם ממירים ליחידה אחת.

2:3=12:x⇒x=8\begin{aligned}2 : 3 &= 12 : x \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}
x=18x = 18

הסדר הוחלף. אם 2 הם 12, כל חלק הוא 6, ו-3 חלקים הם 18.

Exercices

Exercice 1

צמצמו את היחס 36:6036 : 60.

  1. 5:35 : 3
  2. 2:32 : 3
  3. 3:53 : 5
  4. 4:54 : 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3:53 : 5

Corrigé :

36:12=360:12=5\begin{aligned}36 : 12 &= 3 \\ \quad 60 : 12 &= 5\end{aligned}

מחלקים את שני האיברים ב-12, המחלק המשותף הגדול

הנכונה: 3:53 : 5. 5:35 : 3 הופך את הסדר: האיבר הראשון שייך לכמות הראשונה. 2:32 : 3 שווה ל-40:6040 : 60, לא ל-36:6036 : 60.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

דנה ורון מחלקים 840 שקלים ביחס 3:43 : 4 (דנה : רון). כמה שקלים מקבל רון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 480

Corrigé :

3+4=73+4=7

7 חלקים

840:7=120840 : 7 = 120

חלק אחד

4⋅120=4804 \cdot 120 = 480

לרון 4 חלקים

מי שחילק 840:4=210840 : 4 = 210 שכח שהסכום כולו הוא 7 חלקים, לא 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בחוג רובוטיקה היחס בין הבנים לבנות הוא 5:75 : 7. בחוג 15 בנים. כמה בנות בחוג?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

15:5=315 : 5 = 3

חלק אחד: 3 ילדים

7⋅3=217 \cdot 3 = 21

לבנות 7 חלקים

כאן ידוע חלק מהכמות, לא הסכום. מחלקים את 15 ב-5, מספר החלקים של הבנים, ולא ב-12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את xx: x12=1520\frac{x}{12}=\frac{15}{20}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

20x=15⋅12=180\begin{aligned}20x &= 15 \cdot 12 \\ &= 180\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

x=9x = 9

מחלקים ב-20

אפשר גם לצמצם קודם: 1520=34\frac{15}{20}=\frac{3}{4}, ו-912=34\frac{9}{12}=\frac{3}{4} ✓. הטעות הנפוצה היא לכפול 15⋅2015 \cdot 20, כלומר בקו ישר ולא בהצלבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מכונית צורכת 8 ליטר דלק לכל 100 ק״מ. הנסיעה מתל אביב לקריית שמונה היא 175 ק״מ. כמה ליטר דלק תצרוך המכונית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

8100=x175\frac{8}{100}=\frac{x}{175}

פרופורציה: ליטרים לקילומטרים

x=8⋅175100=14\begin{aligned}x &= \frac{8 \cdot 175}{100} \\ &= 14\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

בדיקת היגיון: 175 ק״מ הם קצת פחות מפי 2 מ-100 ק״מ, ולכן גם הדלק קצת פחות מפי 2 מ-8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

תערובת בטון מכילה מלט, חול וחצץ ביחס 2:3:52 : 3 : 5. מכינים 60 ק״ג תערובת. השלימו.

מלט: ____ ק״ג , חול: ____ ק״ג , חצץ: ____ ק״ג

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מלט: 12 ק״ג , חול: 18 ק״ג , חצץ: 30 ק״ג

Corrigé :

2+3+5=102+3+5=10

10 חלקים

60:10=660 : 10 = 6

חלק אחד: 6 ק״ג

12+18+30=6012+18+30=60

בדיקה ✓

ביחס של שלוש כמויות סופרים את שלושת האיברים. מי שחילק ב-5 או ב-8 השמיט אחת מהכמויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

איזה יחס שווה ליחס בין 40 ס״מ לבין 1.2 מטר?

  1. 1:31 : 3
  2. 1:301 : 30
  3. 10:310 : 3
  4. 3:13 : 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1:31 : 3

Corrigé :

1.2 מ׳=120 ס״מ1.2 \text{ מ׳} = 120 \text{ ס״מ}

ממירים ליחידה אחת

40:120=1:340 : 120 = 1 : 3

מצמצמים ב-40

הנכונה: 1:31 : 3. 10:310 : 3 מתקבל מ-40:1240 : 12, כלומר בהמרה של 1.21.2 מטר ל-12 במקום ל-120. 3:13 : 1 הופך את הסדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: אם מוסיפים 2 לשני האיברים של היחס 2:32 : 3, מתקבל יחס שווה לו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2:3 → 4:52 : 3 \ \to \ 4 : 5

מוסיפים 2 לכל איבר

23≈0.67≠45=0.8\frac{2}{3} \approx 0.67 \neq \frac{4}{5} = 0.8

היחסים שונים

הטענה לא נכונה. יחס נשמר בכפל ובחילוק, לא בחיבור. 4:64 : 6 היה שווה ל-2:32 : 3, אבל 4:54 : 5 אינו שווה לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

היחס בין החסכונות של מאיה לחסכונות של טל הוא 5:35 : 3. למאיה יש 240 שקלים יותר מלטל. כמה שקלים חסכה מאיה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 600

Corrigé :

5−3=25-3=2

ההפרש הוא 2 חלקים

240:2=120240 : 2 = 120

חלק אחד

5⋅120=6005 \cdot 120 = 600

למאיה 5 חלקים

600−360=240600-360=240

בדיקה: לטל 360 ✓

כאן נתון ההפרש, לא הסכום. לכן מחלקים ב-5−3=25-3=2 ולא ב-5+3=85+3=8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מכינים מיץ פטל ביחס 1:41 : 4 (תרכיז : מים). כמה מיליליטר תרכיז יש ב-2 ליטר משקה מוכן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 400

Corrigé :

2 ליטר=2000 מ״ל2 \text{ ליטר} = 2000 \text{ מ״ל}

ממירים למיליליטר

1+4=51+4=5

5 חלקים במשקה

2000:5=4002000 : 5 = 400

התרכיז הוא חלק אחד

המשקה המוכן הוא תרכיז ועוד מים, 5 חלקים. מי שחילק 2000 ב-4 קיבל 500, כאילו המים לבדם הם 2 ליטר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe