Le critère angle-angle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בגן שעשועים בנתניה עומדת מגלשה בצורת משולש: שני מוטות נפגשים בראש AA ונשענים על הקרקע ב-BB וב-CC. באמצע הגובה מחברים מוט אופקי DEDE, מקביל לקרקע. המשולש הקטן ADEADE נראה כמו הקטנה של המשולש הגדול ABCABC. איך מוכיחים את זה בלי למדוד את כל הצלעות?

ABCDE
DE∥BCDE \parallel BC: המוט האופקי מקביל לקרקע.

אילו זוויות במשולש ADEADE שוות לזוויות במשולש ABCABC?

Voir la réponse et le corrigé

הזווית ∠A\angle A משותפת לשני המשולשים. ו-∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC: אלה זוויות מתאימות בין הישרים המקבילים DEDE ו-BCBC. באותו אופן גם ∠AED=∠ACB\angle AED = \angle ACB.

משפט ז.ז

ההגדרה דורשת שלוש זוויות שוות וגם שלושה יחסים שווים. המשפט חוסך את רוב העבודה: אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, המשולשים דומים. הזווית השלישית שווה ממילא, כי סכום הזוויות במשולש הוא 180∘180^\circ, והיחסים השווים באים מעצמם.

מאיפה באות זוויות שוות

11

זווית משותפת לשני המשולשים, כמו ∠A\angle A במגלשה.

22

זוויות מתאימות או מתחלפות בין ישרים מקבילים.

33

זוויות קודקודיות, כשני ישרים נחתכים.

44

שתי זוויות ישרות, למשל עמוד ומקל שעומדים על הקרקע.

התצורה השנייה שחוזרת בכל מבחן היא שעון חול: שני קטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB.

OACBD
ABAB ו-CDCD נחתכים ב-OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB.

בשעון החול, אילו שתי זוויות מוכיחות ש-△AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD?

Voir la réponse et le corrigé

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD — זוויות קודקודיות. ∠CAO=∠DBO\angle CAO = \angle DBO — זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים ACAC ו-DBDB. שתי זוויות, ולכן משפט ז.ז. הסדר: A↔BA \leftrightarrow B, O↔OO \leftrightarrow O, C↔DC \leftrightarrow D.

זוויות במגלשה

במשולש ABCABC, DE∥BCDE \parallel BC. נתון ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠ABC=65∘\angle ABC = 65^\circ. הראו ש-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ומצאו את ∠AED\angle AED.

∠ADE=∠ABC=65∘\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ &= 65^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

∠A=∠A\angle A = \angle A

angle (זווית) commun

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז

∠AED=180∘−40∘−65∘=75∘\begin{aligned}\angle AED &= 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ADEADE

שתי הטעויות של ז.ז.

∠A=∠D ⇒ △ABC∼△DEF\angle A = \angle D \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle DEF
∠A=∠D ∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E\end{aligned}

זווית אחת שווה לא מספיקה. צריך שתיים.

△AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB
△AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

בשעון החול AA מתאימה ל-BB (הזוויות המתחלפות), לא ל-DD. סדר שגוי הופך כל יחס שנכתוב אחר כך לשגוי.

בכל שלב כתבו את הסיבה: «זווית משותפת», «זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים», «זוויות קודקודיות», ולבסוף «משפט ז.ז». בבחינה הסיבה שווה נקודות.

Exercices

Exercice 1

ABCDE

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, ו-DE∥BCDE \parallel BC. אילו שתי זוויות, עם הסיבה, מוכיחות ש-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC?

  1. ∠ADE=∠AED\angle ADE = \angle AED וזווית AA משותפת
  2. DE∥BCDE \parallel BC בלבד מספיק, בלי זוויות
  3. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC (מתאימות בין ישרים מקבילים) וזווית AA משותפת
  4. ∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB וזווית AA משותפת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC (מתאימות בין ישרים מקבילים) וזווית AA משותפת

Corrigé :

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות בין DE∥BCDE \parallel BC, על החותך ABAB

∠A=∠A\angle A = \angle A

angle (זווית) commun

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז

המלכודת: ∠ADE\angle ADE נמצאת על הצלע ABAB, ולכן היא מתאימה ל-∠ABC\angle ABC, לא ל-∠ACB\angle ACB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

OACBD

הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB. איזה סימון דמיון נכון?

  1. △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD
  2. △AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB
  3. △ACO∼△BOD\triangle ACO \sim \triangle BOD
  4. △AOC∼△OBD\triangle AOC \sim \triangle OBD
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

Corrigé :

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD

זוויות קודקודיות

∠CAO=∠DBO\angle CAO = \angle DBO

זוויות מתחלפות בין AC∥DBAC \parallel DB

A↔B, O↔O, C↔DA \leftrightarrow B ,\ O \leftrightarrow O ,\ C \leftrightarrow D

ההתאמה, ולכן △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

הנקודה OO מתאימה לעצמה, ו-AA ל-BB. הסימון △AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB מתאים את AA ל-DD: זו הטעות הנפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDE

במשולש ABCABC, DE∥BCDE \parallel BC (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. מהי ∠AED\angle AED, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70

Corrigé :

∠ACB=180∘−50∘−60∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABCABC

∠AED=∠ACB=70∘\begin{aligned}\angle AED &= \angle ACB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

∠AED=70∘\angle AED = 70^\circ. היא מתאימה ל-∠ACB\angle ACB, כי שתיהן על הצלע ACAC. מי שענה 60∘60^\circ התאים אותה ל-∠B\angle B.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDEF

במשולש אחד שתי זוויות הן 40∘40^\circ ו-60∘60^\circ. במשולש שני שתי זוויות הן 60∘60^\circ ו-80∘80^\circ. המשולשים דומים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

180∘−40∘−60∘=80∘180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ

הזווית השלישית במשולש הראשון

40∘, 60∘, 80∘40^\circ ,\ 60^\circ ,\ 80^\circ

אותן שלוש זוויות בשני המשולשים: משפט ז.ז

נכון. הזוויות הנתונות אינן אותן זוויות, אבל אחרי חישוב השלישית רואים ששתיים משותפות: 60∘60^\circ ו-80∘80^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDEF

במשולש אחד שתי זוויות הן 50∘50^\circ ו-70∘70^\circ. במשולש שני שתי זוויות הן 50∘50^\circ ו-80∘80^\circ. המשולשים דומים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

180∘−50∘−70∘=60∘180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ

המשולש הראשון: 50∘,70∘,60∘50^\circ, 70^\circ, 60^\circ

180∘−50∘−80∘=50∘180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ

המשולש השני: 50∘,80∘,50∘50^\circ, 80^\circ, 50^\circ

לא נכון. רק זווית אחת משותפת, 50∘50^\circ. זווית אחת שווה אינה מספיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDE

במשולש ABCABC, DE∥BCDE \parallel BC. סדרו את שלבי ההוכחה ש-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC.

  • ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת
  • ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים
  • △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט ז.ז
  • DE∥BCDE \parallel BC — נתון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : DE∥BCDE \parallel BC — נתון · ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים · ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת · △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט ז.ז

Corrigé :

DE∥BC⇒∠ADE=∠ABCDE \parallel BC \Rightarrow \angle ADE = \angle ABC

הנתון נותן את הזווית הראשונה

∠A=∠A\angle A = \angle A

הזווית השנייה

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

המסקנה באה אחרונה

המסקנה תמיד בסוף, אחרי שתי הזוויות. אפשר להחליף את סדר שתי הזוויות, אבל לא להקדים את המסקנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDEF

במשולש ABCABC הזווית ∠B=90∘\angle B = 90^\circ, ובמשולש DEFDEF הזווית ∠E=90∘\angle E = 90^\circ. נתון ∠A=∠D=35∘\angle A = \angle D = 35^\circ. מה נכון?

  1. המשולשים דומים לפי משפט ז.ז
  2. אי אפשר לדעת בלי אורכי צלעות
  3. המשולשים חופפים
  4. המשולשים דומים רק אם AB=DEAB = DE
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A המשולשים דומים לפי משפט ז.ז

Corrigé :

∠B=∠E=90∘\begin{aligned}\angle B &= \angle E \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠A=∠D=35∘\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ &= 35^\circ\end{aligned}

נתון

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט ז.ז

שתי זוויות מספיקות. «חופפים» דורש גם צלע שווה: הזוויות קובעות רק את הצורה, לא את הגודל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

OACBD

התאימו לכל תצורה את מקור הזוויות השוות בה.

  • ישר מקביל לצלע במשולש
  • שעון חול: שני קטעים נחתכים ושני קטעים מקבילים
  • עמוד וצל לצד מקל וצל
  • זווית ישרה בשני משולשים וזווית חדה שווה
  • זוויות ישרות וזווית השמש
  • זוויות מתאימות וזווית משותפת
  • זוויות קודקודיות וזוויות מתחלפות
  • זווית ישרה ועוד זווית נתונה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ישר מקביל לצלע במשולש — זוויות מתאימות וזווית משותפת · שעון חול: שני קטעים נחתכים ושני קטעים מקבילים — זוויות קודקודיות וזוויות מתחלפות · עמוד וצל לצד מקל וצל — זוויות ישרות וזווית השמש · זווית ישרה בשני משולשים וזווית חדה שווה — זווית ישרה ועוד זווית נתונה

Corrigé :

∠A=∠A ∠ADE=∠ABC\begin{aligned}\angle A &= \angle A \\ \ \angle ADE &= \angle ABC\end{aligned}

ישר מקביל לצלע

∠AOC=∠BOD ∠CAO=∠DBO\begin{aligned}\angle AOC &= \angle BOD \\ \ \angle CAO &= \angle DBO\end{aligned}

שעון חול

בכל תצורה מחפשים שתי זוויות. בשעון החול אין זווית משותפת: הזוג הוא קודקודיות ומתחלפות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDE

שורה אחת בהוכחה שגויה. מצאו אותה.

DE∥BCDE \parallel BC
∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB
∠A=∠A\angle A = \angle A
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB → ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

Corrigé :

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

∠ADE\angle ADE ו-∠ABC\angle ABC נמצאות שתיהן על ABAB: זוויות מתאימות

הזווית שליד DD מתאימה לזווית שליד BB, כי DD על הצלע ABAB. הזווית שליד EE מתאימה לזו שליד CC.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe