Qu'est-ce que la similitude

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחנות צילום בחיפה מגדילים תמונה של 1010 על 1515 ס״מ. בהגדלה אחת יוצאת תמונה של 2020 על 3030 ס״מ, והפנים נראים בדיוק אותו דבר. בהגדלה אחרת יוצאת תמונה של 2020 על 2020 ס״מ, והפנים נראים מתוחים לרוחב. מה ההבדל בין שתי ההגדלות? הסתכלו על שני המשולשים שלמטה לפני כל הגדרה.

ABCDEF
המשולש DEFDEF הוא הגדלה של המשולש ABCABC: כל צלע ארוכה פי 22.

מה נשאר זהה בין שני המשולשים, ומה השתנה?

Voir la réponse et le corrigé

הזוויות נשארו אותן זוויות בדיוק: הצורה לא נמתחה. האורכים השתנו, וכולם באותו יחס: כל צלע ארוכה פי 22. בתמונה של 2020 על 2020 הרוחב גדל פי 22 והגובה רק פי 43\frac{4}{3}, ולכן הצורה התעוותה.

משולשים דומים

שני משולשים הם דומים אם אחד מהם הוא הגדלה או הקטנה של השני. במילים של גאומטריה, שני תנאים: הזוויות המתאימות שוות, וכל צלע במשולש אחד שווה לצלע המתאימה במשולש השני כפול אותו מספר. המספר הזה הוא יחס הדמיון kk.

△ABC∼△DEF⇒DEAB=EFBC=DFAC=k\begin{aligned}\triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \Rightarrow \quad \frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}
k>1k>1

הגדלה: המשולש השני גדול יותר.

k<1k<1

הקטנה: המשולש השני קטן יותר, כמו בשרטוט של מפה.

k=1k=1

חפיפה: אותה צורה ואותו גודל.

צלעות משולש אחד הן 33, 44 ו-55, וצלעות משולש שני הן 66, 88 ו-1010. האם המשולשים דומים, ומהו יחס הדמיון?

Voir la réponse et le corrigé

כן. 63=84=105=2\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2. שלושה יחסים שווים, ולכן k=2k=2.

מי מתאים למי

הסימון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF אומר גם מי מתאים למי: AA ל-DD, BB ל-EE ו-CC ל-FF. לכן ABAB מתאימה ל-DEDE, ו-∠C=∠F\angle C = \angle F. כשאין סימון, מתאימים לפי הגודל: הצלע הקצרה לקצרה, הארוכה לארוכה.

צלעות של משולש מוגדל

צלעות משולש הן 44, 66 ו-88 ס״מ. משולש דומה לו מוגדל, והצלע הקצרה בו היא 66 ס״מ. מצאו את שתי הצלעות האחרות.

k=64=1.5\begin{aligned}k &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

הקצרה מול הקצרה: יחס הדמיון

6⋅1.5=96 \cdot 1.5 = 9

הצלע האמצעית

8⋅1.5=128 \cdot 1.5 = 12

הצלע הארוכה

64=96=128=1.5 ✓\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שלושה יחסים שווים

שתי הטעויות של ההגדלה.

3, 4, 5 → 5, 6, 73,\ 4,\ 5 \ \to \ 5,\ 6,\ 7
3, 4, 5 → 6, 8, 103,\ 4,\ 5 \ \to \ 6,\ 8,\ 10

בהגדלה כופלים כל צלע באותו מספר. הוספת 22 לכל צלע משנה את הצורה: 53≠75\frac{5}{3} \neq \frac{7}{5}.

△ABC∼△DEF ⇒ DEAC\triangle ABC \sim \triangle DEF \ \Rightarrow \ \frac{DE}{AC}
DEAB\frac{DE}{AB}

לפי הסדר, DEDE מתאימה ל-ABAB. מתאימים לפי סדר האותיות, לא לפי המקום בשרטוט.

לפני כל חישוב כתבו את הדמיון בסדר הנכון. כל יחס שתכתבו אחר כך נקרא ישר מתוך הסימון.

Exercices

Exercice 1

ABCDEF

צלעות המשולש ABCABC הן 33, 55 ו-66 ס״מ. מגדילים אותו פי 33 ומקבלים את המשולש DEFDEF. מהן צלעות המשולש DEFDEF?

  1. 99, 1515 ו-1818 ס״מ
  2. 66, 88 ו-99 ס״מ
  3. 99, 1515 ו-66 ס״מ
  4. 11, 53\frac{5}{3} ו-22 ס״מ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 99, 1515 ו-1818 ס״מ

Corrigé :

3⋅3=95⋅3=156⋅3=18\begin{aligned}3 \cdot 3 &= 9 \\ \quad 5 \cdot 3 &= 15 \\ \quad 6 \cdot 3 &= 18\end{aligned}

כל צלע כפול 33

הנכונה: 99, 1515 ו-1818. «66, 88 ו-99» מוסיפה 33 במקום לכפול. «11, 53\frac{5}{3}, 22» מחלקת: זו הקטנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. AB=4AB = 4 ס״מ ו-DE=10DE = 10 ס״מ. מהו יחס הדמיון של המשולש DEFDEF למשולש ABCABC? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

k=DEAB=104=2.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

צלע במשולש השני חלקי הצלע המתאימה במשולש הראשון

k=2.5k = 2.5. המשולש DEFDEF גדול יותר, ולכן k>1k > 1. מי שכתב 410\frac{4}{10} הפך את הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDEF

צלעות משולש אחד הן 22, 33 ו-44, וצלעות משולש שני הן 44, 55 ו-66. המשולשים דומים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

42=253≈1.6764=1.5\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{5}{3} \approx 1.67 \\ \quad \frac{6}{4} &= 1.5\end{aligned}

שלושה יחסים שונים

לא נכון. כל צלע גדלה ב-22, אבל לא פי אותו מספר. הוספה של מספר קבוע אינה הגדלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDEF

צלעות משולש אחד הן 55, 77 ו-99, וצלעות משולש שני הן 1515, 2121 ו-2727. המשולשים דומים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

155=217=279=3\begin{aligned}\frac{15}{5} &= \frac{21}{7} \\ &= \frac{27}{9} \\ &= 3\end{aligned}

שלושה יחסים שווים

נכון, ויחס הדמיון 33. מתאימים קצרה לקצרה וארוכה לארוכה, ורק אז מחלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מהי הזווית ∠F\angle F, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

לפי הסדר, CC מתאימה ל-FF, וזוויות מתאימות שוות

∠F=60∘\angle F = 60^\circ. בדמיון הזוויות לא גדלות: רק האורכים מוכפלים ב-kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. AB=6AB = 6, BC=9BC = 9 ו-DE=4DE = 4 ס״מ. מצאו את EFEF, בס״מ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

k=DEAB=46=23\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון מזוג צלעות ידוע

EF=BC⋅k=9⋅23=6\begin{aligned}EF &= BC \cdot k \\ &= 9 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 6\end{aligned}

EFEF מתאימה ל-BCBC

EF=6EF = 6 ס״מ. כאן k<1k<1: המשולש DEFDEF הוא הקטנה, ולכן כל צלע בו קטנה מהמתאימה לה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ויחס הדמיון של DEFDEF ל-ABCABC הוא 33. AB=2AB = 2, BC=5BC = 5 ו-AC=4AC = 4 ס״מ. השלימו.

DE=DE = ____ ס״מ , EF=EF = ____ ס״מ , DF=DF = ____ ס״מ

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : DE=DE = 6 ס״מ , EF=EF = 15 ס״מ , DF=DF = 12 ס״מ

Corrigé :

DE=3⋅AB=6\begin{aligned}DE &= 3 \cdot AB \\ &= 6\end{aligned}
EF=3⋅BC=15\begin{aligned}EF &= 3 \cdot BC \\ &= 15\end{aligned}
DF=3⋅AC=12\begin{aligned}DF &= 3 \cdot AC \\ &= 12\end{aligned}

כל צלע כפול 33. היזהרו: DFDF מתאימה ל-ACAC, לא ל-BCBC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDEF

איזו טענה נכונה?

  1. כל שני משולשים שווי צלעות דומים
  2. כל שני משולשים ישרי זווית דומים
  3. שני משולשים שיש להם זווית אחת שווה דומים
  4. כל שני משולשים שווי שוקיים דומים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כל שני משולשים שווי צלעות דומים

Corrigé :

60∘, 60∘, 60∘60^\circ ,\ 60^\circ ,\ 60^\circ

בכל משולש שווה צלעות כל הזוויות 60∘60^\circ, והצלעות ביחס 1:1:11:1:1

הנכונה: שווי צלעות. בשווי שוקיים ובישרי זווית הזוויות יכולות להיות שונות: למשל 40∘,40∘,100∘40^\circ, 40^\circ, 100^\circ מול 70∘,70∘,40∘70^\circ, 70^\circ, 40^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDEF

מיינו את זוגות המשולשים לפי אורכי הצלעות: דומים או לא דומים?

  • דומים
  • לא דומים
  • 1,1,11,1,1 ו-7,7,77,7,7
  • 2,2,32,2,3 ו-4,4,64,4,6
  • 2,3,42,3,4 ו-3,4,53,4,5
  • 3,4,53,4,5 ו-6,8,106,8,10
  • 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3,4,53,4,5 ו-6,8,106,8,10 — דומים · 2,2,32,2,3 ו-4,4,64,4,6 — דומים · 1,1,11,1,1 ו-7,7,77,7,7 — דומים · 2,3,42,3,4 ו-3,4,53,4,5 — לא דומים · 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12 — לא דומים

Corrigé :

63=84=10542=42=6371=71=71\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{8}{4} \\ &= \frac{10}{5} \\ \quad \frac{4}{2} &= \frac{4}{2} \\ &= \frac{6}{3} \\ \quad \frac{7}{1} &= \frac{7}{1} \\ &= \frac{7}{1}\end{aligned}

יחס אחד לכל הצלעות

32≠43,105≠128\frac{3}{2} \neq \frac{4}{3} ,\qquad \frac{10}{5} \neq \frac{12}{8}

יחסים שונים

בודקים שלושה יחסים, קצרה מול קצרה. בזוג 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12 השוקיים גדלו פי 22 והבסיס רק פי 1.51.5: המלכודת היא לבדוק רק זוג צלעות אחד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe