Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נגזרת של מנה, אסימפטוטה אנכית ואופקית, נקודת קיצון, עלייה וירידה, הזזות ושיקופים, ובעיית קיצון על גרף. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך (ff), שיפוע (f′f') או אסימפטוטה? אסימפטוטה אנכית באה מהמכנה, ואסימפטוטה אופקית מהחזקות הגבוהות.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x+4x−2f(x)=\frac{x+4}{x-2}. חשבו את f′(3)f'(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f′(x)=1⋅(x−2)−(x+4)⋅1(x−2)2=−6(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1 \cdot (x-2)-(x+4) \cdot 1}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-6}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(3)=−61=−6\begin{aligned}f'(3) &= \frac{-6}{1} \\ &= -6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הסדר במונה: נגזרת העליון כפול התחתון פחות העליון כפול נגזרת התחתון. בסדר ההפוך יוצא +6+6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=3x−1x+2f(x)=\frac{3x-1}{x+2}?

  1. y=−12y=-\frac{1}{2}
  2. y=3y=3
  3. x=−2x=-2
  4. y=0y=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=3y=3

Corrigé :

3x−1x+2≈3xx=3\frac{3x-1}{x+2} \approx \frac{3x}{x}=3

כש-xx גדול, רק החזקות הגבוהות קובעות

y=3y=3

אסימפטוטה אופקית

x=−2x=-2 היא האסימפטוטה האנכית. −12-\frac{1}{2} הוא f(0)f(0), נקודת החיתוך עם ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x2+12x−6f(x)=\frac{x^2+1}{2x-6}? כתבו את ערך ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

32+1=10≠03^2+1=10 \neq 0

המונה לא מתאפס שם

בודקים גם את המונה: אם גם הוא מתאפס באותה נקודה, זו אינה אסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לגרף של f(x)=5x2+1f(x)=\frac{5}{x^2+1} אין אסימפטוטה אנכית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2+1≥1>0x^2+1 \geq 1 > 0

המכנה לעולם אינו מתאפס

D=RD=\mathbb{R}

הפונקציה מוגדרת לכל xx

יש לה אסימפטוטה אופקית y=0y=0. «אין אסימפטוטה אנכית» אינו אומר «אין אסימפטוטות».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2+9xf(x)=\frac{x^2+9}{x}. מהו ערך ה-yy של נקודת המינימום המקומי שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=2x⋅x−(x2+9)x2=x2−9x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+9)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-9}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=3 x=−3\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

הנקודות החשודות

f(3)=183=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

ב-x=3x=3 הנגזרת עוברת מ-−- ל-++

ב-x=−3x=-3 יש מקסימום, עם f(−3)=−6f(-3)=-6. מי שענה 33 כתב את שיעור ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=2x+1x+3f(x)=\frac{2x+1}{x+3}. מה נכון?

  1. ff יורדת בכל אחד משני הענפים
  2. ff עולה ב-x<−3x<-3 ויורדת ב-x>−3x>-3
  3. ל-ff מקסימום ב-x=−3x=-3
  4. ff עולה בכל אחד משני הענפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ff עולה בכל אחד משני הענפים

Corrigé :

f′(x)=2(x+3)−(2x+1)(x+3)2=5(x+3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+3)-(2x+1)}{(x+3)^2} \\ &= \frac{5}{(x+3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(x)>0 , x≠−3f'(x)>0 \ ,\ x \neq -3

מונה חיובי, מכנה חיובי

x=−3x=-3 מחוץ לתחום, ולכן אינו יכול להיות קיצון. והנגזרת חיובית משני צדי האסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2x+1f(x)=\frac{x^2}{x+1}. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

f′(x)=2x(x+1)−x2(x+1)2=x2+2x(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=34=0.75\begin{aligned}f'(1) &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

On remplace (מציבים)

השיפוע הוא f′(1)f'(1). f(1)=12f(1)=\frac{1}{2} הוא הגובה של נקודת ההשקה, לא השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=6x22x2+1f(x)=\frac{6x^2}{2x^2+1}. לגרף יש אסימפטוטה אופקית y=cy=c. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

6x22x2+1≈6x22x2=3\frac{6x^2}{2x^2+1} \approx \frac{6x^2}{2x^2}=3

אותה חזקה למעלה ולמטה: מנת המקדמים

y=3y=3

אסימפטוטה אופקית

כשהדרגות שוות, האסימפטוטה היא מנת המקדמים המובילים, 62\frac{6}{2}. לא 66 ולא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של ff נתון. התאימו לכל פונקציה את מה שקורה לגרף של ff.

  • y=−f(x)y=-f(x)
  • y=f(x)+2y=f(x)+2
  • y=f(x+2)y=f(x+2)
  • y=∣f(x)∣y=|f(x)|
  • הזזה של 2 למעלה
  • הזזה של 2 שמאלה
  • כל הגרף משתקף בציר ה-xx
  • רק מה שמתחת לציר ה-xx עולה מעליו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=−f(x)y=-f(x) — כל הגרף משתקף בציר ה-xx · y=f(x)+2y=f(x)+2 — הזזה של 2 למעלה · y=f(x+2)y=f(x+2) — הזזה של 2 שמאלה · y=∣f(x)∣y=|f(x)| — רק מה שמתחת לציר ה-xx עולה מעליו

Corrigé :

f(x+2)f(x+2)

מה שקרה ב-x=0x=0 קורה עכשיו ב-x=−2x=-2: שמאלה

f(x)+2f(x)+2

כל גובה גדל ב-2: למעלה

המלכודת: f(x+2)f(x+2) זזה שמאלה, אף שיש בה פלוס. תוספת בתוך הסוגריים פועלת הפוך מהצפוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הנקודה P(x, y)P(x,\,y) נמצאת על הישר y=8−2xy=8-2x ברביע הראשון. מ-PP מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מרובע שקודקודיו OO, PP ושתי נקודות על הצירים. מהו השטח הגדול ביותר של המרובע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

S(x)=x(8−2x)=8x−2x2 0<x<4\begin{aligned}S(x) &= x(8-2x) \\ &= 8x-2x^2 \ \\ \quad 0<x<4\end{aligned}

רוחב xx, גובה yy

S′(x)=8−4x=0 ⇒ x=2\begin{aligned}S'(x) &= 8-4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה; S′S' עוברת מ-++ ל-−-

S(2)=2⋅4=8\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

השטח המקסימלי

מי שענה 22 כתב את שיעור ה-xx. השאלה מבקשת את השטח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe