Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: חקירה של פונקציה רציונלית, פרמטר מתוך נגזרת, משוואת משיק, אי-שוויון רציונלי, הפונקציות −f+c-f+c ו-∣f∣|f|, בעיית קיצון, וקריאת הסימן של f′f'.

בכל חקירה בנו טבלת סימנים של המונה של f′f', וסמנו בה את האסימפטוטה בקו כפול. המכנה (… )2(\dots)^2 חיובי, ולכן הוא לא משנה סימן.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x2+x+4x+1f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}. מצאו את ערכי ה-yy של נקודות הקיצון.

מקסימום: y=y= ____ ; מינימום: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: y=y= -5 ; מינימום: y=y= 3

Corrigé :

f′(x)=(2x+1)(x+1)−(x2+x+4)(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x+3)(x−1)=0 ⇒ x=−3 x=1\begin{aligned}(x+3)(x-1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 1\end{aligned}

הנקודות החשודות

f(−3)=10−2=−5f(1)=62=3\begin{aligned}f(-3) &= \frac{10}{-2} \\ &= -5 \qquad f(1) \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הגבהים

x=−3: +→−x=1: −→+\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \qquad x \\ &= 1: \ - \to +\end{aligned}

הסוג לפי הסימן

המקסימום −5-5 קטן מהמינימום 33. הסוג נקבע לפי הסימן של f′f', לא לפי הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה פונקציה f(x)=x2+x+4x+1f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}: באילו תחומים ff עולה?

  1. x<−1x<-1
  2. x<−3x<-3 או x>1x>1
  3. x>−1x>-1
  4. −3<x<1-3<x<1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x<−3x<-3 או x>1x>1

Corrigé :

f′(x)=(x+3)(x−1)(x+1)2f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}

הנגזרת

x<−3: +−3<x<−1: −−1<x<1: −x>1: +x<-3: \ + \quad -3<x<-1: \ - \quad -1<x<1: \ - \quad x>1: \ +

טבלת סימנים עם x=−1x=-1

בין −3-3 ל-11 הפונקציה יורדת, בשני קטעים, משני צדי האסימפטוטה x=−1x=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2+ax−2f(x)=\frac{x^2+a}{x-2}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3 מקביל לציר ה-xx. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(x)=2x(x−2)−(x2+a)(x−2)2=x2−4x−a(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-(x^2+a)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2-4x-a}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(3)=9−12−a=0 ⇒ a=−3\begin{aligned}f'(3) &= 9-12-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

משיק מקביל לציר ה-xx: שיפוע 0

22−3=1≠02^2-3=1 \neq 0

בדיקה: x=2x=2 עדיין אסימפטוטה

«מקביל לציר ה-xx» פירושו f′=0f'=0, לא f=0f=0. מי שהציב ב-ff פתר שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=2xx−1f(x)=\frac{2x}{x-1}. באיזו נקודה חותך את ציר ה-yy המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2? כתבו את ערך ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(2)=41=4\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}

נקודת ההשקה (2, 4)(2,\,4)

f′(x)=2(x−1)−2x(x−1)2=−2(x−1)2 ⇒ f′(2)=−2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-1)-2x}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-2}{(x-1)^2} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y−4=−2(x−2) ⇒ y=−2x+8\begin{aligned}y-4 &= -2(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+8\end{aligned}

משוואת המשיק

המשיק חותך את ציר ה-yy ב-88. f(0)=0f(0)=0 הוא החיתוך של הגרף, לא של המשיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הגרף של f(x)=x2x2+4f(x)=\frac{x^2}{x^2+4} חותך את האסימפטוטה האופקית שלו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

y=1y=1

האסימפטוטה: מנת המקדמים המובילים

x2x2+4=1 ⇒ x2=x2+4 ⇒ 0=4\begin{aligned}\frac{x^2}{x^2+4} &= 1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= x^2+4 \ \Rightarrow \ 0 \\ &= 4\end{aligned}

אין פתרון

גרף יכול לחתוך אסימפטוטה אופקית, אבל כאן x2<x2+4x^2<x^2+4 תמיד, ולכן f(x)<1f(x)<1 לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון x−3x+2<0\frac{x-3}{x+2}<0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=3 x=−2\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

האפס של המונה והאפס של המכנה

−2<x<3-2<x<3

שם המונה שלילי והמכנה חיובי

x=−1 0 1 2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 0 \\ \ 1 \\ \ 2\end{aligned}

המספרים השלמים בקטע הפתוח

x=−2x=-2 אסור (חלוקה באפס) ו-x=3x=3 נותן 00, שאינו קטן מ-00. מי שכפל את שני האגפים ב-x+2x+2 בלי לבדוק סימן עלול לקבל תחום אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לפונקציה f(x)=x2+9xf(x)=\frac{x^2+9}{x} מינימום (3, 6)(3,\,6) ומקסימום (−3, −6)(-3,\,-6). נגדיר g(x)=−f(x)+2g(x)=-f(x)+2. מה נכון לגבי gg ב-x=3x=3?

  1. ל-gg מינימום (3, −4)(3,\,-4)
  2. ל-gg מקסימום (3, 8)(3,\,8)
  3. ל-gg מקסימום (3, −4)(3,\,-4)
  4. ל-gg מינימום (3, 8)(3,\,8)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ל-gg מקסימום (3, −4)(3,\,-4)

Corrigé :

−f-f

שיקוף בציר ה-xx: מינימום הופך למקסימום

g(3)=−6+2=−4\begin{aligned}g(3) &= -6+2 \\ &= -4\end{aligned}

ואחר כך הזזה של 2 למעלה

g(−3)=6+2=8\begin{aligned}g(-3) &= 6+2 \\ &= 8\end{aligned}

וב-x=−3x=-3: מינימום (−3, 8)(-3,\,8)

השיקוף הופך את סוג הקיצון ואת הסימן של הגובה, וההזזה מוסיפה 2. (3, 8)(3,\,8) שייך ל-x=−3x=-3, לא ל-x=3x=3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x+1x−2f(x)=\frac{x+1}{x-2} ו-g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=1g(x)=1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(x)=1: x+1=x−2 ⇒ 1=−2\begin{aligned}f(x) &= 1: \ x+1 \\ &= x-2 \ \Rightarrow \ 1 \\ &= -2\end{aligned}

אין פתרון: y=1y=1 היא האסימפטוטה האופקית

f(x)=−1: x+1=−x+2 ⇒ x=12\begin{aligned}f(x) &= -1: \ x+1 \\ &= -x+2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

פתרון אחד

∣f∣=1|f|=1 פירושו f=1f=1 או f=−1f=-1. כאן f=1f=1 בלתי אפשרי, ולכן יש פתרון אחד ולא שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הנקודה PP נמצאת על הגרף של y=4xy=\frac{4}{x}, כאשר x>0x>0. מ-PP מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מרובע שקודקודיו OO, PP ושתי נקודות על הצירים. מהו ההיקף הקטן ביותר של המרובע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

p(x)=2(x+4x) x>0\begin{aligned}p(x) &= 2\left(x+\tfrac{4}{x}\right) \ \\ \quad x>0\end{aligned}

רוחב xx, גובה 4x\frac{4}{x}

p′(x)=2(1−4x2)=0 ⇒ x=2\begin{aligned}p'(x) &= 2\left(1-\tfrac{4}{x^2}\right) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

x=−2x=-2 מחוץ לתחום

p(2)=2(2+2)=8\begin{aligned}p(2) &= 2(2+2) \\ &= 8\end{aligned}

p′p' עוברת מ-−- ל-++: מינימום

השטח של המרובע הוא תמיד x⋅4x=4x \cdot \frac{4}{x}=4, אבל ההיקף משתנה. הקטן ביותר כשהרוחב שווה לגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

על פונקציה ff ידוע: ff אינה מוגדרת ב-x=0x=0, ו-f′>0f'>0 ב-x<−2x<-2, f′<0f'<0 ב-−2<x<0-2<x<0, f′<0f'<0 ב-0<x<20<x<2, f′>0f'>0 ב-x>2x>2. מה נכון?

  1. מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=0x=0, מינימום ב-x=2x=2
  2. מקסימום ב-x=0x=0
  3. מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=2x=2
  4. מינימום ב-x=−2x=-2, מקסימום ב-x=2x=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=2x=2

Corrigé :

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

x=0∉Dx=0 \notin D

אין קיצון בנקודה שאינה בתחום

x=2: −→+x=2: \ - \to +

ירידה ואחר כך עלייה: מינימום

ב-x=0x=0 הנגזרת לא מחליפה סימן, וגם ff לא מוגדרת שם. זו התמונה של f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe