Problèmes d'optimisation

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

«לחקלאי 40 מטר גדר, והוא רוצה לגדר מגרש מלבני צמוד לקיר — מה השטח הגדול ביותר?» שאלת קיצון היא תמיד אותו מחול בארבעה צעדים: משתנה → פונקציה → נגזרת → בדיקה. הקושי אינו בגזירה — הוא בתרגום.

המגרש ליד הקיר

נסמן ב-xx את הצלע הניצבת לקיר. הקיר חוסך את הצלע הרביעית.

2x+y=40 ⇒ y=40−2x\begin{aligned}2x + y &= 40 \ \Rightarrow \ y \\ &= 40 - 2x\end{aligned}

אילוץ הגדר — ממנו מחלצים את yy

S(x)=x(40−2x)=40x−2x2\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}

השטח כפונקציה של משתנה אחד

S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}
S(10)=10⋅20=200\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}

מטרים רבועים — עם y=20y = 20

איך יודעים ש-x=10x = 10 הוא מקסימום ולא מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

S′(x)=40−4xS'(x) = 40 - 4x חיובית לפני 10 ושלילית אחריו — עלייה ואז ירידה, פסגה. אפשר גם לראות ש-SS היא פרבולה עם מקדם שלילי ל-x2x^2.

שימו לב לצעד שהופך תלמידים רבים: בפונקציה S=xyS = xy יש שני משתנים, וגוזרים רק פונקציה של משתנה אחד. האילוץ — משפט הגדר, הסכום הנתון, ההיקף — הוא בדיוק הכלי שמחסל משתנה אחד. בלעדיו אין בעיה פתירה.

סכום שני מספרים חיוביים הוא 20. מתי מכפלתם מרבית?

Voir la réponse et le corrigé

P(x)=x(20−x)P(x) = x(20-x), P′=20−2x=0P' = 20 - 2x = 0, x=10x = 10. שני המספרים שווים — 10 ו-10 — והמכפלה 100. זו תבנית שחוזרת: סימטריה מנצחת.

איפה נופלים בבעיות קיצון.

S=xy dSdx=y\begin{aligned}S &= xy \\ \ \frac{dS}{dx} &= y\end{aligned}
S(x)=x(40−2x)S(x) = x(40 - 2x)

אסור לגזור לפני שנשאר משתנה אחד — yy תלוי ב-xx ואינו קבוע.

x=10 היא התשובהx = 10 \ \text{היא התשובה}
S(10)=200 היא התשובהS(10) = 200 \ \text{היא התשובה}

לקרוא את השאלה עד הסוף: ביקשו את השטח, לא את xx. שאלה על ערך — עונים בערך.

Exercices

Exercice 1

לחקלאי 40 מטר גדר למגרש מלבני צמוד לקיר (שלוש צלעות). מהו השטח המרבי (במ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 200

Corrigé :

S(x)=x(40−2x)S(x) = x(40 - 2x)
S′=40−4x=0⇒x=10\begin{aligned}S' &= 40 - 4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}
S(10)=200S(10) = 200
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה בעיה: מהו אורך הצלע המקבילה לקיר במצב המרבי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

y=40−2⋅10=20\begin{aligned}y &= 40 - 2 \cdot 10 \\ &= 20\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

סכום שני מספרים חיוביים 20. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

P(x)=x(20−x)P(x) = x(20 - x)
P′=20−2x=0⇒x=10\begin{aligned}P' &= 20 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}
10⋅10=10010 \cdot 10 = 100
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

סכום שני מספרים חיוביים 16, ומחפשים שסכום ריבועיהם יהיה הקטן ביותר. מהו הסכום המזערי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 128

Corrigé :

Q(x)=x2+(16−x)2Q(x) = x^2 + (16 - x)^2
Q′=2x−2(16−x)=4x−32=0\begin{aligned}Q' &= 2x - 2(16 - x) \\ &= 4x - 32 \\ &= 0\end{aligned}
x=8 Q(8)=64+64=128\begin{aligned}x &= 8 \\ \ Q(8) &= 64 + 64 \\ &= 128\end{aligned}

שוב הסימטריה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהיקף 24 ס״מ בונים מלבן. מהו השטח המרבי (בסמ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

x+y=12⇒S(x)=x(12−x)\begin{aligned}x + y &= 12 \Rightarrow S(x) \\ &= x(12 - x)\end{aligned}
S′=12−2x=0⇒x=6\begin{aligned}S' &= 12 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}
S=36S = 36

ריבוע — תמיד ריבוע

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בבעיית קיצון הגענו ל-S=xyS = xy עם האילוץ x+y=12x + y = 12. מה הצעד הבא?

  1. לגזור לפי שני המשתנים
  2. לחלץ yy מהאילוץ ולהציב
  3. לנחש ערכים
  4. לגזור לפי xx מיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לחלץ yy מהאילוץ ולהציב

Corrigé :

y=12−x⇒S(x)=x(12−x)\begin{aligned}y &= 12 - x \Rightarrow S(x) \\ &= x(12 - x)\end{aligned}

גוזרים רק פונקציה של משתנה אחד. האילוץ קיים בדיוק בשביל לחסל את המשתנה השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מנייר בגודל 20 על 20 ס״מ גוזרים ריבועים בפינות בצלע xx ומקפלים לקופסה. הנפח V(x)=x(20−2x)2V(x) = x(20-2x)^2. מהי xx שנותנת נפח מרבי? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.33

Corrigé :

V′=(20−2x)2+x⋅2(20−2x)(−2)V' = (20-2x)^2 + x \cdot 2(20-2x)(-2)
=(20−2x)(20−6x)=0= (20-2x)(20 - 6x) = 0
x=206=103≈3.33\begin{aligned}x &= \frac{20}{6} \\ &= \frac{10}{3} \approx 3.33\end{aligned}

הפתרון x=10x=10 נותן נפח אפס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נקודה נעה על הישר y=10−xy = 10 - x. מהו המרחק הריבועי הקטן ביותר שלה מהראשית? (d2d^2)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

d2(x)=x2+(10−x)2d^2(x) = x^2 + (10 - x)^2
(d2)′=4x−20=0⇒x=5\begin{aligned}(d^2)' &= 4x - 20 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}
d2=25+25=50\begin{aligned}d^2 &= 25 + 25 \\ &= 50\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מבין כל המלבנים ששטחם 36 סמ״ר — מהו ההיקף הקטן ביותר (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

P(x)=2x+72xP(x) = 2x + \frac{72}{x}

עם y=36xy = \frac{36}{x}

P′=2−72x2=0⇒x=6\begin{aligned}P' &= 2 - \frac{72}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}
P=12+12=24\begin{aligned}P &= 12 + 12 \\ &= 24\end{aligned}

הריבוע מנצח גם הפוך

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאנו נקודה חשודה x0x_0 עם f′(x0)=0f'(x_0) = 0. מה עוד חובה לבדוק?

  1. כלום — סיימנו
  2. שהפונקציה רציפה
  3. שהנגזרת מחליפה סימן, ושהתשובה עונה לשאלה
  4. רק ש-x0x_0 חיובי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שהנגזרת מחליפה סימן, ושהתשובה עונה לשאלה

Corrigé :

f′>0→f′<0f' > 0 \to f' < 0

פסגה ; ולקרוא מה נשאל — xx או הערך

התאפסות הנגזרת היא חשד, לא הרשעה. ואחרי ההרשעה — לוודא שעונים על מה ששאלו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe