Étude d'une fonction rationnelle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חקירה מלאה היא מסלול קבוע, ותמיד באותו סדר: תחום הגדרה (איפה המכנה מתאפס), אסימפטוטות, נגזרת ונקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה. נחקור יחד את f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1} מההתחלה עד הסוף.

שלב 1+2 — תחום ואסימפטוטה

המכנה קובע הכול.

x−1=0 ⇒ x≠1x - 1 = 0 \ \Rightarrow \ x \ne 1

תחום ההגדרה: כל xx פרט ל-1

x=1 אסימפטוטה אנכיתx = 1 \ \text{אסימפטוטה אנכית}

המונה שם 1≠01 \ne 0 — הגרף בורח לאינסוף

שלב 3 — נגזרת ונקודות חשודות

גוזרים לפי כלל המנה.

f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\end{aligned}
x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי — רק המונה קובע

f(0)=0f(2)=41=4\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \qquad f(2) &= \frac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}

שתי הנקודות: (0,0)(0,0) ו-(2,4)(2,4)

שלב 4 — טבלת סימנים. המונה x(x−2)x(x-2) חיובי מחוץ לקטע [0,2][0,2] ושלילי בתוכו. לכן ff עולה עד 0, יורדת בין 0 ל-2 (בדילוג על האסימפטוטה ב-1), ועולה שוב אחרי 2. מכאן: (0,0)(0,0) — מקסימום מקומי, (2,4)(2,4) — מינימום מקומי.

איך ייתכן שהמקסימום (ערך 0) נמוך מהמינימום (ערך 4)?

Voir la réponse et le corrigé

כי הם בשני ענפים שונים, משני צידי האסימפטוטה x=1x=1. «מקסימום מקומי» אומר גבוה מהשכנים — לא גבוה מכל הפונקציה. האסימפטוטה מפרידה בין שני עולמות.

מהי נקודת החיתוך של ff עם הצירים?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים x=0x=0: הנקודה (0,0)(0,0) — הגרף עובר בראשית, וזו גם נקודת המקסימום.

הטעויות שחוזרות בכל חקירה.

x=1 נקודת קיצוןx = 1 \ \text{נקודת קיצון}
x=1 ∉ תחום ההגדרהx = 1 \ \notin \ \text{תחום ההגדרה}

האסימפטוטה איננה קיצון — הפונקציה בכלל לא מוגדרת שם. בטבלת הסימנים היא קו כפול שאסור לדלג עליו בלי לציין.

f′′(x) כדי לסווגf''(x) \ \text{כדי לסווג}
טבלת סימנים של f′\text{טבלת סימנים של } f'

בפונקציה רציונלית טבלת הסימנים קצרה ובטוחה יותר מנגזרת שנייה — פחות גזירות, פחות טעויות.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהי האסימפטוטה האנכית? (ערך xx)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

והמונה שם שונה מאפס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה פונקציה: כמה נקודות קיצון יש לה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=x(x−2)(x−1)2=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \\ &= 0\end{aligned}
x=0 x=2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

ושתיהן מחליפות סימן

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

באותה פונקציה: מהו ערך ה-yy של המינימום המקומי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(2)=42−1=4\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{2-1} \\ &= 4\end{aligned}

המינימום בענף הימני

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה g(x)=x2x+2g(x) = \frac{x^2}{x+2}. באילו ערכי xx מתאפסת הנגזרת? כתבו את הערך השלילי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

g′(x)=2x(x+2)−x2(x+2)2=x2+4x(x+2)2\begin{aligned}g'(x) &= \frac{2x(x+2) - x^2}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x^2 + 4x}{(x+2)^2}\end{aligned}
x(x+4)=0⇒x=0 x=−4\begin{aligned}x(x + 4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

באותה gg: מהו ערך הפונקציה ב-x=−4x = -4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

g(−4)=16−2=−8\begin{aligned}g(-4) &= \frac{16}{-2} \\ &= -8\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בחקירת f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}, המקסימום המקומי (0,0)(0,0) נמוך מהמינימום (2,4)(2,4). מה ההסבר?

  1. המקסימום תמיד נמוך
  2. טעות בחישוב
  3. כך קורה בכל פונקציה
  4. הם בשני ענפים שמפרידה ביניהם אסימפטוטה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הם בשני ענפים שמפרידה ביניהם אסימפטוטה

Corrigé :

x=1x = 1

בין 0 ל-2 עוברת האסימפטוטה

«מקומי» משווה לשכנים בלבד. שני הענפים לא מתחרים זה בזה — האסימפטוטה חוצצת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה h(x)=x+1x−2h(x) = \frac{x+1}{x-2}. כמה נקודות קיצון יש לה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

h′(x)=(x−2)−(x+1)(x−2)2=−3(x−2)2\begin{aligned}h'(x) &= \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-2)^2}\end{aligned}
h′<0 תמידh' < 0 \ \text{תמיד}

אין התאפסות — אין קיצון

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו הסדר הנכון של חקירה?

  1. נגזרת ואז תחום
  2. טבלת סימנים ואז נגזרת
  3. הסדר לא משנה
  4. תחום, אסימפטוטות, נגזרת, טבלת סימנים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D תחום, אסימפטוטות, נגזרת, טבלת סימנים

Corrigé :

תחום→אסימפטוטות→f′→סימנים\text{תחום} \to \text{אסימפטוטות} \to f' \to \text{סימנים}

מי שגוזר לפני שמצא את התחום עלול «למצוא» קיצון בנקודה שאינה קיימת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהו שיפוע המשיק בנקודה x=3x = 3? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

f′(3)=9−6(3−1)2=34=0.75\begin{aligned}f'(3) &= \frac{9 - 6}{(3-1)^2} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

באותה פונקציה: על הקטע 0<x<10 < x < 1 — האם ff עולה (כתבו 1) או יורדת (כתבו -1)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

x(x−2)<0 עבור 0<x<2x(x-2) < 0 \ \text{עבור } 0 < x < 2

המונה שלילי בקטע

f′<0⇒יורדתf' < 0 \Rightarrow \text{יורדת}
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe