Dérivée d'un quotient

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כדי לחקור פונקציה רציונלית צריך לגזור מנה של שתי פונקציות. יש לזה נוסחה אחת, והיא שווה שינון בקול רם:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

המונה: נגזרת-העליון כפול התחתון, פחות העליון כפול נגזרת-התחתון. המכנה: התחתון בריבוע.

שני דברים שאסור לשכוח: הסדר במונה חשוב — יש שם מינוס, והחלפה הורסת את הסימן; והמכנה תמיד חיובי (v2v^2), ולכן סימן הנגזרת נקבע במונה בלבד. העובדה הזאת תחסוך המון עבודה בחקירה.

דוגמה מלאה

נגזור את f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}.

u=2x+1 u′=2v=x−3 v′=1\begin{aligned}u &= 2x+1 \\ \ u' &= 2 \\ \quad v &= x-3 \\ \ v' &= 1\end{aligned}

מסדרים את ארבעת החלקים לפני הכול

f′(x)=2(x−3)−(2x+1)⋅1(x−3)2f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2}
=2x−6−2x−1(x−3)2=−7(x−3)2= \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}

שימו לב: המינוס נכנס לשני האיברים של הסוגריים

מה אפשר לומר על ff מהתוצאה f′(x)=−7(x−3)2f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2}?

Voir la réponse et le corrigé

המכנה חיובי תמיד והמונה שלילי קבוע — הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה, ולכן ff יורדת בכל אחד משני הענפים שלה. אין נקודות קיצון.

מהי f′(4)f'(4)?

Voir la réponse et le corrigé

f′(4)=−7(4−3)2=−7f'(4) = \frac{-7}{(4-3)^2} = -7.

שלוש הטעויות של נגזרת המנה.

(uv)′=u′v′\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}
u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}

מנת הנגזרות איננה נגזרת המנה — כמו שמנת הריבועים איננה ריבוע המנה.

uv′−u′vv2\frac{uv' - u'v}{v^2}
u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}

הסדר הפוך הופך את הסימן של כל הנגזרת — עלייה תיראה ירידה.

2x−6−2x+12x - 6 - 2x + 1
2x−6−2x−12x - 6 - 2x - 1

המינוס שלפני uv′uv' מוכפל בכל האיברים. סוגריים לפני הפתיחה — תמיד.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. מהי f′(4)f'(4)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

f′(x)=2(x−3)−(2x+1)(x−3)2=−7(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-7}{(x-3)^2}\end{aligned}
f′(4)=−71=−7\begin{aligned}f'(4) &= \frac{-7}{1} \\ &= -7\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x+2}. מהי f′(0)f'(0)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f′(x)=(x+2)−x(x+2)2=2(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+2) - x}{(x+2)^2} \\ &= \frac{2}{(x+2)^2}\end{aligned}
f′(0)=24=0.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=3x−1x+1f(x) = \frac{3x-1}{x+1}. מהי f′(1)f'(1)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=3(x+1)−(3x−1)(x+1)2=4(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3(x+1) - (3x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{4}{(x+1)^2}\end{aligned}
f′(1)=44=1\begin{aligned}f'(1) &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3} עם f′(x)=−7(x−3)2f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2} — כמה נקודות קיצון?

  1. אחת
  2. שתיים
  3. תלוי בתחום
  4. אף אחת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אף אחת

Corrigé :

f′(x)<0 לכל x≠3f'(x) < 0 \ \text{לכל } x \ne 3

המונה קבוע ושלילי, המכנה חיובי

נגזרת שאינה מתאפסת אף פעם — אין חשודות לקיצון. הפונקציה יורדת בכל ענף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהי f′(2)f'(2)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\end{aligned}
f′(2)=4−41=0\begin{aligned}f'(2) &= \frac{4 - 4}{1} \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

באותה פונקציה: בנוסף ל-x=2x=2, באיזה xx נוסף מתאפסת הנגזרת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x2−2x=x(x−2)=0\begin{aligned}x^2 - 2x &= x(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}
x=0 או x=2\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מדוע סימן הנגזרת של מנה נקבע במונה בלבד?

  1. כי המכנה בריבוע ולכן חיובי
  2. כי המכנה מצטמצם
  3. זה לא נכון
  4. כי המונה גדול יותר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי המכנה בריבוע ולכן חיובי

Corrigé :

v2>0 לכל v≠0v^2 > 0 \ \text{לכל } v \ne 0

מה שחיובי תמיד אינו משפיע על סימן — נשאר לבדוק רק את המונה. חצי מטבלת הסימנים נחסך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=4x2+1f(x) = \frac{4}{x^2+1}. מהי f′(1)f'(1)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f′(x)=0⋅(x2+1)−4⋅2x(x2+1)2=−8x(x2+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{0 \cdot (x^2+1) - 4 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-8x}{(x^2+1)^2}\end{aligned}

נגזרת של קבוע — אפס

f′(1)=−84=−2\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

משיק לגרף f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x+2} בנקודה x=0x = 0 — מהו שיפועו? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

m=f′(0)=0.5\begin{aligned}m &= f'(0) \\ &= 0.5\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x+3}{x-1}. פתרו f′(2)=?f'(2) = ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f′(x)=(x−1)−(x+3)(x−1)2=−4(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-1) - (x+3)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-4}{(x-1)^2}\end{aligned}
f′(2)=−41=−4\begin{aligned}f'(2) &= \frac{-4}{1} \\ &= -4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe