Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: נגזרת של מנה, חקירת פונקציה רציונלית (אסימפטוטה וקיצון), ובעיות קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

נתונה f(x)=3x+2x+1f(x) = \frac{3x+2}{x+1}. מהי f′(1)f'(1)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

f′(x)=3(x+1)−(3x+2)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{3(x+1) - (3x+2) \cdot 1}{(x+1)^2}

גזור-כפול פחות כפול-גזור

=1(x+1)2= \frac{1}{(x+1)^2}
f′(1)=14=0.25\begin{aligned}f'(1) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

המכנה בריבוע — לא לשכוח אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2+1x+3f(x) = \frac{x^2+1}{x+3}. מהי האסימפטוטה האנכית שלה? (ערך xx)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

x+3=0⇒x=−3\begin{aligned}x + 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה מתאפס

(−3)2+1=10≠0(-3)^2 + 1 = 10 \ne 0

המונה לא מתאפס שם

האסימפטוטה האנכית היא x=−3x = -3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=xx−2f(x) = \frac{x}{x-2}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. −2x−2\frac{-2}{x-2}
  2. −2(x−2)2\frac{-2}{(x-2)^2}
  3. 2(x−2)2\frac{2}{(x-2)^2}
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −2(x−2)2\frac{-2}{(x-2)^2}

Corrigé :

f′(x)=1⋅(x−2)−x⋅1(x−2)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - x \cdot 1}{(x-2)^2}
=−2(x−2)2= \frac{-2}{(x-2)^2}

החלפת הסדר במונה נותנת +2+2, ושכחת הריבוע נותנת −2x−2\frac{-2}{x-2}. 11 מתקבל מגזירת המונה והמכנה בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=x2+16xf(x) = \frac{x^2+16}{x}. מהו ערך ה-yy של נקודת המינימום המקומי שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=2x⋅x−(x2+16)x2=x2−16x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x - (x^2+16)}{x^2} \\ &= \frac{x^2 - 16}{x^2}\end{aligned}
x2−16=0⇒x=±4\begin{aligned}x^2 - 16 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 4\end{aligned}
f(4)=324=8\begin{aligned}f(4) &= \frac{32}{4} \\ &= 8\end{aligned}

מהסימן: יורדת לפני 4 ועולה אחריו

ב-x=−4x = -4 יש מקסימום מקומי, f(−4)=−8f(-4) = -8 — נמוך מהמינימום, כי הם בשני ענפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x−1x+1f(x) = \frac{x-1}{x+1}. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=3x = 3? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.125

Corrigé :

f′(x)=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}
f′(3)=216=0.125\begin{aligned}f'(3) &= \frac{2}{16} \\ &= 0.125\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפונקציה f(x)=x+2x−3f(x) = \frac{x+2}{x-3} יורדת בכל אחד משני הענפים שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=(x−3)−(x+2)(x−3)2=−5(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-3) - (x+2)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-5}{(x-3)^2}\end{aligned}
−5<0 , (x−3)2>0-5 < 0 \ , \ (x-3)^2 > 0

המונה שלילי, המכנה חיובי

הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה — אין נקודות קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חקלאי בעמק יזרעאל מגדר חלקה מלבנית בשטח 800 מ״ר, צמודה לנחל. לאורך הנחל לא מגדרים. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

xy=800⇒y=800x\begin{aligned}xy &= 800 \Rightarrow y \\ &= \frac{800}{x}\end{aligned}

xx — הצלע הניצבת לנחל

L(x)=2x+800xL(x) = 2x + \frac{800}{x}

שתי צלעות ניצבות וצלע אחת מקבילה

L′(x)=2−800x2=0⇒x=20\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{800}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}
L(20)=40+40=80\begin{aligned}L(20) &= 40 + 40 \\ &= 80\end{aligned}

L′L' שלילית לפני 20 וחיובית אחריו — מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

שני מספרים חיוביים xx ו-yy מקיימים x+y=12x + y = 12. מהו הערך הגדול ביותר של המכפלה x2yx^2 y?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 256

Corrigé :

f(x)=x2(12−x)=12x2−x3\begin{aligned}f(x) &= x^2(12 - x) \\ &= 12x^2 - x^3\end{aligned}

האילוץ מחסל משתנה

f′(x)=24x−3x2=3x(8−x)=0\begin{aligned}f'(x) &= 24x - 3x^2 \\ &= 3x(8 - x) \\ &= 0\end{aligned}
x=8⇒f(8)=64⋅4=256\begin{aligned}x &= 8 \Rightarrow f(8) \\ &= 64 \cdot 4 \\ &= 256\end{aligned}

f′f' חיובית לפני 8 ושלילית אחריו

המספרים הם 88 ו-44. הפעם הסימטריה לא מנצחת: 62⋅66^2 \cdot 6 היה נותן 216216 בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x2−2x+4x−2f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}. מהו ערך ה-yy של נקודת המקסימום המקומי שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f′(x)=(2x−2)(x−2)−(x2−2x+4)(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-2)(x-2) - (x^2-2x+4)}{(x-2)^2}

כלל המנה

=x2−4x(x−2)2= \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}
x(x−4)=0⇒x=0  x=4\begin{aligned}x(x-4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}
f(0)=4−2=−2\begin{aligned}f(0) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}

עולה לפני 0 ויורדת אחריו

ב-x=4x = 4 יש מינימום, f(4)=6f(4) = 6. האסימפטוטה x=2x = 2 מפרידה בין שני הענפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בונים קופסה פתוחה (בלי מכסה) שאורך בסיסה שווה לרוחב בסיסה, ונפחה 32 סמ״ק. מהו שטח הפנים הקטן ביותר של הקופסה (בסמ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

x2h=32⇒h=32x2\begin{aligned}x^2 h &= 32 \Rightarrow h \\ &= \frac{32}{x^2}\end{aligned}

xx — צלע הבסיס, hh — הגובה

S(x)=x2+4xh=x2+128x\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4xh \\ &= x^2 + \frac{128}{x}\end{aligned}

בסיס אחד וארבע דפנות

S′(x)=2x−128x2=0⇒x3=64\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 64\end{aligned}
x=4⇒S(4)=16+32=48\begin{aligned}x &= 4 \Rightarrow S(4) \\ &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

S′S' שלילית לפני 4 וחיובית אחריו — מינימום. הגובה יוצא 22 ס״מ.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe