On résout ensemble · Équation du cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלת המעגל בבגרות: מעגל המשיק לציר עם משיק ושטח, מרכז על ציר וזווית היקפית, ישר שחותך מעגל, ודלתון שנבנה על מיתר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומתחתיה מחכה שאלה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל סעיף שאלו: צריך מרכז ורדיוס, הצבה או שיפוע? כמעט כל סעיף בשאלת מעגל הוא אחד משלושת הכלים האלה.

1 — מעגל המשיק לציר ה- $x$ , משיק ושטח

המשיק בנקודה

A

חותך את ציר ה-

x

בנקודה

C

Activité interactive

מרכז המעגל הוא $M(3,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . א. מצאו את משוואת המעגל. ב. המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). מצאו אותן. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ . ד. המשיק חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

\begin{aligned}M(3,\,5) \\ \quad R &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המילה «משיק לציר ה- $x$ » היא נתון: היא נותנת את הרדיוס.

א. רדיוס

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$ : הרדיוס שווה לגובה המרכז.

א.

(x-3)^2+(y-5)^2=25

המשוואה הקנונית.

ב.

\begin{aligned}9+(y-5)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ y \\ &= 9 \\ \ y &= 1\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$ . לכן $A(0,\,9)$ ו- $B(0,\,1)$ .

ג. רדיוס

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{9-5}{0-3} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס אל נקודת ההשקה.

ג.

\begin{aligned}m &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{4}x+9\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, והוא עובר דרך $A(0,9)$ .

ד. הנקודה

0=\frac{3}{4}x+9 \ \Rightarrow \ C(-12,\,0)

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$ .

ד. שטח

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot |x_C|}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 12}{2} \\ &= 48\end{aligned}

הבסיס $AB$ על ציר ה- $y$ , והגובה הוא המרחק של $C$ מציר ה- $y$ .

הסעיף הראשון נפתר בלי אף חישוב: «משיק לציר» הוא הנתון שנותן את $R$ .

Faire l'activité sur elev

היכן המעגל נוגע בציר ה- $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

בנקודה $(3,\,0)$ , ישירות מתחת למרכז. הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך לציר, ולכן הוא אנכי.

השאלות התאומות: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — מרכז על ציר, קוטר וזווית היקפית

BD

קוטר, ו-

A

נמצאת על המעגל.

Activité interactive

מרכז על ציר ה- $x$

מעגל עובר דרך $A(-1,\,4)$ ו- $B(5,\,2)$ , ומרכזו $M$ על ציר ה- $x$ . א. מצאו את $M$ ואת $R^2$ . ב. $BD$ קוטר במעגל. מצאו את $D$ . ג. הראו שהזווית $BAD$ ישרה, ומצאו את שטח המשולש $ABD$ .

$M(1,\,0)$ , $D(-3,\,-2)$ , $S=20$

$M(2,\,3)$ , $D(-1,\,4)$ , $S=20$

$M(1,\,0)$ , $D(-5,\,-2)$ , $S=40$

$M(1,\,0)$ , $D(-3,\,-2)$ , $S=40$

מה כותבים על המרכז?

$M(a,\,0)$ ו- $MA^2=MB^2$

Voir la réponse et le corrigé

המרכז על ציר ה- $x$ , והוא במרחקים שווים משתי נקודות על המעגל.

$M$ הוא אמצע $AB$

Voir la réponse et le corrigé

זה נכון רק אם $AB$ קוטר, וזה לא נתון. האמצע $(2,3)$ אפילו אינו על ציר ה- $x$ .

(a+1)^2+16=(a-5)^2+4

נוסחת המרחק

מה נותנת המשוואה?

$a=1$ , ו- $R^2=20$

Voir la réponse et le corrigé

$2a+17=-10a+29$ , ולכן $12a=12$ .

$a=1$ , ו- $R^2=16$

Voir la réponse et le corrigé

$R^2=MA^2=(-1-1)^2+4^2=4+16=20$ .

\begin{aligned}M(1,\,0) \\ \quad R^2 &= 20\end{aligned}

בדיקה עם $B$ : $16+4=20$ ✓

$BD$ קוטר. איך מוצאים את $D$ ?

$M$ הוא אמצע $BD$

Voir la réponse et le corrigé

מרכז המעגל הוא אמצע כל קוטר.

$D$ היא הנקודה הנגדית ל- $B$ ביחס לראשית

Voir la réponse et le corrigé

השיקוף הוא ביחס למרכז $M(1,0)$ , לא ביחס לראשית.

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 1-5,\ 2 \cdot 0-2) \\ &= (-3,\,-2)\end{aligned}

נוסחת האמצע בכיוון ההפוך

איך מראים שהזווית $BAD$ ישרה?

היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר $BD$

Voir la réponse et le corrigé

זה המשפט. בדיקה בשיפועים: $m_{AB} \cdot m_{AD}=-\frac{1}{3} \cdot 3=-1$ .

צריך למדוד בשרטוט

Voir la réponse et le corrigé

שרטוט אינו הוכחה. משפט או שיפועים.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2-4}{5+1} \\ &= -\frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{-2-4}{-3+1} \\ &= 3\end{aligned}

מכפלת השיפועים $-1$

מהו השטח?

$\frac{AB \cdot AD}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $AB$ ו- $AD$ הם בסיס וגובה.

$\frac{BD \cdot AB}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

$BD$ אינו מאונך ל- $AB$ .

\begin{aligned}AB &= AD \\ &= \sqrt{40} \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים

Voir la réponse et le corrigé

$M(1,0)$ , $D(-3,-2)$ , $S=20$ . מי שקיבל $S=40$ שכח לחלק ב- $2$ . $40$ הוא השטח של המלבן שכל ארבעת קודקודיו על המעגל.

Faire l'activité sur elev

איזו נקודה $C$ על המעגל משלימה את $ABD$ למלבן $ABCD$ , ומה שטח המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

$AC$ צריך להיות קוטר, ולכן $C=2M-A=(3,\,-4)$ . בדיקה: $4+16=20$ ✓. שטח המלבן הוא פעמיים שטח המשולש: $40$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — ישר חותך מעגל: נקודות, זווית מרכזית ושטח

Activité interactive

נתון המעגל $x^2+y^2-4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . הישר $y=x+4$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). א. מצאו את המרכז ואת הרדיוס. ב. מצאו את $A$ ואת $B$ . ג. הראו שהזווית $AMB$ ישרה. ד. מצאו את שטח המשולש $AMB$ . ה. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

\begin{aligned}x^2+y^2-4x-2y-20 &= 0 \\ \quad y &= x+4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משוואה כללית: קודם השלמה לריבוע.

א.

(x-2)^2+(y-1)^2=25

השלמה לריבוע: $20+4+1=25$ . $M(2,1)$ , $R=5$ .

ב. הצבה

\begin{aligned}(x-2)^2+(x+3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y=x+4$ , ולכן $y-1=x+3$ .

ב.

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -3 \ \Rightarrow \ A(2,\,6) \\ \ B(-3,\,1)\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר.

ג.

\begin{aligned}MA: \ x &= 2 \qquad MB: \ y \\ &= 1\end{aligned}

$MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי, ולכן הם מאונכים.

ד.

\begin{aligned}S &= \frac{MA \cdot MB}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

שני הניצבים הם רדיוסים.

ה.

y=6

הרדיוס $MA$ אנכי, והמשיק מאונך לו בנקודת ההשקה, ולכן אופקי.

בסעיפים ג ו-ה אין חישוב שיפוע: כשרדיוס אנכי או אופקי, רואים את הניצבות ישר מהשיעורים.

Faire l'activité sur elev

מה אורך המיתר $AB$ , ולמה אפשר לחשב אותו בלי נוסחת המרחק?

Voir la réponse et le corrigé

המשולש $AMB$ ישר זווית ושווה שוקיים, עם ניצבים באורך $5$ . לפי משפט פיתגורס, $AB=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מיתר, נקודה על האנך האמצעי, ואיזה מרובע

Activité interactive

מרובע על מיתר

הישר $y=-1$ חותך את המעגל $(x+1)^2+(y-2)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $C$ ( $x_A<x_C$ ). $M$ מרכז המעגל, ו- $B(-1,\,-7)$ . א. מצאו את $A$ ואת $C$ . ב. קבעו את סוג המרובע $MABC$ . ג. מצאו את שטחו.

דלתון, $S=36$

מעוין, $S=36$

דלתון, $S=72$

מקבילית, $S=36$

איך מוצאים את $A$ ואת $C$ ?

מציבים $y=-1$ במשוואת המעגל

Voir la réponse et le corrigé

הנקודות על הישר ועל המעגל.

מציבים $x=-1$ במשוואת המעגל

Voir la réponse et le corrigé

הישר הוא $y=-1$ : הערך הקבוע הוא של $y$ .

\begin{aligned}(x+1)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ A(-5,\,-1) \\ \ C(3,\,-1)\end{aligned}

$(x+1)^2=16$

מה אפשר לומר על $MA$ ועל $MC$ ?

$MA=MC=5$

Voir la réponse et le corrigé

שניהם רדיוסים.

$MA=MC=8$

Voir la réponse et le corrigé

$8$ הוא אורך המיתר $AC$ , לא הרדיוס.

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= R \\ &= 5\end{aligned}

רדיוסים באותו מעגל

ומה עם $BA$ ו- $BC$ ?

$BA=BC=\sqrt{52}$

Voir la réponse et le corrigé

$B$ על האנך האמצעי $x=-1$ של $AC$ .

$BA=BC=5$

Voir la réponse et le corrigé

$BA^2=4^2+6^2=52$ , לא $25$ .

\begin{aligned}BA^2 &= 4^2+6^2 \\ &= 52 \\ &= BC^2\end{aligned}

נוסחת המרחק

איזה מרובע זה?

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

Voir la réponse et le corrigé

$MA=MC$ ו- $BA=BC$ , אבל $5 \neq \sqrt{52}$ , ולכן לא מעוין.

מעוין

Voir la réponse et le corrigé

במעוין כל ארבע הצלעות שוות.

\begin{aligned}MA &= MC \neq BA \\ &= BC\end{aligned}

הגדרת הדלתון

איך מחשבים את השטח?

חצי מכפלת האלכסונים $AC$ ו- $MB$

Voir la réponse et le corrigé

בדלתון האלכסונים מאונכים. כאן $AC$ אופקי ו- $MB$ אנכי.

מכפלת האלכסונים

Voir la réponse et le corrigé

שוכח את החצי.

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot MB}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 9}{2} \\ &= 36\end{aligned}

$AC=8$ , $MB=2-(-7)=9$

Voir la réponse et le corrigé

דלתון, $S=36$ . מי שענה $72$ שכח לחלק ב- $2$ , ומי שענה «מעוין» לא בדק שהרדיוס שונה מ- $BA$ .

Faire l'activité sur elev

האם $B$ נמצאת על המעגל?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $MB=9>5=R$ , ולכן $B$ מחוץ למעגל. הזווית $MAB$ אינה ישרה, ולכן $BA$ אינו משיק: $m_{MA} \cdot m_{BA}=\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \neq -1$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

מרכז המעגל הוא $M(4,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . השלימו.

$A(0,$ ____ $)$ , $B(0,$ ____ $)$ , $x_C=$ ____ , $S_{ABC}=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A(0,$ 8 $)$ , $B(0,$ 2 $)$ , $x_C=$ -6 , $S_{ABC}=$ 18

Corrigé :

\begin{aligned}R &= 5 \\ \quad 16+(y-5)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ y \\ &= 8 \\ \ y &= 2\end{aligned}

משיק לציר ה- $x$ : $R=|b|$ . ואז מציבים $x=0$

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{8-5}{0-4} \\ &= -\frac{3}{4} \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y &= \frac{4}{3}x+8 \ \Rightarrow \ x_C \\ &= -6\end{aligned}

מציבים $y=0$

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 6}{2} \\ &= 18\end{aligned}

בסיס $AB=6$ על ציר ה- $y$ , גובה $|x_C|=6$

בסעיף השטח, הגובה הוא $|x_C|=6$ ולא $-6$ : אורך אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מעגל עובר דרך $A(-2,\,1)$ ו- $B(4,\,-1)$ , ומרכזו $M$ על ציר ה- $y$ . $BD$ קוטר במעגל. השלימו.

$M(0,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____ , $D($ ____ $,$ ____ $)$ , $S_{ABD}=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M(0,$ -3 $)$ , $R^2=$ 20 , $D($ -4 $,$ -5 $)$ , $S_{ABD}=$ 20

Corrigé :

\begin{aligned}4+(b-1)^2 &= 16+(b+1)^2 \ \Rightarrow \ -2b+5 \\ &= 2b+17 \ \Rightarrow \ b \\ &= -3\end{aligned}

$MA^2=MB^2$ עם $M(0,b)$

\begin{aligned}R^2 &= 4+16 \\ &= 20\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}D &= (0-4,\ -6+1) \\ &= (-4,\,-5)\end{aligned}

$M$ אמצע הקוטר $BD$

\begin{aligned}\angle BAD &= 90^\circ \\ \quad AB &= AD \\ &= \sqrt{40} \ \Rightarrow \ S \\ &= 20\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

בדיקת הזווית בשיפועים: $m_{AB}=-\frac{1}{3}$ ו- $m_{AD}=3$ . מי שחישב את $D$ כ- $(-4,1)$ שיקף את $B$ ביחס לראשית ולא ביחס למרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון המעגל $x^2+y^2+2x-6y-15=0$ , שמרכזו $M$ . הישר $y=x+9$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). השלימו.

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$ , $S_{AMB}=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A($ -1 $,$ 8 $)$ , $B($ -6 $,$ 3 $)$ , $S_{AMB}=$ 12.5

Corrigé :

(x+1)^2+(y-3)^2=25

השלמה לריבוע: $15+1+9=25$

\begin{aligned}(x+1)^2+(x+6)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+7x+6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y-3=x+6$

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= -6 \ \Rightarrow \ A(-1,\,8) \\ \ B(-6,\,3)\end{aligned}

מציבים בישר

\begin{aligned}MA \perp MB \ \Rightarrow \ S &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

$MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי: הניצבים הם רדיוסים

המשיק בנקודה $A$ הוא $y=8$ , כי הרדיוס $MA$ אנכי. אם יצא לכם $S=25$ , שכחתם לחלק ב- $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הישר $y=2$ חותך את המעגל $(x-3)^2+(y+1)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $C$ ( $x_A<x_C$ ). $M$ מרכז המעגל, ו- $B(3,\,6)$ . המרובע $MABC$ הוא דלתון. השלימו.

$A($ ____ $,\,2)$ , $C($ ____ $,\,2)$ , $S_{MABC}=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A($ -1 $,\,2)$ , $C($ 7 $,\,2)$ , $S_{MABC}=$ 28

Corrigé :

\begin{aligned}(x-3)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

מציבים $y=2$

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= 5 \\ \quad BA^2 &= BC^2 \\ &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

רדיוסים, ונוסחת המרחק

\begin{aligned}AC &= 8 \\ \quad MB &= 6-(-1) \\ &= 7\end{aligned}

האלכסונים: $AC$ אופקי, $MB$ אנכי

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 7}{2} \\ &= 28\end{aligned}

שטח דלתון: חצי מכפלת האלכסונים המאונכים

האלכסון $MB$ עובר מהמרכז ועד $B$ , ולכן אורכו $7$ . הרדיוס $5$ אינו האלכסון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מרכז המעגל הוא $(-5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $y$ . השלימו את הרדיוס ואת אורך המיתר שהמעגל חותך על ציר ה- $x$ .

$R=$ ____ , אורך המיתר: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $R=$ 5 , אורך המיתר: 6

Corrigé :

\begin{aligned}R &= |a| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $y$

\begin{aligned}(x+5)^2+16 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= -8\end{aligned}

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$

-2-(-8)=6

הפרש השיעורים

הרדיוס נקבע לפי המרחק מהציר המשיק, ציר ה- $y$ : $|a|=5$ . מי שלקח $R=4$ השתמש בציר הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

1 — מעגל המשיק לציר ה-xxx, משיק ושטח

2 — מרכז על ציר, קוטר וזווית היקפית

3 — ישר חותך מעגל: נקודות, זווית מרכזית ושטח

4 — מיתר, נקודה על האנך האמצעי, ואיזה מרובע

Exercices

La suite se pratique sur elev

1 — מעגל המשיק לציר ה- $x$ , משיק ושטח