Cercle, triangle et quadrilatère · Équation du cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלושה יישובים נמצאים בנקודות $A(1,\,1)$ , $B(7,\,1)$ ו- $C(7,\,9)$ . המועצה רוצה להציב מגדל מים במרחק שווה משלושתם. המגדל צריך להיות במרכז של מעגל שעובר דרך שלוש הנקודות. הסתכלו על השרטוט: איפה המרכז?

הזווית

B

ישרה, והמרכז

M(4,\,5)

נמצא בדיוק באמצע היתר

AC

למה מרכז המעגל נמצא דווקא באמצע $AC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לפי המשפט: זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר. הזווית $B$ ישרה, ולכן $AC$ קוטר, והמרכז הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{1+7}{2},\,\frac{1+9}{2}\right)=(4,\,5)$ . הרדיוס הוא $\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$ .

מרכז על ישר נתון

כשהמשולש אינו ישר זווית, משתמשים במשפט אחר: כל נקודה על האנך האמצעי של $AB$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ . לכן מרכז של מעגל שעובר דרך $A$ ו- $B$ נמצא על האנך האמצעי. אם נתון עוד ישר שעליו נמצא המרכז, המרכז הוא נקודת החיתוך של שני הישרים.

מרכז על ישר נתון

מעגל עובר דרך $A(1,\,-2)$ ו- $B(5,\,2)$ , ומרכזו על הישר $y=x+1$ . מצאו את משוואת המעגל.

\begin{aligned}N &= (3,\,0) \\ \quad m_{AB} &= \frac{2+2}{5-1} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע $AB$ ושיפוע $AB$

\begin{aligned}y &= -(x-3) \\ &= -x+3\end{aligned}

האנך האמצעי: דרך $N$ , שיפוע $-1$

\begin{aligned}-x+3 &= x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון: $M(1,\,2)$

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= 0^2+4^2 \\ &= 16\end{aligned}

נוסחת המרחק

(x-1)^2+(y-2)^2=16

בדיקה עם $B$ : $16+0=16$ ✓

אם המרכז נתון על ציר ה- $y$ , איזו משוואה פשוטה יותר אפשר לכתוב במקום האנך האמצעי?

Voir la réponse et le corrigé

המרכז הוא $M(0,\,b)$ , ומשווים $MA^2=MB^2$ . ה- $b^2$ מצטמצם משני האגפים, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה ב- $b$ .

מעגל, משולש ומרובע

בשאלה על מעגל בבגרות מופיעים כמעט תמיד גם משולש או מרובע. ארבעה כלים עונים על רוב הסעיפים:

m_1 \cdot m_2=-1

שיפועים: ניצבות, ולכן זווית ישרה. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

m_1=m_2

שיפועים: צלעות מקבילות

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

מרחקים: צלעות שוות, ורדיוסים שווים

S=\frac{a \cdot h}{2}

שטח: בסיס מקביל לציר, והגובה נקרא מהשיעורים

איזה מרובע זה?

במעגל $(x-4)^2+(y-5)^2=25$ מסמנים $A(1,1)$ , $B(7,1)$ , $C(7,9)$ ו- $D(1,9)$ . קבעו את סוג המרובע $ABCD$ ומצאו את שטחו.

\begin{aligned}\frac{A+C}{2} &= \frac{B+D}{2} \\ &= (4,\,5) \\ &= M\end{aligned}

שני האלכסונים עוברים דרך המרכז: $AC$ ו- $BD$ קטרים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 2R \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה ושווים

ABCD \ \text{מלבן}

משפט: מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן

\begin{aligned}S &= AB \cdot BC \\ &= 6 \cdot 8 \\ &= 48\end{aligned}

$AB$ אופקית ו- $BC$ אנכית

כל מלבן חסום במעגל, והאלכסונים שלו הם קטרים. לכן כששני קטרים נתונים, המרובע שקצותיהם יוצרים הוא תמיד מלבן. הוא ריבוע רק אם הקטרים גם מאונכים.

הטעויות של מעגל ומצולע.

M=\left(\frac{1+7+7}{3},\ \frac{1+1+9}{3}\right)

M=(4,\,5)

מרכז המעגל החוסם אינו ממוצע הקודקודים. זו נקודת מפגש התיכונים, ולא מרכז המעגל.

S=\frac{AB \cdot AC}{2}

S=\frac{AB \cdot BC}{2}

בנוסחת השטח הגובה מאונך לבסיס. $AC$ אינה מאונכת ל- $AB$ .

AC=BD \ \Rightarrow \ \text{ריבוע}

\begin{aligned}AC &= BD \\ \ AC \perp BD\end{aligned}

אלכסונים שווים וחוצים זה את זה נותנים מלבן. לריבוע צריך גם אלכסונים מאונכים.

Exercices

Exercice 1

הזווית $B$ במשולש $ABC$ ישרה: $A(-2,\,-1)$ , $B(4,\,-1)$ , $C(4,\,7)$ . מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש.

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 1 $,$ 3 $)$ , $R=$ 5

Corrigé :

\angle B=90^\circ \ \Rightarrow \ AC \ \text{קוטר}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{-1+7}{2}\right) \\ &= (1,\,3)\end{aligned}

נוסחת האמצע

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10 \ \Rightarrow \ R \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק, וחצי קוטר

המרכז הוא אמצע היתר, לא אמצע אחד הניצבים. בדיקה: $MB^2=3^2+4^2=25$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מעגל עובר דרך $A(-4,\,2)$ ו- $B(2,\,8)$ , ומרכזו על ציר ה- $y$ . מהו מרכז המעגל?

$M(-1,\,5)$
$M(0,\,5)$
$M(0,\,2)$
$M(0,\,4)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $M(0,\,4)$

Corrigé :

\begin{aligned}MA^2 &= MB^2 \ \\ \quad M(0,\,b)\end{aligned}

המרכז במרחקים שווים משתי נקודות על המעגל

16+(b-2)^2=4+(b-8)^2

נוסחת המרחק

\begin{aligned}-4b+20 &= -16b+68 \ \Rightarrow \ b \\ &= 4\end{aligned}

ה- $b^2$ מצטמצם

הנכונה: $M(0,4)$ , ו- $R^2=20$ . $(-1,5)$ הוא אמצע $AB$ , אבל הוא אינו על ציר ה- $y$ . $(0,5)$ לקח רק את ה- $y$ של האמצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הישר $y=4$ חותך את המעגל $(x-2)^2+(y-1)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $B$ . $M$ מרכז המעגל. מהו שטח המשולש $MAB$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}(x-2)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מציבים $y=4$

\begin{aligned}AB &= 6-(-2) \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס אופקי

\begin{aligned}h &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned}

הגובה: המרחק של $M(2,1)$ מהישר $y=4$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 3}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח משולש

הבסיס $AB$ מונח על ישר אופקי, ולכן הגובה הוא הפרש שיעורי ה- $y$ . אין צורך לחשב את $MA$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$A(-5,\,0)$ , $B(5,\,0)$ ו- $C(3,\,4)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ . הזווית $ACB$ ישרה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}

השיפועים של שתי הצלעות

\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

ניצבות

AB \ \text{קוטר}

גם בלי חישוב: $AB$ עובר דרך המרכז, וזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הטענה נכונה. כל נקודה על המעגל, מלבד $A$ ו- $B$ , רואה את הקוטר $AB$ בזווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מעגל עובר דרך $A(-1,\,3)$ ו- $B(3,\,7)$ , ומרכזו על הישר $y=2x$ . מצאו את המרכז ואת $R^2$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 2 $,$ 4 $)$ , $R^2=$ 10

Corrigé :

\begin{aligned}N &= (1,\,5) \\ \quad m_{AB} &= 1\end{aligned}

אמצע $AB$ ושיפועו

y=-x+6

האנך האמצעי של $AB$ : כל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$

\begin{aligned}-x+6 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

חיתוך עם $y=2x$

\begin{aligned}R^2 &= (2+1)^2+(4-3)^2 \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $B$ : $(3-2)^2+(7-4)^2=1+9=10$ ✓. מי שהציב את האמצע $N$ בישר $y=2x$ הניח שהמרכז הוא אמצע $AB$ , אבל $AB$ אינו קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הנקודות $A(0,\,6)$ , $B(8,\,2)$ , $C(6,\,-2)$ ו- $D(-2,\,2)$ נמצאות על מעגל שמרכזו $M(3,\,2)$ . מהו סוג המרובע $ABCD$ ?

מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
דלתון שאינו מעוין

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מלבן שאינו ריבוע

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{A+C}{2} &= (3,\,2) \\ \quad \frac{B+D}{2} &= (3,\,2)\end{aligned}

שני האלכסונים עוברים דרך $M$ : הם קטרים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה ושווים: מלבן

\begin{aligned}m_{AC} &= -\frac{4}{3} \\ \quad m_{BD} &= 0\end{aligned}

האלכסונים אינם מאונכים, ולכן זה אינו ריבוע

הנכונה: מלבן שאינו ריבוע. בדיקה: $m_{AB} \cdot m_{BC}=\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2=-1$ , זווית ישרה. אבל $AB=\sqrt{80} \neq BC=\sqrt{20}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מה השטח של המרובע $ABCD$ מהשאלה הקודמת: $A(0,\,6)$ , $B(8,\,2)$ , $C(6,\,-2)$ , $D(-2,\,2)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2+4^2} \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \sqrt{80} \cdot \sqrt{20} \\ &= \sqrt{1600} \\ &= 40\end{aligned}

שטח מלבן

מכפלת שני שורשים היא שורש המכפלה. מי שחישב $\frac{AC \cdot BD}{2}=50$ השתמש בנוסחה של מעוין, והיא נכונה רק כשהאלכסונים מאונכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מעגל עובר דרך ראשית הצירים $O$ ודרך $A(8,\,0)$ ו- $B(0,\,6)$ . השלימו את משוואתו בצורה הכללית.

$x^2+y^2+$ ____ $x+$ ____ $y=0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x^2+y^2+$ -8 $x+$ -6 $y=0$

Corrigé :

\angle AOB=90^\circ \ \Rightarrow \ AB \ \text{קוטר}

הצירים מאונכים, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\begin{aligned}M &= (4,\,3) \\ \quad R &= \frac{\sqrt{64+36}}{2} \\ &= 5\end{aligned}

אמצע הקוטר וחצי אורכו

\begin{aligned}(x-4)^2+(y-3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2-8x+16+y^2-6y+9 \\ &= 25\end{aligned}

פותחים סוגריים

x^2+y^2-8x-6y=0

אין איבר חופשי, כי המעגל עובר בראשית

מי שכתב $+8$ שכח שפתיחת $(x-4)^2$ נותנת $-8x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הנקודה $A(4,\,6)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ . מהו שטח המשולש $MAB$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{3}{4} \\ \quad y &= -\frac{3}{4}x+9\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

0=-\frac{3}{4}x+9 \ \Rightarrow \ B(12,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}MA &= 5 \\ \quad AB &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{MA \cdot AB}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $MA$ ו- $AB$ הם בסיס וגובה

הזווית הישרה של המשולש נמצאת ב- $A$ , בגלל המשיק. לכן הניצבים הם $MA$ ו- $AB$ , ולא $MB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$AC$ ו- $BD$ הם שני קטרים שונים במעגל שמרכזו $M$ . הוכיחו: $ABCD$ מלבן.

$AC$ קוטר
$BD$ קוטר
$M$ מרכז המעגל

$ABCD$ מלבן

Voir la réponse et le corrigé

$MA=MC$ ו- $MB=MD$ — רדיוסים באותו מעגל
$ABCD$ מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
$AC=BD$ — שני קטרים באותו מעגל, כל אחד שווה ל- $2R$
$ABCD$ מלבן — מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן

Corrigé :

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= MB \\ &= MD \\ &= R\end{aligned}

רדיוסים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 2R\end{aligned}

קטרים

ההוכחה אינה צריכה אף שיעור: שני קטרים תמיד יוצרים מלבן. בשאלה עם שיעורים מראים ששני האלכסונים עוברים דרך המרכז, ומשם זה אותו משפט.

Vérifier la réponse sur elev

מרכז על ישר נתון

מעגל, משולש ומרובע

Exercices

La suite se pratique sur elev