Tangente au cercle et cercle tangent aux axes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

גלגל של אופניים נוסע על כביש ישר. נסמן את הכביש כציר ה-xx. הגלגל נוגע בכביש בנקודה אחת בלבד, ישירות מתחת לציר של הגלגל. לכן גובה הציר מעל הכביש שווה לרדיוס. הסתכלו על השרטוט.

המרכז M(4, 3)M(4,\,3) נמצא בגובה 33 מעל ציר ה-xx, והרדיוס הוא 33. נקודת ההשקה T(4, 0)T(4,\,0) נמצאת ישירות מתחת למרכז.

מרכז של גלגל אחר נמצא ב-(6, 5)(6,\,5), והגלגל נוגע בכביש y=0y=0. מהו הרדיוס, והיכן נקודת ההשקה?

Voir la réponse et le corrigé

הרדיוס הוא הגובה של המרכז: R=5R=5. נקודת ההשקה (6, 0)(6,\,0), ישירות מתחת למרכז.

מעגל המשיק לצירים

R=∣b∣R=|b|

משיק לציר ה-xx. נקודת ההשקה (a, 0)(a,\,0)

R=∣a∣R=|a|

משיק לציר ה-yy. נקודת ההשקה (0, b)(0,\,b)

R=∣a∣=∣b∣\begin{aligned}R &= |a| \\ &= |b|\end{aligned}

משיק לשני הצירים. המרכז על אחד הישרים y=xy=x או y=−xy=-x

מעגל שרדיוסו 33 משיק לשני הצירים, ומרכזו ברביע השני. מהי משוואתו?

Voir la réponse et le corrigé

ברביע השני x<0x<0 ו-y>0y>0, ולכן המרכז (−3, 3)(-3,\,3). המשוואה: (x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9.

המשיק בנקודה על המעגל

משפט מהגאומטריה: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. בהנדסה אנליטית זה אומר שמכפלת השיפועים של הרדיוס ושל המשיק היא −1-1.

11

שיפוע הרדיוס: מהמרכז MM אל נקודת ההשקה AA

22

שיפוע המשיק: הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

33

משוואת ישר לפי השיפוע ולפי הנקודה AA

משוואת משיק

הנקודה A(4, 6)A(4,\,6) נמצאת על המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

(4−1)2+(6−2)2=25 ✓(4-1)^2+(6-2)^2=25 \ \checkmark

בדיקה: AA על המעגל

mMA=6−24−1=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-2}{4-1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−6=−34(x−4) ⇒ y=−34x+9\begin{aligned}y-6 &= -\frac{3}{4}(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{3}{4}x+9\end{aligned}

ישר דרך AA, לא דרך MM

הרדיוס MAMA והמשיק נפגשים בזווית ישרה בנקודה AA.

מקרה מיוחד: אם הרדיוס אנכי (ל-MM ול-AA אותו xx), המשיק אופקי: y=yAy=y_A. אם הרדיוס אופקי, המשיק אנכי: x=xAx=x_A. אין כאן שיפוע «הופכי» לחשב.

מהו המשיק למעגל (x+2)2+(y−1)2=16(x+2)^2+(y-1)^2=16 בנקודה (−2, 5)(-2,\,5)?

Voir la réponse et le corrigé

למרכז (−2,1)(-2,1) ולנקודה אותו xx, ולכן הרדיוס אנכי והמשיק אופקי: y=5y=5.

שלוש הטעויות של המשיק.

mMA=43 ⇒ m=−43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}
m=−34m=-\frac{3}{4}

להחליף סימן לא מספיק. ישר מאונך דורש גם הפוך וגם נגדי.

y−2=−34(x−1)y-2=-\frac{3}{4}(x-1)
y−6=−34(x−4)y-6=-\frac{3}{4}(x-4)

המשיק עובר דרך נקודת ההשקה AA, לא דרך המרכז MM.

M(3, 5) ⇒ R=∣a∣=3\begin{aligned}M(3,\,5) \ \Rightarrow \ R &= |a| \\ &= 3\end{aligned}
R=∣b∣=5\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

למעגל שמרכזו (3,5)(3,5) ומשיק לציר ה-xx, הרדיוס הוא המרחק מציר ה-xx: ∣b∣=5|b|=5. המרחק ∣a∣|a| שייך לציר ה-yy.

Exercices

Exercice 1

מרכז המעגל הוא (−4, 5)(-4,\,5), והמעגל משיק לציר ה-xx. מהי משוואת המעגל?

  1. (x−4)2+(y+5)2=25(x-4)^2+(y+5)^2=25
  2. (x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25
  3. (x+4)2+(y−5)2=5(x+4)^2+(y-5)^2=5
  4. (x+4)2+(y−5)2=16(x+4)^2+(y-5)^2=16
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25

Corrigé :

R=∣b∣=5\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה-xx: הרדיוס שווה למרחק המרכז מהציר, שהוא הגובה

(x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25

On remplace (מציבים)

הנכונה: (x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25. R2=16R^2=16 מתאים למעגל המשיק לציר ה-yy. ו-55 באגף ימין שכח להעלות בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המעגל (x−3)2+(y+2)2=4(x-3)^2+(y+2)^2=4 משיק לאחד הצירים. מצאו את נקודת ההשקה.

נקודת ההשקה: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודת ההשקה: (( 3 ,, 0 ))

Corrigé :

M(3, −2)R=2\begin{aligned}M(3,\,-2) \\ \quad R &= 2\end{aligned}

קוראים מהמשוואה

∣b∣=2=R\begin{aligned}|b| &= 2 \\ &= R\end{aligned}

המרחק מציר ה-xx שווה לרדיוס: משיק לציר ה-xx

∣a∣=3≠2|a|=3 \neq 2

ציר ה-yy רחוק מדי

(3, 0)(3,\,0)

נקודת ההשקה ישירות מעל המרכז

המרכז מתחת לציר ה-xx, ולכן נקודת ההשקה נמצאת מעליו. בכל מקרה היא על הציר, ולכן y=0y=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מיינו את המעגלים: אילו מהם משיקים לציר ה-yy?

  • משיק לציר ה-yy
  • לא משיק לציר ה-yy
  • (x−1)2+(y+3)2=9(x-1)^2+(y+3)^2=9
  • (x−4)2+(y−4)2=4(x-4)^2+(y-4)^2=4
  • (x−5)2+(y−1)2=25(x-5)^2+(y-1)^2=25
  • (x+2)2+(y−7)2=4(x+2)^2+(y-7)^2=4
  • x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4
  • x2+y2−6x+4y+4=0x^2+y^2-6x+4y+4=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x−5)2+(y−1)2=25(x-5)^2+(y-1)^2=25 — משיק לציר ה-yy · (x+2)2+(y−7)2=4(x+2)^2+(y-7)^2=4 — משיק לציר ה-yy · x2+y2−6x+4y+4=0x^2+y^2-6x+4y+4=0 — משיק לציר ה-yy · (x−4)2+(y−4)2=4(x-4)^2+(y-4)^2=4 — לא משיק לציר ה-yy · (x−1)2+(y+3)2=9(x-1)^2+(y+3)^2=9 — לא משיק לציר ה-yy · x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4 — לא משיק לציר ה-yy

Corrigé :

R=∣a∣R=|a|

התנאי למעגל המשיק לציר ה-yy

x2+y2−6x+4y+4=0 ⇒ (x−3)2+(y+2)2=9\begin{aligned}x^2+y^2-6x+4y+4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-3)^2+(y+2)^2 \\ &= 9\end{aligned}

R=3=∣a∣R=3=|a|: משיק

(x−1)2+(y+3)2=9(x-1)^2+(y+3)^2=9

R=3=∣b∣R=3=|b|: משיק לציר ה-xx, לא לציר ה-yy

ב-x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4 המרכז על ציר ה-yy, ולכן הציר חותך את המעגל ועובר בקוטר. מעגל משיק לציר ה-yy רק כשהמרחק ∣a∣|a| שווה לרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודה A(5, 3)A(5,\,3) נמצאת על המעגל (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25. מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה AA?

  1. 43\frac{4}{3}
  2. 34\frac{3}{4}
  3. −43-\frac{4}{3}
  4. −34-\frac{3}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −34-\frac{3}{4}

Corrigé :

mMA=3−(−1)5−2=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{3-(-1)}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז (2,−1)(2,-1)

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: 43⋅(−34)=−1\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-1

הנכונה: −34-\frac{3}{4}. 43\frac{4}{3} הוא שיפוע הרדיוס, ו-−43-\frac{4}{3} שכח להפוך את השבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הנקודה A(2, 3)A(2,\,3) נמצאת על המעגל (x+1)2+(y−2)2=10(x+1)^2+(y-2)^2=10. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -3 x+x+ 9

Corrigé :

(2+1)2+(3−2)2=10 ✓(2+1)^2+(3-2)^2=10 \ \checkmark

AA על המעגל

mMA=3−22+1=13\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{3-2}{2+1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מ-M(−1,2)M(-1,2)

m=−3m=-3

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−3=−3(x−2) ⇒ y=−3x+9\begin{aligned}y-3 &= -3(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x+9\end{aligned}

ישר דרך AA

מי שכתב y−2=−3(x+1)y-2=-3(x+1) העביר את המשיק דרך המרכז. ישר כזה מאונך לרדיוס, אבל הוא לא נוגע במעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הנקודה A(4, 2)A(4,\,2) נמצאת על המעגל x2+y2=20x^2+y^2=20. המשיק למעגל בנקודה AA חותך את ציר ה-xx בנקודה BB. מהו שיעור ה-xx של BB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

mOA=24=12\begin{aligned}m_{OA} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהראשית

m=−2y−2=−2(x−4) ⇒ y=−2x+10\begin{aligned}m &= -2 \\ \quad y-2 &= -2(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+10\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

0=−2x+10 ⇒ x=5\begin{aligned}0 &= -2x+10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

על ציר ה-xx מציבים y=0y=0

B(5, 0)B(5,\,0). בדיקה: OA2+AB2=20+5=25=OB2OA^2+AB^2=20+5=25=OB^2, כמו שמשפט פיתגורס דורש במשולש OABOAB שבו הזווית ב-AA ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה A(1, 6)A(1,\,6) נמצאת על המעגל (x−1)2+(y−2)2=16(x-1)^2+(y-2)^2=16. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה AA?

  1. y=x+5y=x+5
  2. x=1x=1
  3. y=6y=6
  4. y=−x+7y=-x+7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=6y=6

Corrigé :

M(1, 2), A(1, 6)M(1,\,2) ,\ A(1,\,6)

לשתי הנקודות אותו xx: הרדיוס MAMA אנכי

y=6y=6

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן אופקי, והוא עובר דרך AA

הנכונה: y=6y=6. x=1x=1 הוא הישר שעליו מונח הרדיוס עצמו. לרדיוס אנכי אין שיפוע, ולכן אי אפשר לחשב «הופכי ונגדי». צריך לחשוב על הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מעגל שרדיוסו 44 משיק לשני הצירים, ומרכזו ברביע הרביעי. השלימו את משוואתו.

(x−(x- ____ )2+(y+)^2+(y+ ____ )2=)^2= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x−(x- 4 )2+(y+)^2+(y+ 4 )2=)^2= 16

Corrigé :

x>0, y<0x>0 ,\ y<0

ברביע הרביעי

M(4, −4)M(4,\,-4)

משיק לשני הצירים: ∣a∣=∣b∣=R=4|a|=|b|=R=4

(x−4)2+(y+4)2=16(x-4)^2+(y+4)^2=16

On remplace (מציבים)

המרכז (4,−4)(4,-4), ולכן בסוגריים של yy מופיע פלוס. נקודות ההשקה: (4, 0)(4,\,0) ו-(0, −4)(0,\,-4).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המעגל x2+y2−8x−6y+9=0x^2+y^2-8x-6y+9=0 משיק לציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(x−4)2+(y−3)2=16(x-4)^2+(y-3)^2=16

השלמה לריבוע: 16+9−9=1616+9-9=16

M(4, 3)R=4\begin{aligned}M(4,\,3) \\ \quad R &= 4\end{aligned}

קוראים

∣b∣=3<4∣a∣=4=R\begin{aligned}|b| &= 3<4 \\ \quad |a| &= 4 \\ &= R\end{aligned}

ציר ה-xx חותך את המעגל, וציר ה-yy משיק לו

הטענה לא נכונה. המעגל משיק לציר ה-yy בנקודה (0, 3)(0,\,3), ואת ציר ה-xx הוא חותך בשתי נקודות: (4±7, 0)(4\pm\sqrt{7},\,0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מעגל משיק לציר ה-xx בנקודה (3, 0)(3,\,0), ומרכזו על הישר y=2xy=2x. מהו הרדיוס של המעגל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

M(3, b)M(3,\,b)

המרכז ישירות מעל נקודת ההשקה: הרדיוס מאונך לציר המשיק

b=2⋅3=6\begin{aligned}b &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

המרכז על הישר y=2xy=2x

R=∣b∣=6\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 6\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה-xx

המשוואה: (x−3)2+(y−6)2=36(x-3)^2+(y-6)^2=36. מי שחיפש את המרכז על הישר בנקודה (0,0)(0,0) שכח שהמרכז חייב להיות מעל נקודת ההשקה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe