Série 2 — intermédiaire · Équation du cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות שמערבבות את כל הפרק: משוואה כללית, ישר ומעגל, אורך מיתר, משיק, מעגל המשיק לציר, מרכז על ציר, זווית היקפית ושטח. כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

כתבו לפני הכול את המרכז והרדיוס. כמעט כל סעיף משתמש בהם: הצבה, מרחק מהמרכז, או שיפוע של רדיוס.

Exercices

Exercice 1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל $x^2+y^2-10x+8y+16=0$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 5 $,$ -4 $)$ , $R=$ 5

Corrigé :

(x-5)^2-25+(y+4)^2-16+16=0

השלמה לריבוע

(x-5)^2+(y+4)^2=25

מעבירים אגף

המרכז הוא חצי מהמקדם, בסימן הפוך: $-10 \to 5$ , $8 \to -4$ . והמעגל משיק לציר ה- $y$ , כי $|a|=5=R$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y=2x-7$ עם המעגל $x^2+y^2-2x-24=0$ ( $x_A>x_B$ ).

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A($ 5 $,$ 3 $)$ , $B($ 1 $,$ -5 $)$

Corrigé :

(x-1)^2+y^2=25

השלמה לריבוע

\begin{aligned}(x-1)^2+(2x-7)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ 5x^2-30x+25 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את הישר

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= 1\end{aligned}

מחלקים ב- $5$

A(5,\,3) ,\quad B(1,\,-5)

מציבים בישר

בדיקה: $(5-1)^2+3^2=25$ ✓ ו- $0+25=25$ ✓. מותר להציב גם במשוואה הכללית, אבל בצורה הקנונית החשבון קצר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הישר $x=-1$ חותך את המעגל $(x-4)^2+(y-2)^2=169$ . מהו אורך המיתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}d &= |-1-4| \\ &= 5\end{aligned}

מרחק המרכז $(4,2)$ מהישר האנכי

\sqrt{13^2-5^2}=12

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו; משפט פיתגורס

2 \cdot 12=24

המיתר כולו

בדיקה: $25+(y-2)^2=169$ נותן $y=14$ ו- $y=-10$ , והמרחק ביניהם $24$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודה $A(3,\,-1)$ נמצאת על המעגל $(x+1)^2+(y-1)^2=20$ . מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

$y=$ ____ $x+$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y=$ 2 $x+$ -7

Corrigé :

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{-1-1}{3+1} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז $(-1,1)$

m=2

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y+1 &= 2(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x-7\end{aligned}

דרך $A$

בדיקה: $A$ על המשיק, $2 \cdot 3-7=-1$ ✓. מי שקיבל $y=2x+3$ העביר את הישר דרך המרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $(-3,\,0)$ ועובר דרך $(1,\,2)$ . מהי משוואתו?

$(x+3)^2+(y-2)^2=4$
$(x+3)^2+(y-5)^2=25$
$(x-3)^2+(y-5)^2=25$
$(x+3)^2+(y-4)^2=16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(x+3)^2+(y-5)^2=25$

Corrigé :

\begin{aligned}M(-3,\,b) \\ \quad R &= |b|\end{aligned}

המרכז ישירות מעל נקודת ההשקה, והרדיוס הוא הגובה

(1+3)^2+(2-b)^2=b^2

הנקודה $(1,2)$ על המעגל

\begin{aligned}16+4-4b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 5\end{aligned}

ה- $b^2$ מצטמצם

הנכונה: $(x+3)^2+(y-5)^2=25$ . בדיקה: $16+9=25$ ✓. $(x+3)^2+(y-4)^2=16$ משיק לציר, אבל לא עובר דרך $(1,2)$ : $16+4=20 \neq 16$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מעגל עובר דרך $A(1,\,4)$ ו- $B(5,\,0)$ , ומרכזו על ציר ה- $x$ . מצאו את המרכז ואת הרדיוס.

$M($ ____ $,\,0)$ , $R=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 1 $,\,0)$ , $R=$ 4

Corrigé :

(a-1)^2+16=(a-5)^2

$MA^2=MB^2$ עם $M(a,0)$

\begin{aligned}-2a+17 &= -10a+25 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ה- $a^2$ מצטמצם

\begin{aligned}R &= MB \\ &= |5-1| \\ &= 4\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $A$ : $(1-1)^2+4^2=16$ ✓. הזווית $AMB$ ישרה: $MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודות $A(-2,\,0)$ , $B(6,\,6)$ ו- $C(5,\,-1)$ נמצאות על המעגל $(x-2)^2+(y-3)^2=25$ . הזווית $ACB$ ישרה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{A+B}{2} &= (2,\,3) \\ &= M\end{aligned}

אמצע $AB$ הוא המרכז, ולכן $AB$ קוטר

\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}m_{AC} \cdot m_{BC} &= -\frac{1}{7} \cdot 7 \\ &= -1\end{aligned}

בדיקה בשיפועים

הטענה נכונה. המפתח הוא לבדוק אם $AB$ עובר דרך המרכז: אז אין צורך לחשב אף שיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו שטח המשולש $ABC$ מהשאלה הקודמת: $A(-2,\,0)$ , $B(6,\,6)$ , $C(5,\,-1)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{7^2+1^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{1^2+7^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{50}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ב- $C$ ישרה, ולכן $AC$ ו- $BC$ ניצבים

מי שחישב $\frac{AB \cdot BC}{2}$ לקח את היתר כגובה. במשולש ישר זווית, הבסיס והגובה הם שני הניצבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה נקודות משותפות יש לישר $y=-3x+11$ ולמעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=10$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $1$

Corrigé :

(x-1)^2+(-3x+13)^2=10

מציבים $y+2=-3x+13$

\begin{aligned}10x^2-80x+170 &= 10 \ \Rightarrow \ x^2-8x+16 \\ &= 0\end{aligned}

מסדרים ומחלקים ב- $10$

\begin{aligned}(x-4)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פתרון יחיד: הישר משיק

הנכונה: $1$ . נקודת ההשקה $(4,\,-1)$ . ובדיקה בשיפועים: $m_{MT}=\frac{-1+2}{4-1}=\frac{1}{3}$ , ו- $\frac{1}{3} \cdot (-3)=-1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מעגל משיק לשני הצירים, מרכזו ברביע הראשון, והמרכז נמצא על הישר $y=-2x+9$ . השלימו את משוואתו.

$(x-$ ____ $)^2+(y-$ ____ $)^2=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x-$ 3 $)^2+(y-$ 3 $)^2=$ 9

Corrigé :

\begin{aligned}M(r,\,r) \\ \quad R &= r\end{aligned}

משיק לשני הצירים ברביע הראשון

\begin{aligned}r &= -2r+9 \ \Rightarrow \ r \\ &= 3\end{aligned}

המרכז על הישר

(x-3)^2+(y-3)^2=9

On remplace (מציבים)

התנאי «ברביע הראשון» חשוב: ברביע הרביעי המרכז הוא $(r,-r)$ , ואז $-r=-2r+9$ נותן מעגל אחר, $(x-9)^2+(y+9)^2=81$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev