Série 3 — vers le bagrout · Équation du cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת המעגל בבגרות, וכל אחת מחולקת לסעיפים. בכל סעיף חוזר אותו נתון, כמו בבחינה: מה שמצאתם בסעיף א משמש בסעיף ב.

כתבו כמו בבחינה: משפט לכל צעד. «המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה», «זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה», «מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר». בודק הבחינה מחפש את המשפט, לא רק את המספר.

Exercices

Exercice 1

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . א. מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל.

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 6 $,$ -2 $)$ , $R=$ 10

Corrigé :

(x-6)^2-36+(y+2)^2-4=60

השלמה לריבוע

(x-6)^2+(y+2)^2=100

$60+36+4=100$

המרכז הוא חצי המקדם בסימן הפוך. $R=10$ , לא $100$ ולא $60$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ב. מצאו את $A$ ואת $B$ .

$A(0,$ ____ $)$ , $B(0,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A(0,$ 6 $)$ , $B(0,$ -10 $)$

Corrigé :

36+(y+2)^2=100

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$

\begin{aligned}(y+2)^2 &= 64 \ \Rightarrow \ y \\ &= 6 \\ \ y &= -10\end{aligned}

$y+2=\pm 8$

בדיקה: אמצע $AB$ הוא $(0,-2)$ , בגובה של המרכז. האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ג. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$y=-\frac{4}{3}x+6$
$y=\frac{3}{4}x-2$
$y=\frac{3}{4}x+6$
$y=\frac{4}{3}x+6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $y=\frac{3}{4}x+6$

Corrigé :

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-(-2)}{0-6} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m=\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y-6 &= \frac{3}{4}(x-0) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{4}x+6\end{aligned}

דרך $A(0,6)$

הנכונה: $y=\frac{3}{4}x+6$ . $-\frac{4}{3}$ הוא הישר $MA$ עצמו. ו- $y=\frac{3}{4}x-2$ עובר בגובה של המרכז, לא דרך $A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ד. מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

0=\frac{3}{4}x+6 \ \Rightarrow \ C(-8,\,0)

חיתוך המשיק עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}AB &= 6-(-10) \\ &= 16\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 8}{2} \\ &= 64\end{aligned}

הגובה הוא המרחק של $C$ מציר ה- $y$ : $8$

הגובה לבסיס שעל ציר ה- $y$ הוא $|x_C|$ . מי שלקח $AC$ כגובה שכח שהגובה חייב להיות מאונך לבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. א. מצאו את $M$ ואת הרדיוס.

$M($ ____ $,\,0)$ , $R=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 1 $,\,0)$ , $R=$ 10

Corrigé :

(a+5)^2+64=(a-9)^2+36

$MA^2=MB^2$ עם $M(a,0)$

\begin{aligned}10a+89 &= -18a+117 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ה- $a^2$ מצטמצם

\begin{aligned}R &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $B$ : $8^2+6^2=100$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. ב. מצאו את $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $C($ 7 $,$ -8 $)$

Corrigé :

\frac{A+C}{2}=M

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר

\begin{aligned}C &= (2 \cdot 1+5,\ 2 \cdot 0-8) \\ &= (7,\,-8)\end{aligned}

נוסחת האמצע בכיוון ההפוך

בדיקה: $(7-1)^2+(-8)^2=100$ ✓. שיקוף של $A$ ביחס לראשית, $(5,-8)$ , אינו על המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. ג. הראו שהזווית $ABC$ ישרה, ומצאו את שטח המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

\angle ABC=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AC$

\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{7} \\ \quad m_{BC} &= 7\end{aligned}

בדיקה בשיפועים: מכפלה $-1$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{196+4} \\ &= \sqrt{200} \\ \quad BC &= \sqrt{4+196} \\ &= \sqrt{200}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}}{2} \\ &= 100\end{aligned}

הניצבים הם בסיס וגובה

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים. מי שכתב $\frac{AC \cdot AB}{2}$ השתמש ביתר כגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. א. מצאו את משוואת המעגל ואת $T$ .

$(x-5)^2+(y-4)^2=$ ____ , $T($ ____ $,\,0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x-5)^2+(y-4)^2=$ 16 , $T($ 5 $,\,0)$

Corrigé :

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 4\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$

T=(5,\,0)

נקודת ההשקה ישירות מתחת למרכז

באגף ימין $R^2=16$ . הרדיוס $MT$ מאונך לציר ה- $x$ , המשיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. ב. מצאו את $P$ ואת $Q$ .

$P($ ____ $,\,4)$ , $Q($ ____ $,\,4)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $P($ 1 $,\,4)$ , $Q($ 9 $,\,4)$

Corrigé :

(x-5)^2+0=16

מציבים $y=4$

\begin{aligned}x-5 &= \pm 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

שני פתרונות

הישר $y=4$ עובר דרך המרכז, ולכן $PQ$ קוטר שאורכו $2R=8$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. ג. קבעו את סוג המרובע $PTQK$ ומצאו את שטחו.

ריבוע, $S=64$
מלבן שאינו ריבוע, $S=32$
ריבוע, $S=32$
מעוין שאינו ריבוע, $S=16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ריבוע, $S=32$

Corrigé :

\begin{aligned}K(5,\,8) \\ \quad TK: \ x &= 5\end{aligned}

$K$ ישירות מעל המרכז, ולכן $TK$ קוטר אנכי

\begin{aligned}PQ &= TK \\ &= 8 \\ \quad PQ \perp TK\end{aligned}

שני קטרים: האלכסונים שווים, חוצים זה את זה ומאונכים

PTQK \ \text{ריבוע}

מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 8}{2} \\ &= 32\end{aligned}

שטח לפי האלכסונים המאונכים

הנכונה: ריבוע, $S=32$ . מי שענה $64$ חישב $8 \cdot 8$ כאילו $8$ היא הצלע, אבל $8$ הוא אורך האלכסון. הצלע היא $4\sqrt{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev