Triangle et quadrilatère inscrits

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד בלבד. לכן כל משולש אפשר לחסום במעגל. עם ארבע נקודות זה כבר לא מובטח. הסתכלו על המרובע שבשרטוט: ארבעת הקודקודים שלו על המעגל, ושתי זוויות נגדיות מסומנות.

80°100°ABCD
המרובע ABCDABCD חסום במעגל: ארבעת הקודקודים שלו על המעגל.

חברו: 80∘+100∘80^\circ + 100^\circ. האם זה מקרה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. ∠A\angle A נשענת על הקשת BCDBCD, ו-∠C\angle C על הקשת BADBAD. יחד שתי הקשתות הן המעגל כולו, 360∘360^\circ, ולכן סכום הזוויות הוא חצי: 180∘180^\circ.

המשפט והמשפט ההפוך

∠A+∠C=180∘∠B+∠D=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 180^\circ \\ \quad \angle B + \angle D &= 180^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

המשפט ההפוך: מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל.

משולש ישר זווית בתוך מעגל

מרכז המעגל החוסם משולש הוא נקודת החיתוך של האנכים האמצעיים לצלעות. במשולש ישר זווית קל למצוא אותו: הזווית הישרה היא זווית היקפית, ולכן היא נשענת על קוטר. היתר הוא קוטר, ומרכז המעגל הוא אמצע היתר.

R=AB2R = \frac{AB}{2}

כאשר ∠C=90∘\angle C = 90^\circ ו-ABAB הוא היתר

רדיוס המעגל החוסם

במשולש ABCABC נתון ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AC=5AC = 5 ו-BC=12BC = 12. מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש?

AB=52+122=13\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

R=132=6.5\begin{aligned}R &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

האם אפשר לחסום במעגל מקבילית שהזוויות שלה 70∘70^\circ ו-110∘110^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. במקבילית זוויות נגדיות שוות: 70∘+70∘=140∘≠180∘70^\circ + 70^\circ = 140^\circ \neq 180^\circ. מקבילית אפשר לחסום במעגל רק כשהיא מלבן.

שתי טעויות במרובע חסום.

∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ
∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הזוויות המשלימות הן נגדיות, לא סמוכות.

R=ABR = AB
R=AB2R = \frac{AB}{2}

היתר הוא קוטר, והרדיוס הוא חצי ממנו.

Exercices

Exercice 1

72°?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=72∘\angle A = 72^\circ. חשבו את ∠C\angle C.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

∠C=180∘−72∘=108∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 72^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

חישוב

המלכודת: לענות 72∘72^\circ, כאילו זוויות נגדיות שוות. זה נכון במקבילית, לא במרובע חסום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. הזווית ∠A\angle A גדולה פי 33 מהזווית ∠C\angle C. חשבו את ∠C\angle C.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

3∠C+∠C=180∘3\angle C + \angle C = 180^\circ

הצבה של ∠A=3∠C\angle A = 3\angle C

∠C=45∘∠A=135∘\begin{aligned}\angle C &= 45^\circ \\ \quad \angle A &= 135^\circ\end{aligned}

חילוק ב-44

המלכודת: לחלק 180∘180^\circ ב-33. יש ארבעה חלקים שווים: שלושה ב-∠A\angle A ואחד ב-∠C\angle C.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCD

איזה מהמרובעים הבאים אפשר תמיד לחסום במעגל?

  1. מלבן
  2. דלתון
  3. מעוין
  4. מקבילית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מלבן

Corrigé :

90∘+90∘=180∘90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

במלבן כל שתי זוויות נגדיות ישרות, וסכומן 180∘180^\circ

⇒ חסום\Rightarrow \ \text{חסום}

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל

הנכונה: מלבן. במעוין ובמקבילית זוויות נגדיות שוות, והסכום 180∘180^\circ רק כשהן ישרות. המלכודת: לבחור במעוין בגלל הצלעות השוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

OABC

במשולש ABCABC נתון ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AC=8AC = 8 ו-BC=15BC = 15. מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.5

Corrigé :

AB=82+152=17\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 15^2} \\ &= 17\end{aligned}

פיתגורס

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

R=172=8.5\begin{aligned}R &= \frac{17}{2} \\ &= 8.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לענות 1717. היתר הוא הקוטר, לא הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD

הוכיחו או הפריכו: טרפז שווה שוקיים אפשר תמיד לחסום במעגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∠A+∠D=180∘\angle A + \angle D = 180^\circ

זוויות חד-צדדיות בין הבסיסים המקבילים

∠D=∠C\angle D = \angle C

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הצבה; ולכן המרובע חסום במעגל לפי המשפט ההפוך

נכון. המלכודת: לחשוב שרק מרובע עם זוויות ישרות חסום. מספיק שזוג זוויות נגדיות משלים ל-180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

80°?ABCDE

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. ממשיכים את הצלע DCDC מעבר ל-CC עד הנקודה EE, ו-∠BCE=80∘\angle BCE = 80^\circ. חשבו את ∠BAD\angle BAD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

∠BCD=180∘−80∘=100∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 80^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות משלימות ל-180∘180^\circ

∠BAD=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

יוצא ש-∠BAD=∠BCE\angle BAD = \angle BCE: הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה. המלכודת: לענות 100∘100^\circ ולעצור באמצע הדרך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

OABCD

במרובע ABCDABCD נתון ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ, ואורך האלכסון ACAC הוא 1010. מהו רדיוס המעגל שעובר דרך ארבעת הקודקודים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ

ולכן ABCDABCD חסום במעגל, לפי המשפט ההפוך

AC קוטרAC\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

R=102=5\begin{aligned}R &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לחפש את אורכי הצלעות. הן לא נחוצות: האלכסון שמול הזוויות הישרות הוא קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

110°30°?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון ∠ADC=110∘\angle ADC = 110^\circ ו-∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. חשבו את ∠ACB\angle ACB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

∠ABC=180∘−110∘=70∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 110^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

∠ACB=180∘−70∘−30∘=80∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABCABC

המלכודת: לחסר 110∘110^\circ ישירות במשולש ABCABC. הזווית ∠ADC\angle ADC אינה במשולש הזה; קודם עוברים לזווית שמולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

OABCD

במרובע ABCDABCD נתון ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ ו-∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ. הוכיחו: אפשר לחסום את ABCDABCD במעגל, ו-ACAC הוא קוטר של המעגל.

  • ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ
  • ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ

ABCDABCD חסום במעגל, ו-ACAC קוטר

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ — חיבור שתי הזוויות הנתונות
  2. ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל
  3. ACAC קוטר — זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

Corrigé :

∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ

חיבור שתי הזוויות הנתונות

ABCD חסוםABCD\ \text{חסום}

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל

AC קוטרAC\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

המלכודת: לנמק את השורה השנייה במשפט הישר, «במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ». כאן הולכים בכיוון ההפוך: מהסכום אל המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCD

מיינו: איזה מרובע אפשר תמיד לחסום במעגל, ואיזה לא תמיד?

  • תמיד חסום
  • לא תמיד
  • דלתון
  • טרפז שווה שוקיים
  • מלבן
  • מעוין
  • מקבילית
  • ריבוע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מלבן — תמיד חסום · ריבוע — תמיד חסום · טרפז שווה שוקיים — תמיד חסום · מעוין — לא תמיד · מקבילית — לא תמיד · דלתון — לא תמיד

Corrigé :

90∘+90∘=180∘90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

במלבן ובריבוע זוויות נגדיות ישרות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

בטרפז שווה שוקיים: זווית בסיס שווה לזווית הבסיס השנייה, וחד-צדדיות משלימות

מעוין ומקבילית חסומים רק כשהם ריבוע או מלבן. דלתון חסום רק כשזוג הזוויות הנגדיות השוות ישרות. המלכודת: «ארבע צלעות שוות» אינו תנאי למרובע חסום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe