Angle inscrit et angle au centre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בתיאטרון עגול, הבמה ABAB נמצאת על שפת המעגל. צופה שיושב בנקודה CC על המעגל רואה את הבמה בזווית ∠ACB\angle ACB. במאית שעומדת במרכז OO רואה אותה בזווית ∠AOB\angle AOB. מי רואה בזווית גדולה יותר, ובכמה?

100°?OABC
∠AOB\angle AOB היא זווית מרכזית: הקודקוד שלה במרכז. ∠ACB\angle ACB היא זווית היקפית: הקודקוד שלה על המעגל, והשוקיים שלה מיתרים. שתיהן נשענות על הקשת ABAB.

העריכו בעין: האם ∠ACB\angle ACB גדולה מ-∠AOB\angle AOB או קטנה ממנה?

Voir la réponse et le corrigé

קטנה. בשרטוט ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ ו-∠ACB=50∘\angle ACB = 50^\circ, בדיוק חצי. זה לא מקרה, וזה המשפט הבא.

המשפט

∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

שלוש מסקנות

∠ACB=∠ADB\angle ACB = \angle ADB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. שתיהן חצי מאותה זווית מרכזית.

AB קוטר ⇒ ∠ACB=90∘AB\ \text{קוטר} \ \Rightarrow \ \angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. הזווית המרכזית שלה היא 180∘180^\circ.

∠ACB=90∘ ⇒ AB קוטר\angle ACB = 90^\circ \ \Rightarrow \ AB\ \text{קוטר}

והמשפט ההפוך: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

הנקודות CC ו-DD נמצאות על המעגל, באותו צד של המיתר ABAB, ו-∠ACB=35∘\angle ACB = 35^\circ. כמה מעלות בזווית ∠ADB\angle ADB? ובזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB?

Voir la réponse et le corrigé

∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ: זוויות היקפיות על אותה קשת. ∠AOB=70∘\angle AOB = 70^\circ: פי שניים.

משולש בתוך חצי מעגל

ABAB קוטר של מעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=28∘\angle CAB = 28^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC.

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−28∘=62∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

בכל שאלה על זווית במעגל שאלו שתי שאלות: איפה הקודקוד, במרכז או על המעגל, ועל איזו קשת הזווית נשענת. וקוטר בשרטוט הוא רמז לזווית ישרה.

שתי טעויות בזווית היקפית.

∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB
∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

ההיקפית היא הקטנה: חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

∠AOB=100∘⇒∠ADB=50∘\begin{aligned}\angle AOB &= 100^\circ \Rightarrow \angle ADB \\ &= 50^\circ\end{aligned}
∠ADB=130∘\angle ADB = 130^\circ

כש-DD על הקשת הקטנה, הזווית נשענת על הקשת הגדולה, שמידתה 260∘260^\circ. חצי ממנה: 130∘130^\circ.

Exercices

Exercice 1

110°?OABC

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=110∘\angle AOB = 110^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. חשבו את ∠ACB\angle ACB (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 55

Corrigé :

∠ACB=12⋅110∘=55∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 110^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

המלכודת: לענות 220∘220^\circ. ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

?38°OABC

במעגל שמרכזו OO, הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB שווה 38∘38^\circ. חשבו את הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB הנשענת על אותה קשת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 76

Corrigé :

∠AOB=2⋅∠ACB\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

∠AOB=2⋅38∘=76∘\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 38^\circ \\ &= 76^\circ\end{aligned}

חישוב

המלכודת: לחלק ב-2. כאן נתונה ההיקפית, ולכן מכפילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

34°?OABC

ABAB קוטר של מעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=34∘\angle CAB = 34^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 56

Corrigé :

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−34∘=56∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

המלכודת: לענות 34∘34^\circ או 68∘68^\circ. בלי הזווית הישרה ב-CC אין מה לחשב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

30°45°?ABCDE

הנקודות AA, BB, CC ו-DD על מעגל. המיתרים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה EE. נתון ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ ו-∠BDC=45∘\angle BDC = 45^\circ. חשבו את ∠DEC\angle DEC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 105

Corrigé :

∠ACD=∠ABD=30∘\begin{aligned}\angle ACD &= \angle ABD \\ &= 30^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת (ADAD) שוות

∠DEC=180∘−30∘−45∘=105∘\begin{aligned}\angle DEC &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש EDCEDC

המלכודת: לחבר 30∘+45∘=75∘30^\circ + 45^\circ = 75^\circ. זו הזווית החיצונית, לא ∠DEC\angle DEC עצמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

100°?OABD

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ. הנקודה DD נמצאת על הקשת הקטנה ABAB. כמה מעלות בזווית ∠ADB\angle ADB?

  1. 130∘130^\circ
  2. 100∘100^\circ
  3. 50∘50^\circ
  4. 260∘260^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 130∘130^\circ

Corrigé :

360∘−100∘=260∘360^\circ - 100^\circ = 260^\circ

DD על הקשת הקטנה, ולכן ∠ADB\angle ADB נשענת על הקשת הגדולה

∠ADB=12⋅260∘=130∘\begin{aligned}\angle ADB &= \frac{1}{2} \cdot 260^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת

הנכונה: 130∘130^\circ. המלכודת: 50∘50^\circ נכון רק לנקודה על הקשת הגדולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

OABC

המשולש ABCABC חסום במעגל, ו-∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. נתון AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. מהו רדיוס המעגל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

AB=62+82=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABCABC

r=102=5\begin{aligned}r &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לענות 1010. היתר הוא קוטר, והרדיוס חצי ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

?OABC

הוכיחו או הפריכו: זווית היקפית הנשענת על מיתר שאינו קוטר היא תמיד חדה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ

דוגמה נגדית: מיתר ABAB שהזווית המרכזית שלו 120∘120^\circ

∠ACB=12(360∘−120∘)=120∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2}(360^\circ - 120^\circ) \\ &= 120^\circ\end{aligned}

כש-CC על הקשת הקטנה, הזווית נשענת על הקשת הגדולה

לא נכון. זווית היקפית שהקודקוד שלה על הקשת הקטנה היא קהה. המלכודת: לבדוק רק נקודה אחת על המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

20°OABC

במעגל שמרכזו OO נתון המיתר ABAB, ו-∠OAB=20∘\angle OAB = 20^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. השלימו.

∠AOB=\angle AOB = ____° , ∠ACB=\angle ACB = ____°

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠AOB=\angle AOB = 140° , ∠ACB=\angle ACB = 70°

Corrigé :

OA=OB ⇒ ∠OBA=20∘\begin{aligned}OA &= OB \ \Rightarrow \ \angle OBA \\ &= 20^\circ\end{aligned}

רדיוסים שווים; במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠AOB=180∘−2⋅20∘=140∘\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 2 \cdot 20^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש OABOAB

∠ACB=12⋅140∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 140^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

המלכודת: לחשוב ש-∠ACB=20∘\angle ACB = 20^\circ או 40∘40^\circ. קודם מוצאים את המרכזית מהמשולש שווה השוקיים, ורק אחר כך חוצים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

OABC

ABAB קוטר של מעגל, ו-CC נקודה על המעגל. הוכיחו: ∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ.

  • ABAB קוטר
  • CC על המעגל

∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
  2. ∠CAB+∠CBA+∠ACB=180∘\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ — סכום הזוויות במשולש
  3. ∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ — חיסור: 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ

Corrigé :

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠CAB+∠CBA+∠ACB=180∘\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ

חיסור: 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ

שתי הזוויות החדות במשולש ישר זווית משלימות ל-90∘90^\circ. המלכודת: לנמק את הזווית הישרה במילה «נתון». היא נובעת מהקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

80°?OABC

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ, והנקודה CC על הקשת הגדולה ABAB. חישבו את ∠ACB\angle ACB. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ
∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB
∠ACB=160∘\angle ACB = 160^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB → ∠ACB=12∠AOB=40∘\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 40^\circ

Corrigé :

∠ACB=12⋅80∘=40∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 80^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

השורה השנייה הפכה את המשפט. המלכודת: הזווית שהקודקוד שלה רחוק מהקשת נראית גדולה, אבל היא הקטנה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe