Série 2 — moyen · Le cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות. כמעט בכל שאלה שני משפטים ברצף: משולש שווה שוקיים ואחריו זווית היקפית, מיתר ואחריו פיתגורס, משיק ואחריו חיסור זוויות.

כשהשאלה לא נפתרת במשפט אחד, חפשו משולש שווה שוקיים של שני רדיוסים, או זווית ישרה של קוטר או של משיק. אלה שתי הדלתות של הפרק.

Exercices

Exercice 1

במעגל שמרכזו $O$ נתון המיתר $AB$ , ו- $\angle OAB = 28^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . חשבו את $\angle ACB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 62

Corrigé :

\angle OBA = 28^\circ

$OA = OB$ רדיוסים; במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 56^\circ \\ &= 124^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $OAB$

\angle ACB = 62^\circ

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

המלכודת: לענות $28^\circ$ או $56^\circ$ . $\angle OAB$ אינה זווית היקפית: הקודקוד שלה על המעגל, אבל $OA$ אינו מיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במעגל שרדיוסו $13$ נתונים שני מיתרים מקבילים, $AB = 24$ ו- $CD = 10$ . המרכז נמצא בין המיתרים. מהו המרחק בין שני המיתרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17

Corrigé :

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

האנך חוצה את $AB$ ; פיתגורס

\begin{aligned}ON &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

האנך חוצה את $CD$ ; פיתגורס

\begin{aligned}MN &= 5 + 12 \\ &= 17\end{aligned}

המרכז בין המיתרים: מחברים

המלכודת: $12 - 5 = 7$ . מחסרים רק כששני המיתרים באותו צד של המרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והיחס בין הזוויות הנגדיות הוא $\angle A : \angle C = 2 : 3$ . חשבו את $\angle C$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

\begin{aligned}2k + 3k &= 180^\circ \ \Rightarrow \ k \\ &= 36^\circ\end{aligned}

חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}\angle C &= 3 \cdot 36^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

שלושה חלקים

המלכודת: לחלק $360^\circ$ לחמישה. רק שתי זוויות נגדיות, וסכומן $180^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$AB$ קוטר של מעגל, $C$ נקודה על המעגל, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . מהו רדיוס המעגל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.5

Corrigé :

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}AB &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}r &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: $r = 15$ . פיתגורס נתן את הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ על המעגל, באותו צד של $OA$ כמו $P$ , ו- $\angle AOB = 70^\circ$ . חשבו את $\angle PAB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 35

Corrigé :

\begin{aligned}\angle OAB &= \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

$OA = OB$ רדיוסים; זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}\angle PAB &= 90^\circ - 55^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

חיסור זוויות

יוצא בדיוק חצי מ- $\angle AOB$ . המלכודת: לעצור ב- $55^\circ$ , שהיא $\angle OAB$ ולא $\angle PAB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל. האלכסון $BD$ יוצר את הזוויות $\angle ABD = 25^\circ$ ו- $\angle DBC = 40^\circ$ . כמה מעלות בזווית $\angle ADC$ ?

$65^\circ$
$130^\circ$
$50^\circ$
$115^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $115^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ABC &= 25^\circ + 40^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $B$ מורכבת משני חלקים

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

הנכונה: $115^\circ$ . $65^\circ$ היא $\angle ABC$ עצמה; $130^\circ$ ו- $50^\circ$ באים מהכפלה, שמתאימה לזווית מרכזית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המלבן $ABCD$ , שאורכי הצלעות שלו $6$ ו- $8$ , חסום במעגל. שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}AC\ \text{קוטר} \\ \quad r &= 5\end{aligned}

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר: האלכסון הוא קוטר

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 5^2 \\ &= 25\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $100\pi$ , כשמציבים את האלכסון כרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . רדיוס המעגל $7$ ו- $OP = 25$ . חישבו את $PA$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\angle OAP = 90^\circ

PA^2 = 25^2 + 7^2

PA^2 = 674

PA \approx 25.96

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $PA^2 = 25^2 + 7^2$ → $PA^2 = 25^2 - 7^2 = 576$

Corrigé :

OP^2 = OA^2 + PA^2

$OP$ מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר

\begin{aligned}PA &= \sqrt{625 - 49} \\ &= 24\end{aligned}

מחסרים את ריבוע הניצב מריבוע היתר

המשיק $PA$ הוא ניצב, ולכן הוא קצר מהיתר $OP$ . תשובה ארוכה מ- $25$ היא סימן לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: במעגל שרדיוסו $10$ יש מיתר שאורכו $22$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2r = 20

הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר במעגל

22 > 20

ולכן אין מיתר שאורכו $22$

לא נכון. המלכודת: לחשוב שמיתר יכול להיות כל אורך. הקוטר, $2r$ , הוא התקרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ נתון מיתר $AB = 16$ . $M$ היא אמצע $AB$ , וההמשך של $OM$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה. השלימו.

$OM =$ ____ , $MD =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $OM =$ 6 , $MD =$ 4

Corrigé :

\begin{aligned}OM \perp AB \\ \quad AM &= 8\end{aligned}

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר

\begin{aligned}OM &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}MD &= OD - OM \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OD$ רדיוס

המלכודת: $MD = 10$ . רק $OD$ הוא רדיוס; $MD$ הוא החלק שנשאר אחרי $OM$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev