Série 3 — vers le bagrout · Le cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הגאומטריה של הבגרות, כל אחת מפורקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו נתון בראשו. סעיף מאוחר משתמש בתוצאה של סעיף קודם, כמו בבחינה.

בבחינה סעיף שלא הצלחתם בו לא עוצר אתכם: מותר להשתמש בטענה של סעיף קודם גם בלי להוכיח אותה. ובכל הוכחה, טענה ונימוק בכל שורה.

Exercices

Exercice 1

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . א. הוכיחו: $BC \perp AD$ .

$AB$ קוטר
$C$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$BC \perp AD$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$BC \perp AD$ — $C$ על $AD$ , ולכן הזווית בין $BC$ ל- $AD$ היא $\angle ACB$

Corrigé :

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

BC \perp AD

$C$ על $AD$ , ולכן הזווית בין $BC$ ל- $AD$ היא $\angle ACB$

המלכודת: לנמק «המשיק מאונך לרדיוס». המשיק נותן זווית ישרה ב- $B$ , לא ב- $C$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . ב. הוכיחו: $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ .

$AB$ קוטר
$BD$ משיק בנקודה $B$
$C$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\triangle ACB \sim \triangle ABD$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle ABD = 90^\circ$ — המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle CAB = \angle BAD$ — angle (זווית) commun aux deux triangles
$\triangle ACB \sim \triangle ABD$ — ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

Corrigé :

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\angle ABD = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle CAB = \angle BAD

זווית משותפת לשני המשולשים

\triangle ACB \sim \triangle ABD

ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

שתי זוויות ישרות משני משפטים שונים: הקוטר נותן את $C$ , והמשיק נותן את $B$ . המלכודת: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים לא מתאים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . ג. חשבו את $AD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.5

Corrigé :

\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים מסעיף ב

\begin{aligned}\frac{8}{10} &= \frac{10}{AD} \ \Rightarrow \ AD \\ &= \frac{100}{8} \\ &= 12.5\end{aligned}

כפל בהצלבה

המלכודת: להתאים את $AC$ ל- $BD$ . $AC$ מול הזווית ב- $B$ במשולש $ACB$ , ולכן מתאים ל- $AB$ , שמול הזווית ב- $D$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . א. חשבו את $\angle BAC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$AB = BC$ : במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

המלכודת: להניח ש- $\angle ABC = 60^\circ$ כי שתי צלעות שוות. המשולש שווה שוקיים וגם ישר זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . ב. חשבו את $\angle ADB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

\angle ADB = \angle ACB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ( $AB$ ) שוות

\angle ACB = 45^\circ

מסעיף א

\begin{aligned}\angle ADC &= 90^\circ \ \Rightarrow \ \angle BDC \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר $AC$ ; ולכן $DB$ חוצה את $\angle ADC$

המלכודת: לחפש זווית מרכזית. $D$ ו- $C$ על המעגל ורואות את אותה קשת $AB$ , לכן הזוויות שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

הקוטר

\begin{aligned}OB \perp AC \\ \quad OB &= 5\end{aligned}

$AB = BC$ , ולכן $B$ על האנך האמצעי של $AC$ ; $OB$ רדיוס

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 5}{2} \\ &= 25\end{aligned}

בסיס כפול גובה חלקי $2$

דרך אחרת: $AB = BC = 5\sqrt{2}$ , ו- $\frac{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{2} = 25$ . המלכודת: לקחת את הרדיוס כבסיס ואת הקוטר כגובה, ולכפול פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . א. מהי הזווית $\angle OAP$ , ומה הנימוק?

$45^\circ$ , כי המשולש $OAP$ שווה שוקיים
$90^\circ$ , כי המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$90^\circ$ , כי זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
אי אפשר לדעת בלי הרדיוס

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $90^\circ$ , כי המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

Corrigé :

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הנכונה: $90^\circ$ , כי המשיק מאונך לרדיוס. המלכודת: הנימוק של הקוטר. הוא נכון לזווית $\angle BAC$ , שהקודקוד שלה על המעגל ו- $BC$ קוטר, לא ל- $\angle OAP$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ב. מצאו את רדיוס המעגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

OP = r + 6

$OB$ רדיוס, ו- $B$ בין $P$ ל- $O$

(r + 6)^2 = r^2 + 12^2

פיתגורס במשולש $OAP$ , שבו $\angle OAP = 90^\circ$

\begin{aligned}12r + 36 &= 144 \ \Rightarrow \ r \\ &= 9\end{aligned}

$r^2$ מתבטל

בדיקה: $OP = 15$ , ו- $9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$ ✓. המלכודת: $OP = 6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ג. חשבו את שטח המשולש $OAP$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= 9 \\ \quad PA &= 12\end{aligned}

מסעיף ב; שניהם ניצבים

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{9 \cdot 12}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

המלכודת: $\frac{15 \cdot 12}{2}$ . $OP$ הוא היתר, לא ניצב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ד. הוכיחו: $\angle PAB = \angle OAC$ .

$PA$ משיק בנקודה $A$
$BC$ קוטר
$B$ בין $P$ ל- $O$

$\angle PAB = \angle OAC$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle OAP = 90^\circ$ — המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle BAC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB$ — הקרן $AB$ בתוך הזווית $\angle OAP$
$\angle OAC = 90^\circ - \angle OAB$ — הקרן $AO$ בתוך הזווית $\angle BAC$
$\angle PAB = \angle OAC$ — שני גדלים השווים לאותו גודל שווים זה לזה

Corrigé :

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle BAC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB

הקרן $AB$ בתוך הזווית $\angle OAP$

\angle OAC = 90^\circ - \angle OAB

הקרן $AO$ בתוך הזווית $\angle BAC$

\angle PAB = \angle OAC

שני גדלים השווים לאותו גודל שווים זה לזה

שתי זוויות ישרות חולקות את אותה זווית $\angle OAB$ , ומה שנשאר שווה. המלכודת: להשתמש בנתונים המספריים. ההוכחה נכונה לכל רדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev