Primitive et intégrale indéfinie

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

גוזרים את x2x^2 ומקבלים 2x2x. עכשיו נלך בכיוון ההפוך: נתונה הנגזרת, ומחפשים את הפונקציה. הסתכלו קודם על שלושת הגרפים.

שלוש פונקציות, נגזרת אחת
C = 2C = 0C = −3-10123-4-3-2-11234567xy
שלושת הגרפים הם y=x2−2x+Cy=x^2-2x+C עם שלושה ערכים של CC. על הקו המקווקו x=2x=2 לשלושתם אותו שיפוע: כל גרף הוא הזזה אנכית של השני.

מהי הנגזרת של כל אחת משלוש הפונקציות בגרף? וכמה פונקציות יש שהנגזרת שלהן היא 2x−22x-2?

Voir la réponse et le corrigé

לשלושתן הנגזרת 2x−22x-2: הקבוע נעלם בגזירה. יש אינסוף פונקציות כאלה, אחת לכל ערך של CC.

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

FF היא פונקציה קדומה של ff אם F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). אוסף כל הפונקציות הקדומות נקרא האינטגרל הלא מסוים, וכותבים אותו עם +C+C.

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
∫5 dx=5x+C\int 5\,dx=5x+C

קבוע: מוסיפים xx

∫6x2 dx=2x3+C\int 6x^2\,dx=2x^3+C

מעלים את החזקה ב-11 ומחלקים בחזקה החדשה

∫(4x3−6x+5) dx=x4−3x2+5x+C\int (4x^3-6x+5)\,dx=x^4-3x^2+5x+C

סכום: כל מחובר לחוד, ו-CC אחד בסוף

מהו ∫(3x2−4x+1) dx\int (3x^2-4x+1)\,dx?

Voir la réponse et le corrigé

x3−2x2+x+Cx^3-2x^2+x+C. בדיקה בגזירה: 3x2−4x+13x^2-4x+1 ✓

פונקציה מהצורה c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}

הנגזרת של 1ax+b\frac{1}{ax+b} היא −a(ax+b)2\frac{-a}{(ax+b)^2}. לכן כשרואים ריבוע במכנה, הפונקציה הקדומה היא שבר עם המכנה בלי הריבוע, עם סימן מינוס, ומחלקים ב-aa.

∫c(ax+b)2 dx=−ca(ax+b)+C\int \frac{c}{(ax+b)^2}\,dx=-\frac{c}{a(ax+b)}+C
∫1x2 dx=−1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C

a=1, b=0a=1,\ b=0

∫6(2x+1)2 dx=−32x+1+C\int \frac{6}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{3}{2x+1}+C

a=2a=2: מחלקים את 66 ב-22

∫4(1−2x)2 dx=21−2x+C\int \frac{4}{(1-2x)^2}\,dx=\frac{2}{1-2x}+C

a=−2a=-2: שני מינוסים נותנים פלוס

כל תשובה בודקים בגזירה: הנגזרת של מה שקיבלתם חייבת להחזיר בדיוק את הפונקציה שבתוך האינטגרל.

למצוא את ff לפי f′f' ונקודה

הנגזרת קובעת את ff עד כדי קבוע. נקודה אחת על הגרף קובעת את הקבוע.

נגזרת ונקודה

נתון f′(x)=6x2−2x−4f'(x)=6x^2-2x-4, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). מצאו את ff.

f(x)=2x3−x2−4x+Cf(x)=2x^3-x^2-4x+C

פונקציה קדומה, עם CC

f(1)=2−1−4+C=−3+C\begin{aligned}f(1) &= 2-1-4+C \\ &= -3+C\end{aligned}

מציבים את שיעור ה-xx של הנקודה

−3+C=3 ⇒ C=6\begin{aligned}-3+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 6\end{aligned}

משווים לשיעור ה-yy

f(x)=2x3−x2−4x+6f(x)=2x^3-x^2-4x+6

בדיקה: f(1)=2−1−4+6=3f(1)=2-1-4+6=3 ✓

נתון f′(x)=2(x−1)2f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (3, 4)(3,\,4). מהי ff?

Voir la réponse et le corrigé

f(x)=−2x−1+Cf(x)=-\frac{2}{x-1}+C. f(3)=−1+C=4f(3)=-1+C=4, ולכן C=5C=5: f(x)=5−2x−1f(x)=5-\frac{2}{x-1}.

שלוש טעויות שחוזרות.

∫x2 dx=x3+C\int x^2\,dx=x^3+C
∫x2 dx=x33+C\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C

שכחו לחלק בחזקה החדשה. בגזירה: (x3)′=3x2≠x2(x^3)'=3x^2 \neq x^2.

∫2(2x+1)2 dx=−22x+1+C\int \frac{2}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{2}{2x+1}+C
∫2(2x+1)2 dx=−12x+1+C\int \frac{2}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2x+1}+C

שכחו לחלק ב-a=2a=2. בגזירה, כלל השרשרת מוסיף את הגורם 22, ולכן מראש מחלקים בו.

f(x)=2x3−x2−4xf(x)=2x^3-x^2-4x
f(x)=2x3−x2−4x+Cf(x)=2x^3-x^2-4x+C

בלי CC אין מה להציב בנקודה. CC הוא לא קישוט: הוא מה שהנקודה קובעת.

Exercices

Exercice 1

מהו ∫(6x2−2x) dx\int (6x^2-2x)\,dx?

  1. 2x3−x2+C2x^3-x^2+C
  2. 3x3−x2+C3x^3-x^2+C
  3. 12x−2+C12x-2+C
  4. 6x3−2x2+C6x^3-2x^2+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2x3−x2+C2x^3-x^2+C

Corrigé :

∫6x2 dx=6x33=2x3\begin{aligned}\int 6x^2\,dx &= \frac{6x^3}{3} \\ &= 2x^3\end{aligned}

מחלקים בחזקה החדשה

∫2x dx=x2\int 2x\,dx=x^2

אותו כלל

(2x3−x2)′=6x2−2x(2x^3-x^2)'=6x^2-2x

בדיקה בגזירה ✓

הנכונה: 2x3−x2+C2x^3-x^2+C. 12x−212x-2 היא נגזרת, לא פונקציה קדומה. 6x3−2x26x^3-2x^2 שוכחת לחלק בחזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=4x3−6xf(x)=4x^3-6x, ו-F(0)=2F(0)=2. חשבו את F(2)F(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

F(x)=x4−3x2+CF(x)=x^4-3x^2+C

פונקציה קדומה

F(0)=C=2\begin{aligned}F(0) &= C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה קובעת את CC

F(2)=16−12+2=6\begin{aligned}F(2) &= 16-12+2 \\ &= 6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שקיבל 44 שכח את C=2C=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו ∫8(2x+1)2 dx\int \frac{8}{(2x+1)^2}\,dx?

  1. −82x+1+C-\frac{8}{2x+1}+C
  2. 42x+1+C\frac{4}{2x+1}+C
  3. −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C
  4. −83(2x+1)3+C-\frac{8}{3(2x+1)^3}+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C

Corrigé :

−ca(ax+b)=−82(2x+1)-\frac{c}{a(ax+b)}=-\frac{8}{2(2x+1)}

c=8, a=2c=8,\ a=2

=−42x+1=-\frac{4}{2x+1}

מצמצמים

(−42x+1)′=4⋅2(2x+1)2=8(2x+1)2\begin{aligned}\left(-\frac{4}{2x+1}\right)' &= \frac{4 \cdot 2}{(2x+1)^2} \\ &= \frac{8}{(2x+1)^2}\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C. בלי המינוס הנגזרת יוצאת שלילית. −82x+1-\frac{8}{2x+1} שוכחת לחלק ב-aa. והאפשרות עם החזקה 33 מפעילה את כלל החזקות בכיוון הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: F(x)=1x−3+5F(x)=\frac{1}{x-3}+5 היא פונקציה קדומה של f(x)=1(x−3)2f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

F′(x)=−1(x−3)2F'(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}

גוזרים: 55 נעלם

−1(x−3)2≠1(x−3)2-\frac{1}{(x-3)^2} \neq \frac{1}{(x-3)^2}

הסימן הפוך

הטענה לא נכונה. פונקציה קדומה נכונה: −1x−3+C-\frac{1}{x-3}+C. ה-55 לא מפריע (הוא קבוע), הסימן כן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 0)(1,\,0). מהו הערך המינימלי של ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f(x)=x2−6x+Cf(x)=x^2-6x+C

פונקציה קדומה

f(1)=1−6+C=0 ⇒ C=5\begin{aligned}f(1) &= 1-6+C \\ &= 0 \ \Rightarrow \ C \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודת המינימום

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

הערך המינימלי

שני שלבים: קודם CC מהנקודה, ואז מינימום מ-f′=0f'=0. הערך המינימלי הוא f(3)f(3), לא 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f′(x)=3(x+2)2f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 2)(1,\,2). השלימו.

f(x)=−3x+2+f(x)=-\frac{3}{x+2}+ ____ , f(−1)=f(-1)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=−3x+2+f(x)=-\frac{3}{x+2}+ 3 , f(−1)=f(-1)= 0

Corrigé :

f(x)=−3x+2+Cf(x)=-\frac{3}{x+2}+C

פונקציה קדומה, a=1a=1

f(1)=−1+C=2 ⇒ C=3\begin{aligned}f(1) &= -1+C \\ &= 2 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(−1)=−31+3=0\begin{aligned}f(-1) &= -\frac{3}{1}+3 \\ &= 0\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שכתב +3x+2+\frac{3}{x+2} יקבל C=1C=1 ו-f(−1)=4f(-1)=4: בגזירה הוא היה מגלה נגזרת שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל פונקציה את משפחת הפונקציות הקדומות שלה.

  • 2x2x
  • 1x2\dfrac{1}{x^2}
  • 2(2x−1)2\dfrac{2}{(2x-1)^2}
  • 33
  • x2x^2
  • −12x−1+C-\dfrac{1}{2x-1}+C
  • −1x+C-\dfrac{1}{x}+C
  • x33+C\dfrac{x^3}{3}+C
  • 3x+C3x+C
  • x2+Cx^2+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2x2x — x2+Cx^2+C · 1x2\dfrac{1}{x^2} — −1x+C-\dfrac{1}{x}+C · 2(2x−1)2\dfrac{2}{(2x-1)^2} — −12x−1+C-\dfrac{1}{2x-1}+C · 33 — 3x+C3x+C · x2x^2 — x33+C\dfrac{x^3}{3}+C

Corrigé :

(−1x)′=1x2\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}

בדיקה

(−12x−1)′=2(2x−1)2\left(-\frac{1}{2x-1}\right)'=\frac{2}{(2x-1)^2}

בדיקה

כל זוג נבדק בגזירה של העמודה הימנית. 1x2\frac{1}{x^2} ו-2(2x−1)2\frac{2}{(2x-1)^2} נראות שונות, אבל הכלל שלהן זהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון F′(x)=3x2+4xF'(x)=3x^2+4x ו-F(1)=7F(1)=7. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

F(x)=∫(3x2+4x) dxF(x)=\int (3x^2+4x)\,dx
F(x)=x3+4x2+CF(x)=x^3+4x^2+C
F(1)=1+2+C=7\begin{aligned}F(1) &= 1+2+C \\ &= 7\end{aligned}
C=4 F(x)=x3+2x2+4\begin{aligned}C &= 4 \\ \ F(x) &= x^3+2x^2+4\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(x)=x3+4x2+CF(x)=x^3+4x^2+C → F(x)=x3+2x2+CF(x)=x^3+2x^2+C

Corrigé :

∫4x dx=4x22=2x2\begin{aligned}\int 4x\,dx &= \frac{4x^2}{2} \\ &= 2x^2\end{aligned}

מחלקים בחזקה החדשה

F(1)=1+2+C=7 ⇒ C=4\begin{aligned}F(1) &= 1+2+C \\ &= 7 \ \Rightarrow \ C \\ &= 4\end{aligned}

ההמשך נכון

בשורה 2 לא חילקו את 4x24x^2 ב-22. בשורה 3 כבר חישבו נכון, ולכן הסתירה נחשפת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שיפוע המשיק לגרף של ff בכל נקודה הוא 4(x+1)2\frac{4}{(x+1)^2}. הגרף עובר בנקודה (1, 1)(1,\,1). באיזו נקודה הגרף חותך את ציר ה-yy? כתבו את שיעור ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f′(x)=4(x+1)2f'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}

שיפוע המשיק הוא הנגזרת

f(x)=−4x+1+Cf(x)=-\frac{4}{x+1}+C

פונקציה קדומה

f(1)=−2+C=1 ⇒ C=3\begin{aligned}f(1) &= -2+C \\ &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(0)=−4+3=−1\begin{aligned}f(0) &= -4+3 \\ &= -1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy

«שיפוע המשיק» הוא f′f', לא ff. מי שהציב x=0x=0 בשיפוע קיבל 44: זה השיפוע ב-(0,−1)(0,-1), לא הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הפונקציה F(x)=k2x+1F(x)=\frac{k}{2x+1} היא פונקציה קדומה של f(x)=6(2x+1)2f(x)=\frac{6}{(2x+1)^2}. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

F′(x)=−2k(2x+1)2F'(x)=\frac{-2k}{(2x+1)^2}

גוזרים, עם כלל השרשרת

−2k=6 ⇒ k=−3\begin{aligned}-2k &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= -3\end{aligned}

משווים מונים

הפרמטר שלילי: 6(2x+1)2\frac{6}{(2x+1)^2} חיובית, ולכן הקדומה עולה. מי שקיבל k=3k=3 שכח שגזירה של 1u\frac{1}{u} מוסיפה מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe