L’intégrale définie

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כמה שטח יש מתחת לגרף של f(x)=3x2+2xf(x)=3x^2+2x, בין x=1x=1 ל-x=3x=3? אפשר לכסות אותו במלבנים ולחבר את השטחים שלהם. הזיזו את מספר המלבנים.

מה קורה לסכום השטחים של המלבנים כשמגדילים מאוד את מספר המלבנים?

Voir la réponse et le corrigé

הסכום מתקרב לערך קבוע, 3434. זה השטח המדויק, ומחשבים אותו בלי מלבנים, בעזרת פונקציה קדומה.

הנוסחה: הפרש של שני ערכים

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx &= \Big[F(x)\Big]_a^b \\ &= F(b)-F(a)\end{aligned}

FF היא פונקציה קדומה כלשהי של ff. את CC לא צריך: הוא מופיע ב-F(b)F(b) וגם ב-F(a)F(a), ונעלם בחיסור. התוצאה היא מספר, לא פונקציה.

האינטגרל של המלבנים

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2+2x)\,dx.

F(x)=x3+x2F(x)=x^3+x^2

פונקציה קדומה, בלי CC

F(3)=27+9=36\begin{aligned}F(3) &= 27+9 \\ &= 36\end{aligned}

הגבול העליון

F(1)=1+1=2\begin{aligned}F(1) &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

הגבול התחתון

36−2=3436-2=34

עליון פחות תחתון

חשבו את ∫02(x3−2x) dx\int_0^2 (x^3-2x)\,dx. האם התוצאה יכולה להיות שטח?

Voir la réponse et le corrigé

[x44−x2]02=(4−4)−0=0\Big[\frac{x^4}{4}-x^2\Big]_0^2=(4-4)-0=0. זה לא שטח: הגרף יורד מתחת לציר, והחלק השלילי מבטל את החיובי. בזה נטפל ביחידה הבאה.

אינטגרל מסוים של c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}

ריבוע במכנה

חשבו את ∫136(2x−1)2 dx\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx.

F(x)=−62(2x−1)=−32x−1\begin{aligned}F(x) &= -\frac{6}{2(2x-1)} \\ &= -\frac{3}{2x-1}\end{aligned}

הכלל מהיחידה הקודמת, a=2a=2

F(3)=−35F(1)=−31=−3\begin{aligned}F(3) &= -\frac{3}{5} \qquad F(1) \\ &= -\frac{3}{1} \\ &= -3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

−35−(−3)=125=2.4\begin{aligned}-\frac{3}{5}-(-3) &= \frac{12}{5} \\ &= 2.4\end{aligned}

הסוגריים שומרים על הסימן

ארבע תכונות

∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx=0

אין רוחב, אין שטח

∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx

החלפת הגבולות הופכת סימן

∫acf dx=∫abf dx+∫bcf dx\int_a^c f\,dx=\int_a^b f\,dx+\int_b^c f\,dx

אפשר לחלק את הקטע

∫abk f(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b k\,f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx

קבוע יוצא החוצה

כתבו את F(a)F(a) בתוך סוגריים לפני שמחסרים. רוב הטעויות באינטגרל מסוים הן טעויות סימן בשורה האחרונה.

איפה הסימן הולך לאיבוד.

[x2−3x]12=(4−6)−1−3=−6\begin{aligned}\Big[x^2-3x\Big]_1^2 &= (4-6)-1-3 \\ &= -6\end{aligned}
[x2−3x]12=(4−6)−(1−3)=0\begin{aligned}\Big[x^2-3x\Big]_1^2 &= (4-6)-(1-3) \\ &= 0\end{aligned}

בלי סוגריים המינוס פוגע רק במחובר הראשון של F(1)F(1).

∫136(2x−1)2 dx=f(3)−f(1)\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx=f(3)-f(1)
∫136(2x−1)2 dx=F(3)−F(1)\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx=F(3)-F(1)

מציבים בפונקציה הקדומה, לא בפונקציה שבתוך האינטגרל.

∫021(x−1)2 dx=[−1x−1]02=−2\begin{aligned}\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2}\,dx &= \Big[-\frac{1}{x-1}\Big]_0^2 \\ &= -2\end{aligned}

הפונקציה לא מוגדרת ב-x=1x=1, שנמצא בתוך הקטע, ולכן החישוב לא תקף. סימן אזהרה: פונקציה חיובית נתנה תוצאה שלילית.

Exercices

Exercice 1

חשבו את ∫12(6x2−2x) dx\int_1^2 (6x^2-2x)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

F(x)=2x3−x2F(x)=2x^3-x^2

פונקציה קדומה

F(2)=16−4=12F(1)=2−1=1\begin{aligned}F(2) &= 16-4 \\ &= 12 \qquad F(1) \\ &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

12−1=1112-1=11

עליון פחות תחתון

מי שקיבל 1212 שכח לחסר את F(1)F(1): הגבול התחתון הוא לא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫−12(3x2−2) dx\int_{-1}^{2} (3x^2-2)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

F(x)=x3−2xF(x)=x^3-2x

פונקציה קדומה

F(2)=8−4=4\begin{aligned}F(2) &= 8-4 \\ &= 4\end{aligned}

עליון

F(−1)=−1+2=1\begin{aligned}F(-1) &= -1+2 \\ &= 1\end{aligned}

תחתון: (−1)3=−1(-1)^3=-1

4−1=34-1=3

ההפרש

הסכנה בגבול שלילי: −2⋅(−1)=+2-2 \cdot (-1)=+2. מי שכתב F(−1)=−3F(-1)=-3 קיבל 77.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∫014(x+1)2 dx\int_0^1 \frac{4}{(x+1)^2}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

F(x)=−4x+1F(x)=-\frac{4}{x+1}

פונקציה קדומה, a=1a=1

F(1)=−2F(0)=−4\begin{aligned}F(1) &= -2 \qquad F(0) \\ &= -4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

−2−(−4)=2-2-(-4)=2

ההפרש

פונקציה חיובית בקטע נותנת אינטגרל חיובי. מי שקיבל −2-2 טעה בסימן של FF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו ∫253(x−1)2 dx\int_2^5 \frac{3}{(x-1)^2}\,dx?

  1. −4516-\frac{45}{16}
  2. 94\frac{9}{4}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. −94-\frac{9}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 94\frac{9}{4}

Corrigé :

F(x)=−3x−1F(x)=-\frac{3}{x-1}

פונקציה קדומה

F(5)=−34F(2)=−3\begin{aligned}F(5) &= -\frac{3}{4} \qquad F(2) \\ &= -3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

−34+3=94-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}

ההפרש

הנכונה: 94\frac{9}{4}. −94-\frac{9}{4} לוקחת F=+3x−1F=+\frac{3}{x-1}. −4516-\frac{45}{16} מציבה ב-ff עצמה: 316−3\frac{3}{16}-3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון ∫15f(x) dx=8\int_1^5 f(x)\,dx=8 ו-∫13f(x) dx=3\int_1^3 f(x)\,dx=3. חשבו את ∫53f(x) dx\int_5^3 f(x)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

∫35f dx=∫15f dx−∫13f dx=8−3=5\begin{aligned}\int_3^5 f\,dx &= \int_1^5 f\,dx-\int_1^3 f\,dx \\ &= 8-3 \\ &= 5\end{aligned}

חלוקת הקטע

∫53f dx=−5\int_5^3 f\,dx=-5

החלפת הגבולות

שתי תכונות ברצף. מי שעונה 55 לא שם לב שהגבולות הפוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: ∫−22x3 dx=0\int_{-2}^{2} x^3\,dx=0, ולכן השטח בין הגרף של y=x3y=x^3 לציר ה-xx בקטע הזה הוא 00.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

[x44]−22=4−4=0\begin{aligned}\Big[\frac{x^4}{4}\Big]_{-2}^{2} &= 4-4 \\ &= 0\end{aligned}

האינטגרל אכן 00

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

אבל מימין יש שטח 44 מעל הציר

4+4=84+4=8

ומשמאל שטח 44 מתחת לציר

הטענה לא נכונה. האינטגרל הוא 00, אבל השטח הוא 88. אינטגרל סופר שטח מתחת לציר עם מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

השלימו את החישוב של ∫14(2x−1) dx\int_1^4 (2x-1)\,dx, כאשר F(x)=x2−xF(x)=x^2-x.

F(4)=F(4)= ____ , F(1)=F(1)= ____ , האינטגרל: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(4)=F(4)= 12 , F(1)=F(1)= 0 , האינטגרל: 12

Corrigé :

F(4)=16−4=12\begin{aligned}F(4) &= 16-4 \\ &= 12\end{aligned}

עליון

F(1)=1−1=0\begin{aligned}F(1) &= 1-1 \\ &= 0\end{aligned}

תחתון

12−0=1212-0=12

ההפרש

F(1)=0F(1)=0 כאן במקרה, ולכן האינטגרל שווה ל-F(4)F(4). זה לא כלל: בדרך כלל מחסרים מספר שאינו אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון ∫0k(2x+1) dx=12\int_0^k (2x+1)\,dx=12, כאשר k>0k>0. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

[x2+x]0k=k2+k\Big[x^2+x\Big]_0^k=k^2+k

האינטגרל כביטוי ב-kk

k2+k−12=0 ⇒ (k+4)(k−3)=0\begin{aligned}k^2+k-12 &= 0 \ \Rightarrow \ (k+4)(k-3) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

k=3(k=−4 נפסל)k=3 \quad (k=-4 \ \text{נפסל})

לפי הנתון k>0k>0

שני פתרונות למשוואה, ורק אחד מתאים לתנאי. בדיקה: 9+3=129+3=12 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון ∫1k2x2 dx=1.5\int_1^k \frac{2}{x^2}\,dx=1.5, כאשר k>1k>1. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

[−2x]1k=−2k+2\Big[-\frac{2}{x}\Big]_1^k=-\frac{2}{k}+2

עליון פחות תחתון

2−2k=1.5 ⇒ 2k=0.5\begin{aligned}2-\frac{2}{k} &= 1.5 \ \Rightarrow \ \frac{2}{k} \\ &= 0.5\end{aligned}

מבודדים

k=4k=4

בדיקה: 2−0.5=1.52-0.5=1.5 ✓

מי שכתב 2k−2\frac{2}{k}-2 הציב בסדר הפוך וקיבל משוואה בלי פתרון חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו: האם האינטגרל חיובי או שלילי? (בלי לחשב)

  • חיובי
  • שלילי
  • ∫−10x2 dx\int_{-1}^{0} x^2\,dx
  • ∫−3−1x dx\int_{-3}^{-1} x\,dx
  • ∫01(x−2) dx\int_0^1 (x-2)\,dx
  • ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\,dx
  • ∫131x2 dx\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx
  • ∫20(x2+1) dx\int_2^0 (x^2+1)\,dx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\,dx — חיובי · ∫131x2 dx\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx — חיובי · ∫−10x2 dx\int_{-1}^{0} x^2\,dx — חיובי · ∫20(x2+1) dx\int_2^0 (x^2+1)\,dx — שלילי · ∫−3−1x dx\int_{-3}^{-1} x\,dx — שלילי · ∫01(x−2) dx\int_0^1 (x-2)\,dx — שלילי

Corrigé :

x2+1>0∫20=−∫02\begin{aligned}x^2+1>0 \\ \quad \int_2^0 &= -\int_0^2\end{aligned}

גבולות הפוכים

x<0 בקטע [−3,−1]x<0 \ \text{בקטע} \ [-3,-1]

פונקציה שלילית בכל הקטע

x−2<0 בקטע [0,1]x-2<0 \ \text{בקטע} \ [0,1]

גם כאן

שני דברים קובעים את הסימן: הסימן של הפונקציה בקטע, וסדר הגבולות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe