Aire sous une courbe et entre deux courbes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ביחידה הקודמת יצא ∫03(x2−2x) dx=0\int_0^3 (x^2-2x)\,dx=0. אבל תסתכלו על הגרף: יש שם שטח.

y=x2−2xy=x^2-2x בין x=0x=0 ל-x=3x=3
xyS₁S₂230
החלק S1S_1 מתחת לציר, והחלק S2S_2 מעליו. שני החלקים שווים בגודלם, ולכן ∫03(x2−2x) dx=0\int_0^3 (x^2-2x)\,dx=0. אבל השטח האפור אינו אפס.

למה האינטגרל יוצא 00, אף שהשטח האפור אינו ריק?

Voir la réponse et le corrigé

באינטגרל, חלק שמתחת לציר נספר עם מינוס: ∫02=−43\int_0^2=-\frac{4}{3} ו-∫23=+43\int_2^3=+\frac{4}{3}. הם מבטלים זה את זה. השטח הוא 43+43=83\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.

שטח בין גרף לציר ה-xx

f≥0: S=∫abf(x) dxf≤0: S=−∫abf(x) dx\begin{aligned}f \geq 0: \ S &= \int_a^b f(x)\,dx \qquad f \leq 0: \ S \\ &= -\int_a^b f(x)\,dx\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי. כשהגרף חוצה את הציר בתוך הקטע, מחלקים את הקטע בנקודות החיתוך, מחשבים כל חלק לחוד, והופכים את הסימן של כל חלק שמתחת לציר.

11

מוצאים את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx

22

מחלקים את הקטע לחלקים לפי הנקודות

33

מחשבים אינטגרל לכל חלק; לחלק שלילי לוקחים את הערך הנגדי

44

מחברים את השטחים

השטח מהגרף

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−2xy=x^2-2x, ציר ה-xx והישר x=3x=3.

x2−2x=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}x^2-2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים עם הציר

∫02(x2−2x) dx=[x33−x2]02=−43\begin{aligned}\int_0^2 (x^2-2x)\,dx &= \Big[\tfrac{x^3}{3}-x^2\Big]_0^2 \\ &= -\tfrac{4}{3}\end{aligned}

החלק שמתחת לציר

∫23(x2−2x) dx=0−(−43)=43\begin{aligned}\int_2^3 (x^2-2x)\,dx &= 0-\left(-\tfrac{4}{3}\right) \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}

החלק שמעל הציר

S=43+43=83\begin{aligned}S &= \tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3} \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

מחברים ערכים חיוביים

מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של y=4x−x2y=4x-x^2 וציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

החיתוכים: x=0x=0 ו-x=4x=4, והגרף מעל הציר ביניהם. [2x2−x33]04=32−643=323\Big[2x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.

שטח בין שני גרפים

שטח בין פרבולה לישר
xyy = x + 2y = x²−12
בכל xx בין −1-1 ל-22, הגובה של הרצועה הוא הישר פחות הפרבולה.
S=∫ab(f(x)−g(x)) dxf(x)≥g(x) בקטעS=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx \qquad f(x) \geq g(x) \ \text{בקטע}

העליון פחות התחתון. הגבולות aa ו-bb הם שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים, לא של החיתוך עם הציר. זה נכון גם כשחלק מהשטח מתחת לציר ה-xx: ההפרש f−gf-g לא מושפע מהמיקום.

פרבולה וישר

חשבו את השטח המוגבל בין y=x2y=x^2 לבין y=x+2y=x+2.

x2=x+2 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}x^2 &= x+2 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות החיתוך

x=0: 0+2=2>0\begin{aligned}x &= 0: \ 0+2 \\ &= 2>0\end{aligned}

נקודת בדיקה: הישר מעל

∫−12(x+2−x2) dx=[x22+2x−x33]−12\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}

העליון פחות התחתון

=103−(−76)=92=\tfrac{10}{3}-\left(-\tfrac{7}{6}\right)=\tfrac{9}{2}

השטח: 4.54.5

איזה גרף עליון? מציבים נקודה אחת מתוך הקטע בשתי הפונקציות. הגבוהה יותר היא העליונה, בכל הקטע שבין שני חיתוכים סמוכים.

שלוש דרכים לקבל שטח שגוי.

S=∫03(x2−2x) dx=0\begin{aligned}S &= \int_0^3 (x^2-2x)\,dx \\ &= 0\end{aligned}
S=∣∫02∣+∫23=83\begin{aligned}S &= \left|\int_0^2\right|+\int_2^3 \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

לא חילקו בנקודת החיתוך x=2x=2, והחלקים ביטלו זה את זה.

∫−12(x2−x−2) dx=−92\int_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx=-\tfrac{9}{2}
∫−12(x+2−x2) dx=92\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx=\tfrac{9}{2}

התחתון פחות העליון נותן מספר שלילי. שטח שלילי הוא סימן לסדר הפוך.

∫02(x+2−x2) dx\int_{0}^{2} (x+2-x^2)\,dx
∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx

הגבולות באים מהחיתוך בין הגרפים, לא מציר ה-yy.

Exercices

Exercice 1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=9−x2y=9-x^2 וציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

9−x2=0 ⇒ x=±3\begin{aligned}9-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חיתוכים

[9x−x33]−33=18−(−18)\Big[9x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-3}^{3}=18-(-18)

הגרף מעל הציר

S=36S=36

השטח

אפשר גם בסימטריה: 2⋅∫03(9−x2) dx=2⋅182 \cdot \int_0^3 (9-x^2)\,dx=2 \cdot 18. מי שקיבל 1818 לקח רק חצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=3x2−6xy=3x^2-6x וציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

[x3−3x2]02=8−12=−4\begin{aligned}\Big[x^3-3x^2\Big]_0^2 &= 8-12 \\ &= -4\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

S=4S=4

לוקחים את הערך הנגדי

אינטגרל −4-4 הוא לא התשובה: שטח תמיד חיובי. בין השורשים, פרבולה «מחייכת» נמצאת מתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

xy12

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−1y=x^2-1, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−1=0 ⇒ x=1\begin{aligned}x^2-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך בתוך הקטע

∫01(x2−1) dx=13−1=−23\begin{aligned}\int_0^1 (x^2-1)\,dx &= \tfrac{1}{3}-1 \\ &= -\tfrac{2}{3}\end{aligned}

מתחת לציר

∫12(x2−1) dx=23−(−23)=43\begin{aligned}\int_1^2 (x^2-1)\,dx &= \tfrac{2}{3}-\left(-\tfrac{2}{3}\right) \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}

מעל הציר

S=23+43=2\begin{aligned}S &= \tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3} \\ &= 2\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה: ∫02(x2−1) dx=23\int_0^2 (x^2-1)\,dx=\frac{2}{3}, תשובה שגויה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4. איזה ביטוי שווה לשטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=3x=3?

  1. −∫02f(x) dx+∫23f(x) dx-\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx
  2. ∫02f(x) dx+∫23f(x) dx\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx
  3. ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx
  4. −∫03f(x) dx-\int_0^3 f(x)\,dx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −∫02f(x) dx+∫23f(x) dx-\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx

Corrigé :

x2−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

חיתוך בתוך [0,3][0,3]

0<x<2: f<02<x<3: f>00<x<2: \ f<0 \qquad 2<x<3: \ f>0

הסימנים

הנכונה: −∫02f dx+∫23f dx-\int_0^2 f\,dx+\int_2^3 f\,dx. האפשרות האחרונה שווה בדיוק ל-∫03f dx\int_0^3 f\,dx: חלוקה בלי שינוי סימן לא משנה כלום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=2x2y=2x^2 לבין הישר y=2x+4y=2x+4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

2x2=2x+4 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}2x^2 &= 2x+4 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

x=0: 4>0x=0: \ 4>0

הישר עליון

∫−12(2x+4−2x2) dx=[x2+4x−2x33]−12\int_{-1}^{2} (2x+4-2x^2)\,dx=\Big[x^2+4x-\tfrac{2x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}

העליון פחות התחתון

=203−(−73)=9=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac{7}{3}\right)=9

השטח

מי שקיבל −9-9 חיסר את הישר מהפרבולה. הגבולות הם החיתוכים של שני הגרפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: השטח בין y=x2y=x^2 לבין y=x3y=x^3 בקטע 0≤x≤10 \leq x \leq 1 שווה ל-∫01(x3−x2) dx\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=12: 14>18x=\tfrac{1}{2}: \ \tfrac{1}{4}>\tfrac{1}{8}

בקטע x2≥x3x^2 \geq x^3

∫01(x3−x2) dx=14−13=−112\begin{aligned}\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx &= \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{3} \\ &= -\tfrac{1}{12}\end{aligned}

הביטוי שלילי

הטענה לא נכונה. בין 00 ל-11 דווקא x2x^2 עליון, כי חזקה גבוהה של מספר קטן מ-11 קטנה יותר. השטח 112\frac{1}{12}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונים f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x ו-g(x)=xg(x)=x. השלימו.

שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך: ____ ו- ____ ; השטח המוגבל בין הגרפים: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך: 0 ו- 3 ; השטח המוגבל בין הגרפים: 4.5

Corrigé :

x2−2x=x ⇒ x2−3x=0 ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}x^2-2x &= x \ \Rightarrow \ x^2-3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוכים

x=1: g=1>f=−1\begin{aligned}x &= 1: \ g \\ &= 1>f \\ &= -1\end{aligned}

הישר עליון

∫03(3x−x2) dx=272−9=4.5\begin{aligned}\int_0^3 (3x-x^2)\,dx &= \tfrac{27}{2}-9 \\ &= 4.5\end{aligned}

השטח

חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה-xx, ובכל זאת אין צורך לחלק: ההפרש g−fg-f חיובי בכל הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=4x2y=\frac{4}{x^2}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

[−4x]14=−1−(−4)\Big[-\tfrac{4}{x}\Big]_1^4=-1-(-4)

הגרף מעל הציר

S=3S=3

השטח

הפונקציה חיובית בכל הקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=8(x+1)2y=\frac{8}{(x+1)^2}, הצירים והישר x=3x=3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

F(x)=−8x+1F(x)=-\frac{8}{x+1}

פונקציה קדומה

F(3)−F(0)=−2−(−8)=6\begin{aligned}F(3)-F(0) &= -2-(-8) \\ &= 6\end{aligned}

מציר ה-yy עד x=3x=3

«הצירים» נותנים את הגבול x=0x=0 ואת הגבול התחתון של השטח, y=0y=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x3y=x^3, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.25

Corrigé :

∫−10x3 dx=−14\int_{-1}^{0} x^3\,dx=-\tfrac{1}{4}

מתחת לציר

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

מעל הציר

S=14+4=4.25\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+4 \\ &= 4.25\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה: ∫−12x3 dx=3.75\int_{-1}^{2} x^3\,dx=3.75. ההפרש, 0.50.5, הוא פעמיים החלק שמתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe