Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות, כל אחת עם שניים או שלושה צעדים: שטח בין שני ערכים, חישוב הפוך של סף, של סטיית התקן ושל הממוצע, הסתברות מותנית, שני אנשים, השוואה בציוני תקן, ושינוי של כל הנתונים.

בכל חישוב הפוך: בדקו את הסימן של zz לפני שמציבים. בכל «מתוך אלה ש…»: כתבו מה המונה ומה המכנה.

Exercices

Exercice 1

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070 וסטיית תקן 1010. איזה אחוז מהתלמידים קיבלו בין 6262 ל-8585? נתון: Φ(0.8)=0.7881\Phi(0.8)=0.7881, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72.13

Corrigé :

z1=−0.8 ⇒ Φ(−0.8)=0.2119\begin{aligned}z_1 &= -0.8 \ \Rightarrow \ \Phi(-0.8) \\ &= 0.2119\end{aligned}

הגבול התחתון

z2=1.5 ⇒ Φ(1.5)=0.9332\begin{aligned}z_2 &= 1.5 \ \Rightarrow \ \Phi(1.5) \\ &= 0.9332\end{aligned}

הגבול העליון

0.9332−0.2119=0.72130.9332-0.2119=0.7213

ההפרש

מי שחיסר 0.9332−0.78810.9332-0.7881 שכח שהגבול התחתון מתחת לממוצע: צריך Φ(−0.8)\Phi(-0.8), לא Φ(0.8)\Phi(0.8).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ציוני מבחן מיון מתפלגים נורמלית עם ממוצע 500500 וסטיית תקן 100100. 15%15\% מהנבחנים, בעלי הציונים הגבוהים, מתקבלים. מהו ציון הקבלה הנמוך ביותר? נתון: Φ(1.04)=0.8508\Phi(1.04)=0.8508. עגלו למספר שלם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 604

Corrigé :

P(X<x)=0.85 ⇒ z≈1.04P(X<x)=0.85 \ \Rightarrow \ z \approx 1.04

הערך הקרוב ביותר בטבלה

x=500+1.04⋅100=604\begin{aligned}x &= 500+1.04 \cdot 100 \\ &= 604\end{aligned}

הסף

מחפשים בטבלה את 0.850.85 — השטח משמאל לסף — ולא את 0.150.15.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

זמן ההכנה של מנה במסעדה מתפלג נורמלית עם ממוצע 2424 דקות. 9.68%9.68\% מהמנות מוכנות אחרי יותר מ-3030 דקות. מהי סטיית התקן (בדקות)? נתון: Φ(1.3)=0.9032\Phi(1.3)=0.9032. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.615

Corrigé :

P(X<30)=1−0.0968=0.9032 ⇒ z=1.3\begin{aligned}P(X<30) &= 1-0.0968 \\ &= 0.9032 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.3\end{aligned}

השטח משמאל

1.3=30−24σ ⇒ σ=61.3≈4.62\begin{aligned}1.3 &= \frac{30-24}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= \frac{6}{1.3} \approx 4.62\end{aligned}

On résout

סטיית התקן לא חייבת לצאת מספר שלם. מי שכפל 6⋅1.36 \cdot 1.3 הפך את המשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אורך עלים של צמח מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 0.80.8 ס״מ. 72.57%72.57\% מהעלים קצרים מ-55 ס״מ. מהו הממוצע (בס״מ)? נתון: Φ(0.6)=0.7257\Phi(0.6)=0.7257. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.52

Corrigé :

Φ(z)=0.7257 ⇒ z=0.6\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.7257 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.6\end{aligned}

יותר מחצי משמאל: zz חיובי

5=μ+0.6⋅0.8 ⇒ μ=4.52\begin{aligned}5 &= \mu+0.6 \cdot 0.8 \ \Rightarrow \ \mu \\ &= 4.52\end{aligned}

On résout

55 מעל הממוצע, ולכן הממוצע קטן מ-55. מי שקיבל 5.485.48 טעה בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070 וסטיית תקן 1010. מתוך התלמידים שקיבלו פחות מ-7070, איזה אחוז קיבלו פחות מ-6262? נתון: Φ(0.8)=0.7881\Phi(0.8)=0.7881. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 42.38

Corrigé :

P(X<62)=1−0.7881=0.2119\begin{aligned}P(X<62) &= 1-0.7881 \\ &= 0.2119\end{aligned}

החיתוך

P(X<70)=0.5P(X<70)=0.5

התנאי

0.21190.5=0.4238\frac{0.2119}{0.5}=0.4238

מחלקים

42.38%42.38\%. המונה הוא P(X<62)P(X<62) כי כל מי שמתחת ל-6262 הוא גם מתחת ל-7070.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

משקל תיקי גב של תלמידים מתפלג נורמלית עם ממוצע 77 ק״ג וסטיית תקן 0.80.8 ק״ג. בוחרים באקראי שני תלמידים, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם סוחב יותר מ-88 ק״ג? נתון: Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

z=8−70.8=1.25 ⇒ P(X<8)=0.8944\begin{aligned}z &= \frac{8-7}{0.8} \\ &= 1.25 \ \Rightarrow \ P(X<8) \\ &= 0.8944\end{aligned}

תלמיד אחד

1−0.89442≈0.201-0.8944^2 \approx 0.20

המשלים של «שניהם לא»

בערך 0.200.20. מי שחיבר 0.1056+0.10560.1056+0.1056 ספר פעמיים את המקרה ששניהם סוחבים יותר מ-88.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שלושה ספורטאים באותה אגודה. אביב קפץ לרוחק 6.26.2 מ׳ (ממוצע האגודה 5.85.8, סטיית תקן 0.250.25). בר קפץ לגובה 1.851.85 מ׳ (ממוצע 1.701.70, סטיית תקן 0.10.1). גל רץ 100100 מ׳ ב-11.911.9 שניות (ממוצע 12.512.5, סטיית תקן 0.40.4). מי השיג את התוצאה הטובה ביותר ביחס לאגודה?

  1. בר
  2. לבר ולגל אותה תוצאה יחסית, והיא הטובה ביותר
  3. אביב
  4. גל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C אביב

Corrigé :

zA=6.2−5.80.25=1.6\begin{aligned}z_A &= \frac{6.2-5.8}{0.25} \\ &= 1.6\end{aligned}

אביב

zB=1.85−1.700.1=1.5\begin{aligned}z_B &= \frac{1.85-1.70}{0.1} \\ &= 1.5\end{aligned}

בר

zG=11.9−12.50.4=−1.5\begin{aligned}z_G &= \frac{11.9-12.5}{0.4} \\ &= -1.5\end{aligned}

גל: זמן קצר הוא תוצאה טובה

הנכונה: אביב. בריצה zz שלילי הוא טוב, ולכן גל שקול ל-1.51.5 — כמו בר, פחות מאביב. מי שבחר «גל» השווה את המספרים הגולמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

משקל כבשים בחווה מתפלג נורמלית עם ממוצע 8080 ק״ג וסטיית תקן 66 ק״ג. אחרי חודש, המשקל של כל כבשה גדל ב-5%5\%. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ; סטיית התקן החדשה: ____ ; אחוז הכבשים בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו: ____ %

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע החדש: 84 ; סטיית התקן החדשה: 6.3 ; אחוז הכבשים בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו: 34.13 %

Corrigé :

μ=1.05⋅80=84\begin{aligned}\mu &= 1.05 \cdot 80 \\ &= 84\end{aligned}

כפל ב-1.051.05

σ=1.05⋅6=6.3\begin{aligned}\sigma &= 1.05 \cdot 6 \\ &= 6.3\end{aligned}

גם סטיית התקן מוכפלת

34.13%34.13\%

ציוני התקן לא משתנים

בכפל גם סטיית התקן משתנה (לא כמו בתוספת), אבל האחוז בין μ\mu ל-μ+σ\mu+\sigma נשאר תמיד 34.13%34.13\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בעיר 1,2001{,}200 מתנדבים. הגובה שלהם מתפלג נורמלית עם ממוצע 165165 ס״מ וסטיית תקן 1010 ס״מ. כמה מתנדבים, בקירוב, גובהם בין 150150 ל-175175 ס״מ? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. עגלו למספר שלם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 929

Corrigé :

Φ(1)−Φ(−1.5)=0.8413−0.0668=0.7745\begin{aligned}\Phi(1)-\Phi(-1.5) &= 0.8413-0.0668 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח בין z=−1.5z=-1.5 ל-z=1z=1

1200⋅0.7745=929.41200 \cdot 0.7745=929.4

מאחוז לכמות

בערך 929929. עיגול של כמות נעשה בסוף, לא באמצע החישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לשתי קבוצות אותו ממוצע 6060, ובקבוצה ב סטיית התקן גדולה יותר. אז בקבוצה ב אחוז גדול יותר של תצפיות גדולות מ-7070.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

z=70−60σz=\frac{70-60}{\sigma}

סטיית תקן גדולה יותר ← zz קטן יותר

1−Φ(z)1-\Phi(z)

ו-zz קטן יותר ← זנב ימני גדול יותר

נכון. בפעמון רחב, 7070 קרוב יותר לממוצע בסטיות תקן, ולכן יותר תצפיות עוברות אותו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe