Série 2 — moyen · Pré-analyse · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: קיצון וקבוצת ערכים של $\frac{1}{f}$ , מפגש בין $f$ ל- $\frac{1}{f}$ , דוגמה נגדית על עלייה וירידה, הזזת אסימפטוטות, $|f|=c$ ופרמטר אחד.

כשהפרבולה במכנה, שלושה מספרים עונים כמעט על הכול: שני האפסים (אסימפטוטות) והקודקוד (קיצון). מצאו אותם לפני שאתם קוראים את השאלה עד הסוף.

Exercices

Exercice 1

נתונה $g(x)=\frac{1}{x^2-x-12}$ . השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: $x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטות אנכיות: $x=$ -3 ו- $x=$ 4 (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון: 0.5

Corrigé :

x^2-x-12=(x-4)(x+3)

האפסים

\begin{aligned}x_v &= \frac{1}{2} \\ &= 0.5\end{aligned}

קודקוד המכנה

שיעור ה- $x$ של הקיצון של $g$ הוא שיעור ה- $x$ של קודקוד המכנה. הוא נמצא בדיוק באמצע בין שתי האסימפטוטות: $\frac{-3+4}{2}=0.5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $g(x)=\frac{1}{x^2+6x+13}$ . קבוצת הערכים של $g$ היא $0<y \leq c$ . מצאו את $c$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

x^2+6x+13=(x+3)^2+4

השלמה לריבוע

\begin{aligned}\min &= 4 \Rightarrow \max g \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המינימום של המכנה

c=0.25

הערך הגדול ביותר

המכנה חיובי תמיד ( $\Delta=36-52<0$ ), ולכן $g>0$ . הערך הגדול ביותר הוא ההופכי של הערך הקטן ביותר של המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפונקציה $g=\frac{1}{f}$ שלילית בדיוק בתחום $1<x<5$ , ובשאר תחום ההגדרה שלה חיובית. איזו מהפונקציות יכולה להיות $f$ ?

$f(x)=(x-1)(x-5)$
$f(x)=-(x-1)(x-5)$
$f(x)=(x-3)^2$
$f(x)=(x+1)(x+5)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $f(x)=(x-1)(x-5)$

Corrigé :

(x-1)(x-5)<0 \Leftrightarrow 1<x<5

פרבולה פתוחה למעלה: שלילית בין האפסים

\text{sign}\,g=\text{sign}\,f

אותו סימן

הנכונה: $(x-1)(x-5)$ . $-(x-1)(x-5)$ חיובית בין $1$ ל- $5$ , הפוך ממה שצריך. $(x-3)^2$ אינה שלילית בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה $f(x)=x^2-3$ . בכמה נקודות נפגשים הגרפים של $f$ ושל $\frac{1}{f}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}f &= 1 \Rightarrow x^2 \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שתי נקודות

\begin{aligned}f &= -1 \Rightarrow x^2 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{2}\end{aligned}

עוד שתיים

ארבע נקודות. מי שפותר רק $f=1$ מוצא שתיים ושוכח ש- $-1$ הוא גם מספר ששווה להופכי שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אם $f$ עולה בכל התחום $0<x<4$ , אז $g=\frac{1}{f}$ יורדת בכל התחום $0<x<4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x-2

דוגמה נגדית: עולה ב- $0<x<4$

\begin{aligned}g(1) &= -1 \\ \quad g(3) &= 1\end{aligned}

$g$ עלתה מ- $1$ ל- $3$

x=2 \notin D_g

באמצע הקטע יש אסימפטוטה

הטענה לא נכונה. הכלל « $f$ עולה ⇐ $g$ יורדת» נכון רק בקטע שבו $f$ אינה מתאפסת. אפס באמצע שובר את הקטע לשניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לפונקציה $f$ שני אפסים: $x=-2$ ו- $x=1$ . היכן נמצאות האסימפטוטות האנכיות של $h(x)=\frac{1}{f(x-3)}$ ?

$x=-2$ ו- $x=1$
$x=-6$ ו- $x=3$
$x=1$ ו- $x=4$
$x=-5$ ו- $x=-2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x=1$ ו- $x=4$

Corrigé :

\begin{aligned}x-3 &= -2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

האפס הראשון

\begin{aligned}x-3 &= 1 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

האפס השני

הנכונה: $x=1$ ו- $x=4$ : הזזה של $3$ ימינה. $x=-5$ ו- $x=-2$ הם הזזה שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

עבור איזה ערך של $c$ יש למשוואה $|x^2-8x+12|=c$ בדיוק שלושה פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}x_v &= 4 \\ \ f(4) &= 16-32+12 \\ &= -4\end{aligned}

הקודקוד

\begin{aligned}c &= |{-4}| \\ &= 4\end{aligned}

גובה הכיפה

שלושה פתרונות מתקבלים רק כשהישר נוגע בקצה הכיפה של $|f|$ . $c=12$ הוא $f(0)$ , ואין לו קשר לכיפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $f(x)=x^2+2x-8$ ו- $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . מיינו את הקטעים: באילו $g$ עולה ובאילו $g$ יורדת?

$g$ עולה
$g$ יורדת

$-1<x<2$
$-4<x<-1$
$x<-4$
$x>2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x<-4$ — $g$ עולה · $-4<x<-1$ — $g$ עולה · $-1<x<2$ — $g$ יורדת · $x>2$ — $g$ יורדת

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= (x+4)(x-2) \\ \ x_v &= -1\end{aligned}

אפסים וקודקוד

x<-1: \ f \searrow \Rightarrow g \nearrow

משני צדי $x=-4$

x>-1: \ f \nearrow \Rightarrow g \searrow

משני צדי $x=2$

ארבעה קטעים: הקודקוד $x=-1$ ושתי האסימפטוטות $x=-4$ , $x=2$ מחלקים את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של $y=\frac{a}{x-2}+1$ עובר בנקודה $(4,\,3)$ . השלימו.

$a=$ ____ ; נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 4 ; נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ -1

Corrigé :

\begin{aligned}3 &= \frac{a}{2}+1 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}y(0) &= \frac{4}{-2}+1 \\ &= -1\end{aligned}

מציבים $x=0$

בחיתוך עם ציר ה- $y$ המכנה הוא $0-2=-2$ , שלילי. מי שמקבל $3$ איבד את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מה נכון לגבי $g(x)=\frac{1}{x^2-6x+9}$ ?

שתי אסימפטוטות אנכיות, $x=\pm 3$
אסימפטוטה אנכית אחת, $x=3$ , ו- $g$ חיובית בכל תחום ההגדרה
אסימפטוטה אנכית $x=3$ , ו- $g$ שלילית משמאל לה
אין אסימפטוטה אנכית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אסימפטוטה אנכית אחת, $x=3$ , ו- $g$ חיובית בכל תחום ההגדרה

Corrigé :

x^2-6x+9=(x-3)^2

ריבוע שלם

(x-3)^2>0 ,\ x \neq 3

חיובי מחוץ לאפס

הנכונה: אסימפטוטה אחת ו- $g>0$ . הפרבולה $(x-3)^2$ רק נוגעת בציר, ולכן אינה מחליפה סימן, וגם $g$ לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev