Probabilité conditionnelle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מטילים קובייה. P(6)=16P(6) = \frac{1}{6}. ועכשיו לוחשים לנו: «יצא מספר זוגי». העולם הצטמק — במקום שש תוצאות נשארו שלוש: 2, 4, 6. בעולם המצומק, ההסתברות ל-6 היא 13\frac{1}{3}. מידע משנה הסתברות, וזה טבעי לגמרי.

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

קוראים: ההסתברות של A בהינתן B. המכנה הוא העולם החדש — B.

הקובייה, דרך הנוסחה

A = «יצא 6», B = «יצא זוגי».

P(A∩B)=P(6)=16\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(6) \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

«שש וגם זוגי» זה פשוט «שש»

P(B)=36=12\begin{aligned}P(B) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
P(A∣B)=1/61/2=13\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{1/6}{1/2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

בדיוק מה שראינו בספירה ישירה

מטילים קובייה. בהינתן שיצא יותר מ-3, מה ההסתברות שיצא 6?

Voir la réponse et le corrigé

העולם החדש: {4, 5, 6}. שלוש תוצאות שוות סיכוי, אחת מהן 6 — 13\frac{1}{3}.

הנוסחה עובדת גם הפוך — לפעמים נתונה המותנית ומחפשים את החיתוך. מסדרים מחדש: P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B). זה בדיוק כלל הכפל של העץ: ההסתברות של הענף השני תלויה במה שקרה בראשון.

בקופסה 4 סוללות, אחת ריקה. מוציאים שתיים בזו אחר זו בלי החזרה. מה ההסתברות שהריקה תצא שנייה?

Voir la réponse et le corrigé

צריך: הראשונה תקינה וגם השנייה ריקה. 34×13=14\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} — הענף השני חושב בעולם של שלוש סוללות שנשארו.

המלכודת המפורסמת.

P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B) = P(B \mid A)
שני מכנים שונים\text{שני מכנים שונים}

ההסתברות שגשם בהינתן עננים איננה ההסתברות לעננים בהינתן גשם. המונה משותף — המכנה קובע.

Exercices

Exercice 1

מטילים קובייה הוגנת. בהינתן שיצא מספר זוגי, מה ההסתברות שיצא 2? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.33

Corrigé :

{2,4,6}\{2, 4, 6\}

העולם החדש — שלוש תוצאות

13≈0.33\frac{1}{3} \approx 0.33
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מטילים קובייה. בהינתן שיצא לכל היותר 4, מה ההסתברות שיצא 1? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
14=0.25\frac{1}{4} = 0.25
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

P(A∣B)=0.20.5=0.4\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.5} \\ &= 0.4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון P(A∣B)=0.6P(A \mid B) = 0.6 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∩B)P(A \cap B)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)=0.5⋅0.6=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(B) \cdot P(A \mid B) \\ &= 0.5 \cdot 0.6 \\ &= 0.3\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקופסה 4 סוללות ואחת מהן ריקה. מוציאים שתיים בלי החזרה. מה ההסתברות ששתיהן תקינות? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

34×23=612=12\begin{aligned}\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הענף השני — בעולם של שלוש נותרות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכד 5 כדורים: 2 לבנים ו-3 שחורים. מוציאים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לשני לבנים? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1

Corrigé :

25×14=220=0.1\begin{aligned}\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} &= \frac{2}{20} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחרי לבן ראשון נשאר לבן אחד מתוך ארבעה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בכיתה 25 תלמידים, 10 מהם בחוג רובוטיקה, ו-6 מתוך העשרה גם בחוג שחמט. בחרו תלמיד מחוג הרובוטיקה — מה ההסתברות שהוא גם בשחמט? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

610=0.6\frac{6}{10} = 0.6

העולם: עשרת הרובוטיקאים בלבד

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מטילים שתי קוביות. בהינתן שסכומן 8, מה ההסתברות ששתיהן שוות? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

חמישה צירופים שסכומם 8

15=0.2\frac{1}{5} = 0.2

רק (4,4) שווה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.4P(B) = 0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B) = 0.7. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

P(A∩B)=0.5+0.4−0.7=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5 + 0.4 - 0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

נוסחת האיחוד

P(A∣B)=0.20.4=0.5\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.4} \\ &= 0.5\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

העננים מקדימים גשם. איזו טענה נכונה בהכרח?

  1. שתי המותניות שוות
  2. בהינתן גשם, סביר שהיו עננים
  3. עננים גורמים גשם
  4. בהינתן עננים, סביר שירד גשם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B בהינתן גשם, סביר שהיו עננים

Corrigé :

P(ענן∣גשם)≠P(גשם∣ענן)P(\text{ענן} \mid \text{גשם}) \ne P(\text{גשם} \mid \text{ענן})

רוב ימי העננים בכלל בלי גשם — אבל כמעט כל גשם בא עם עננים. שני הכיוונים חיים חיים נפרדים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe