Dépendance et indépendance

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה שאחד קרה לא משנה את הסיכוי של השני: P(A∣B)=P(A)P(A \mid B) = P(A). שתי הטלות מטבע — בלתי תלויות: המטבע לא זוכר. שתי שליפות קלף בלי החזרה — תלויות: הקלף הראשון חסר בחפיסה.

AB בלתי תלויים  ⟺  P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\begin{aligned}A \\ B \ \text{בלתי תלויים} \iff P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B)\end{aligned}

זה המבחן המעשי: כופלים את שתי ההסתברויות ומשווים לחיתוך הנתון.

בדיקת אי-תלות במספרים

נתון: P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.4P(B) = 0.4, P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2.

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}
0.2=P(A∩B)0.2 = P(A \cap B)

שווה — בלתי תלויים

ואם היה נתון P(A∩B)=0.3P(A \cap B) = 0.3?

Voir la réponse et le corrigé

אז 0.3≠0.20.3 \ne 0.2 — תלויים. ומכיוון ש-P(A∣B)=0.30.4=0.75>0.5P(A \mid B) = \frac{0.3}{0.4} = 0.75 > 0.5, המאורע B «מעודד» את A.

עם החזרה, בלי החזרה

זו ההבחנה שחוזרת בכל שאלה: שליפה עם החזרה מחזירה את העולם לקדמותו — השליפות בלתי תלויות, וההסתברות זהה בכל שלב. שליפה בלי החזרה משנה את העולם — בענף השני של העץ המכנה קטן באחד.

בכד 3 אדומים ו-2 כחולים. מה ההסתברות לשני אדומים — עם החזרה, ובלי?

Voir la réponse et le corrigé

עם החזרה: 35⋅35=925\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}. בלי: 35⋅24=310\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} — קטן יותר, כי האדום הראשון כבר לא בכד.

מה אי-תלות איננה.

זרים=בלתי תלויים\text{זרים} = \text{בלתי תלויים}
זרים⇒תלויים מאוד\text{זרים} \Rightarrow \text{תלויים מאוד}

מאורעות זרים לא יכולים לקרות יחד — אם A קרה, B בטוח לא. זו תלות חזקה, לא אי-תלות: P(A∩B)=0≠P(A)P(B)P(A \cap B) = 0 \ne P(A) P(B).

Exercices

Exercice 1

נתון P(A)=0.3P(A) = 0.3, P(B)=0.6P(B) = 0.6, P(A∩B)=0.18P(A \cap B) = 0.18. האם A ו-B בלתי תלויים?

  1. לא
  2. רק אם הם זרים
  3. Impossible de savoir
  4. כן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כן

Corrigé :

0.3⋅0.6=0.18=P(A∩B)\begin{aligned}0.3 \cdot 0.6 &= 0.18 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המבחן מתקיים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.2P(B) = 0.2, P(A∩B)=0.15P(A \cap B) = 0.15. האם A ו-B בלתי תלויים?

  1. כן
  2. Impossible de savoir
  3. לא
  4. רק אם A מכיל את B
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא

Corrigé :

0.5⋅0.2=0.1≠0.150.5 \cdot 0.2 = 0.1 \ne 0.15

החיתוך גדול מהמכפלה — B מעודד את A

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

A ו-B בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A) = 0.4 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∩B)P(A \cap B)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

0.4⋅0.5=0.20.4 \cdot 0.5 = 0.2

באי-תלות החיתוך הוא פשוט המכפלה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

A ו-B בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A) = 0.4 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B) = 0.1. מהו P(B)P(B)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

P(B)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בכד 3 אדומים ו-2 כחולים. שולפים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לשני אדומים? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

35×24=620=0.3\begin{aligned}\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} &= \frac{6}{20} \\ &= 0.3\end{aligned}

השליפה השנייה בעולם של ארבעה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מכונה א' מתקלקלת ביום נתון בהסתברות 0.1, ומכונה ב' — 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שהיום שתיהן יתקלקלו? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.02

Corrigé :

0.1⋅0.2=0.020.1 \cdot 0.2 = 0.02
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

באותם נתונים: מה ההסתברות שהיום אף אחת לא תתקלקל? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

המשלימים גם הם בלתי תלויים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באותם נתונים: מה ההסתברות שלפחות אחת תתקלקל? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28

Corrigé :

1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28

המשלים של «אף אחת»

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

A ו-B זרים (לא יכולים לקרות יחד), ו-P(A),P(B)>0P(A), P(B) > 0. האם הם בלתי תלויים?

  1. כן — זה אותו דבר
  2. תלוי במספרים
  3. רק אם שניהם קטנים מחצי
  4. לא — זרות היא תלות חזקה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא — זרות היא תלות חזקה

Corrigé :

P(A∩B)=0≠P(A)⋅P(B)>0P(A \cap B) = 0 \ne P(A) \cdot P(B) > 0

אם A קרה, B נפסל מיד — הידיעה שינתה הכול. זרות ואי-תלות הן כמעט הפכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

קולע חופשי מצליח בהסתברות 0.7, זריקות בלתי תלויות. מה ההסתברות שיצליח בדיוק בשתיים משלוש זריקות? (עגלו לשלוש ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.441

Corrigé :

3⋅0.72⋅0.33 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3

שלושה מסלולים: ההחטאה בזריקה 1, 2 או 3

3⋅0.49⋅0.3=0.4413 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 0.441
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe