On résout ensemble · Probabilités · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של שאלון 35471: עץ עם הסתברות מותנית «הפוכה», טבלה דו-ממדית, הוצאה בלי החזרה עם נעלם $x$ , ואי-תלות עם «לפחות אחד». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל סעיף שאלו: מהו העולם (המכנה)? «מבין ה...», «בהינתן ש...», «ידוע ש...» מצמצמים את העולם. בלי מילים כאלה העולם הוא כל האוכלוסייה.

1 — עץ, הסתברות שלמה ובייס

Activité interactive

בספרייה עירונית 60% מהמנויים הם תלמידים והשאר מבוגרים. 70% מהתלמידים ו-20% מהמבוגרים שאלו החודש ספר דיגיטלי. בוחרים מנוי באקראי. א. מה ההסתברות שהוא שאל ספר דיגיטלי? ב. ידוע שהמנוי שאל ספר דיגיטלי. מה ההסתברות שהוא תלמיד? ג. ידוע שהמנוי לא שאל ספר דיגיטלי. מה ההסתברות שהוא מבוגר? ד. בוחרים שני מנויים. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם שאל ספר דיגיטלי?

\begin{aligned}P(T) &= 0.6 \\ \quad P(D \mid T) &= 0.7 \\ \quad P(D \mid \bar{T}) &= 0.2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». העץ: בשלב הראשון תלמיד או מבוגר, בשלב השני דיגיטלי או לא.

עץ

\begin{aligned}P(\bar{T}) &= 0.4 \\ \quad P(\bar{D} \mid T) &= 0.3 \\ \quad P(\bar{D} \mid \bar{T}) &= 0.8\end{aligned}

משלימים כל נקודת פיצול ל-1.

א.

\begin{aligned}P(D) &= 0.6 \cdot 0.7+0.4 \cdot 0.2 \\ &= 0.42+0.08 \\ &= 0.5\end{aligned}

שני מסלולים מגיעים ל«דיגיטלי»: מחברים.

ב.

\begin{aligned}P(T \mid D) &= \frac{P(T \cap D)}{P(D)} \\ &= \frac{0.42}{0.5} \\ &= 0.84\end{aligned}

העולם החדש: מי ששאל ספר דיגיטלי.

ג.

\begin{aligned}P(\bar{T} \mid \bar{D}) &= \frac{0.4 \cdot 0.8}{1-0.5} \\ &= \frac{0.32}{0.5} \\ &= 0.64\end{aligned}

העולם: מי שלא שאל, $P(\bar{D})=0.5$ .

ד.

2 \cdot 0.5 \cdot 0.5=0.5

«בדיוק אחד»: הראשון כן והשני לא, או להפך. שני סדרים.

בסעיף ב הנתון $0.7$ הוא $P(D \mid T)$ , והשאלה על $P(T \mid D)$ . אלה שני מספרים שונים: $0.7$ ו- $0.84$ .

Faire l'activité sur elev

האם המאורעות «המנוי תלמיד» ו«המנוי שאל ספר דיגיטלי» בלתי תלויים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $P(T)=0.6$ אבל $P(T \mid D)=0.84$ : הידיעה שהמנוי שאל ספר דיגיטלי משנה את הסיכוי שהוא תלמיד. אפשר לבדוק גם במכפלה: $0.6 \cdot 0.5=0.3 \neq 0.42$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה, ושאלה 5 בודקת טענה על אותם נתונים.

2 — טבלה דו-ממדית

איך מגיעים לבית הספר (200 תלמידים)

	אוטובוס	אופניים	ברגל	סך הכול
בנים	40	30	30	100
בנות	50	10	40	100
סך הכול	90	40	70	200

Activité interactive

מי מגיע ברגל?

הטבלה מתארת איך מגיעים 200 תלמידי שכבה לבית הספר. בוחרים באקראי תלמיד שמגיע ברגל. מה ההסתברות שהוא בן?

$\frac{3}{10}$

$0.15$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{7}$

מהו העולם בשאלה הזאת?

כל 200 התלמידים

Voir la réponse et le corrigé

«תלמיד שמגיע ברגל» כבר ידוע. העולם הצטמצם.

70 התלמידים שמגיעים ברגל

Voir la réponse et le corrigé

העמודה «ברגל» היא המכנה.

100 הבנים

Voir la réponse et le corrigé

זה העולם של $P(\text{ברגל} \mid \text{בן})$ , השאלה ההפוכה.

30+40=70

סכום העמודה «ברגל».

כמה מתוכם בנים?

Voir la réponse et le corrigé

המשבצת בשורה «בנים» ובעמודה «ברגל».

Voir la réponse et le corrigé

זה מספר הבנים בכל השכבה, לא בתוך העמודה.

\begin{aligned}P(\text{בן} \mid \text{ברגל}) &= \frac{30}{70} \\ &= \frac{3}{7}\end{aligned}

המשבצת חלקי סכום העמודה.

Voir la réponse et le corrigé

התשובה: $\frac{3}{7}$ . $\frac{3}{10}$ הוא $\frac{30}{100}$ : ההסתברות שבן מגיע ברגל. $0.15$ הוא $\frac{30}{200}$ : ההסתברות לבן וגם ברגל. $\frac{1}{2}$ הוא אחוז הבנים בכל השכבה.

Faire l'activité sur elev

לפי הטבלה, האם המאורעות «התלמיד בן» ו«התלמיד מגיע באופניים» בלתי תלויים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $P(\text{בן})=\frac{100}{200}=0.5$ ו- $P(\text{אופניים})=\frac{40}{200}=0.2$ . המכפלה $0.1$ , אבל $P(\text{בן} \cap \text{אופניים})=\frac{30}{200}=0.15$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — בלי החזרה, עם נעלם $x$

Activité interactive

בקופסה 3 כדורים לבנים ו- $x$ כדורים שחורים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הכדורים לבנים היא $\frac{1}{5}$ . א. מצאו את $x$ . ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג. ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות שהם לבנים?

\begin{aligned}P(\text{2 לבנים}) &= \frac{3}{x+3} \cdot \frac{2}{x+2} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בשליפה השנייה בקופסה כדור אחד פחות: גם המונה וגם המכנה קטנים.

א. משוואה

\begin{aligned}\frac{6}{(x+3)(x+2)} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ (x+3)(x+2) \\ &= 30\end{aligned}

כפל בהצלבה.

א.

\begin{aligned}x^2+5x-24 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -8\end{aligned}

$x$ הוא מספר כדורים, ולכן $x=3$ . בקופסה 6 כדורים.

ב.

\begin{aligned}\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}+\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} &= \frac{6}{30}+\frac{6}{30} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

לבן-לבן או שחור-שחור.

ג.

\frac{6/30}{12/30}=\frac{1}{2}

המונה: לבן-לבן. המכנה: התשובה של סעיף ב.

המשוואה הריבועית היא הצעד שחוזר בבגרות: הסתברות נתונה, ומספר הכדורים נעלם.

Faire l'activité sur elev

ואם היו מוציאים את שני הכדורים עם החזרה, מה הייתה ההסתברות לשני לבנים (עם $x=3$ )?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$ . עם החזרה העולם לא משתנה, והשליפות בלתי תלויות. בלי החזרה יוצא $\frac{1}{5}$ , פחות: הלבן הראשון חסר בשליפה השנייה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — אי-תלות ו«לפחות אחד»

Activité interactive

שני חיישנים

בחממה שני חיישנים שבודקים אם האדמה יבשה. הם פועלים באופן בלתי תלוי. החיישן הראשון מתריע ביום נתון בהסתברות $0.4$ . ההסתברות שלפחות אחד מהם מתריע היא $0.7$ . מה ההסתברות שהחיישן השני מתריע?

$0.3$

$0.5$

$0.75$

$0.28$

איך הכי קל לתרגם «לפחות אחד»?

$0.4+p=0.7$

Voir la réponse et le corrigé

החיבור סופר פעמיים את היום שבו שניהם מתריעים.

דרך המשלים: אף אחד לא מתריע

Voir la réponse et le corrigé

«לפחות אחד» הוא ההפך של «אף אחד».

1-0.7=0.3

המאורע המשלים.

מה ההסתברות שאף אחד לא מתריע, בעזרת $p$ ?

$0.6(1-p)$

Voir la réponse et le corrigé

שני הלא-מתריעים, והם בלתי תלויים: כופלים.

$0.6-p$

Voir la réponse et le corrigé

«גם וגם» של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

\begin{aligned}0.6(1-p) &= 0.3 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.5 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים.

Voir la réponse et le corrigé

התשובה: $0.5$ . $0.3$ יוצא מ- $0.4+p=0.7$ , שמתעלם מהחיתוך. $0.75$ הוא $\frac{0.3}{0.4}$ , ו- $0.28$ הוא $0.4 \cdot 0.7$ : שניהם מערבבים את הנתונים בלי משוואה.

Faire l'activité sur elev

עם $p=0.5$ : מה ההסתברות שבדיוק אחד החיישנים מתריע?

Voir la réponse et le corrigé

$0.4 \cdot 0.5+0.6 \cdot 0.5=0.2+0.3=0.5$ . בדיקה: «לפחות אחד» ( $0.7$ ) הוא «בדיוק אחד» ( $0.5$ ) ועוד «שניהם» ( $0.4 \cdot 0.5=0.2$ ) ✓

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

בקניון, 30% מהקונים מגיעים ברכבת הקלה והשאר ברכב. 60% מהמגיעים ברכבת ו-20% מהמגיעים ברכב קונים בחנות הספרים. בוחרים קונה באקראי. מצאו את ההסתברות שקנה בחנות הספרים, ואת ההסתברות שהגיע ברכבת אם ידוע שקנה בחנות הספרים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

$P(\text{livres})=$ ____ ; $P(\text{train} \mid \text{livres})=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $P(\text{livres})=$ 0.32 ; $P(\text{train} \mid \text{livres})=$ 0.56

Corrigé :

\begin{aligned}0.3 \cdot 0.6+0.7 \cdot 0.2 &= 0.18+0.14 \\ &= 0.32\end{aligned}

שני מסלולים

\frac{0.18}{0.32}=0.5625 \approx 0.56

העולם: מי שקנה ספרים

הנתון $0.6$ הוא $P(\text{ספרים} \mid \text{רכבת})$ . השאלה הפוכה, והמכנה הוא $0.32$ , לא $0.3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

משקה הבוקר בקפטריה (100 אנשים)

	קפה	תה	מים	סך הכול
עובדים	30	10	20	60
סטודנטים	20	15	5	40
סך הכול	50	25	25	100

הטבלה מתארת את משקה הבוקר של 100 אנשים בקפטריה של מכללה. בוחרים באקראי אדם ששותה תה. מה ההסתברות שהוא סטודנט? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

10+15=25

העולם: עמודת התה

\frac{15}{25}=0.6

סטודנטים בתוך העמודה

$\frac{15}{40}$ עונה על השאלה ההפוכה: סטודנט ששותה תה. $\frac{15}{100}$ הוא החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בקופסה 4 כדורים אדומים ו- $x$ כדורים כחולים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששניהם אדומים היא $\frac{2}{7}$ . מצאו את $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\frac{4}{x+4} \cdot \frac{3}{x+3}=\frac{2}{7}

בלי החזרה

\begin{aligned}(x+4)(x+3) &= 42 \ \Rightarrow \ x^2+7x-30 \\ &= 0\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -10\end{aligned}

$x=-10$ נפסל

מי שכתב $\frac{4}{x+4} \cdot \frac{4}{x+4}$ פתר עם החזרה. בשליפה השנייה נשארו 3 אדומים מתוך $x+3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שני אנשי צוות בודקים בנפרד כל חבילה במחסן, באופן בלתי תלוי. הראשון מוצא פגם בחבילה פגומה בהסתברות $0.2$ . ההסתברות שלפחות אחד מהם מוצא את הפגם היא $0.52$ . מה ההסתברות שהשני מוצא את הפגם? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

1-0.52=0.48

אף אחד לא מוצא

\begin{aligned}0.8(1-p) &= 0.48 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.6\end{aligned}

מכפלה של שני המשלימים

p=0.4

התשובה

$0.2+p=0.52$ נותן $0.32$ : הוא סופר פעמיים את המקרה ששניהם מוצאים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקניון, 30% מהקונים מגיעים ברכבת הקלה והשאר ברכב. 60% מהמגיעים ברכבת ו-20% מהמגיעים ברכב קונים בחנות הספרים. עיתון מקומי כתב: «רוב הקונים בחנות הספרים הגיעו ברכבת». הטענה נכונה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}P(\text{רכבת} \mid \text{ספרים}) &= \frac{0.18}{0.32} \\ &= 0.5625\end{aligned}

מהשאלה הראשונה

0.5625>0.5

יותר ממחצית

הטענה נכונה אף שרק 30% מכל הקונים מגיעים ברכבת. «רוב הקונים בחנות» מדבר על העולם של חנות הספרים, לא על כל הקניון.

Vérifier la réponse sur elev

1 — עץ, הסתברות שלמה ובייס

2 — טבלה דו-ממדית

3 — בלי החזרה, עם נעלם xxx

4 — אי-תלות ו«לפחות אחד»

Exercices

La suite se pratique sur elev

3 — בלי החזרה, עם נעלם $x$