Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: בייס, איחוד וחיתוך, בלי החזרה עם הסתברות מותנית, טבלה להשלמה, נעלם pp, והעברה משקית לשקית.

כשהנתונים באחוזים, בנו עץ. כשהם מספרים של אנשים, בנו טבלה. ובכל «ידוע ש...»: חשבו קודם את המכנה, ורק אחר כך את המונה.

Exercices

Exercice 1

במפעל שתי מכונות. מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, ו-2% מהם פגומים. מכונה ב מייצרת את השאר, ו-5% מהם פגומים. בוחרים מוצר באקראי. מה ההסתברות שהמוצר פגום? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.032

Corrigé :

0.6⋅0.02=0.0120.6 \cdot 0.02=0.012

מכונה א ופגום

0.4⋅0.05=0.020.4 \cdot 0.05=0.02

מכונה ב ופגום

0.012+0.02=0.0320.012+0.02=0.032

הסתברות שלמה

ממוצע פשוט של 2% ו-5% (3.5%) מתעלם מכך שמכונה א מייצרת יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במפעל שתי מכונות. מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, ו-2% מהם פגומים. מכונה ב מייצרת את השאר, ו-5% מהם פגומים. בוחרים מוצר באקראי. ידוע שהמוצר פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה א? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

P(א∩פגום)=0.012P(\text{א} \cap \text{פגום})=0.012

המונה

0.0120.032=0.375\frac{0.012}{0.032}=0.375

המכנה: כל הפגומים

מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, אבל רק 37.5% מהפגומים: אחוז הפגומים שלה נמוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מהו P(B∣A)P(B \mid A)? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

P(A∩B)=0.5+0.4−0.7=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5+0.4-0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

מנוסחת האיחוד

P(B∣A)=0.20.5=0.4\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.2}{0.5} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: P(A)P(A)

בהינתן AA המכנה הוא P(A)=0.5P(A)=0.5. 0.20.4\frac{0.2}{0.4} הוא P(A∣B)P(A \mid B).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. האם AA ו-BB בלתי תלויים?

  1. לא, כי P(A∩B)≠0P(A \cap B) \neq 0
  2. כן, כי P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
  3. לא, כי P(A)+P(B)≠P(A∪B)P(A)+P(B) \neq P(A \cup B)
  4. Impossible de savoir
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כן, כי P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

Corrigé :

P(A∩B)=0.2P(A \cap B)=0.2

מנוסחת האיחוד

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

שווה: בלתי תלויים

P(B∣A)=0.4=P(B)\begin{aligned}P(B \mid A) &= 0.4 \\ &= P(B)\end{aligned}

ובדיקה נוספת

P(A)+P(B)≠P(A∪B)P(A)+P(B) \neq P(A \cup B) אומר רק שהמאורעות אינם זרים. זה לא מבחן לאי-תלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בשקית 3 סוכריות ירוקות ו-5 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. מה ההסתברות שהסוכריות בצבעים שונים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.54

Corrigé :

38⋅57=1556\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}

ירוקה ואחר כך צהובה

58⋅37=1556\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{56}

צהובה ואחר כך ירוקה

3056≈0.54\frac{30}{56} \approx 0.54

שני סדרים

«צבעים שונים» הם שני מסלולים. מי שענה 0.270.27 חישב סדר אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בשקית 3 סוכריות ירוקות ו-5 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. ידוע שהסוכריות בצבעים שונים. מה ההסתברות שהראשונה ירוקה? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

38⋅57=1556\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}

המסלול ירוקה-צהובה

15/5630/56=0.5\frac{15/56}{30/56}=0.5

המכנה מהשאלה הקודמת

התשובה אינה 38\frac{3}{8}: הידיעה «צבעים שונים» משנה את העולם, ושני הסדרים שווים בו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בשכבה 200 תלמידים, מהם 120 בנים. ל-45% מכל התלמידים יש חיית מחמד, ול-40% מהבנים יש חיית מחמד. השלימו: כמה בנות עם חיית מחמד, ומה ההסתברות שלבת שנבחרה באקראי יש חיית מחמד.

בנות עם חיית מחמד: ____ ; P(חיה∣בת)=P(\text{חיה} \mid \text{בת})= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בנות עם חיית מחמד: 42 ; P(חיה∣בת)=P(\text{חיה} \mid \text{בת})= 0.525

Corrigé :

0.45⋅200=900.45 \cdot 200=90

כל בעלי החיות

0.4⋅120=480.4 \cdot 120=48

בנים עם חיה

90−48=4290-48=42

בנות עם חיה

4280=0.525\frac{42}{80}=0.525

העולם: 80 הבנות

40% הוא מתוך הבנים (120), לא מתוך כל השכבה. ובסוף המכנה הוא 80, לא 200.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון P(A)=0.3P(A)=0.3, P(B)=0.6P(B)=0.6 ו-P(A∩B)=0.12P(A \cap B)=0.12. לכן P(B∣A)=2⋅P(A∣B)P(B \mid A)=2 \cdot P(A \mid B).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(A∣B)=0.120.6=0.2\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.12}{0.6} \\ &= 0.2\end{aligned}

המכנה P(B)P(B)

P(B∣A)=0.120.3=0.4\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.12}{0.3} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה P(A)P(A)

0.4=2⋅0.20.4=2 \cdot 0.2

נכון

אותו מונה, מכנים שונים. P(A∣B)P(A \mid B) ו-P(B∣A)P(B \mid A) שווים רק כש-P(A)=P(B)P(A)=P(B).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שני צלמים מצלמים ציפור נדירה, כל אחד באופן בלתי תלוי. הראשון מצליח בהסתברות 0.80.8 והשני בהסתברות pp. ההסתברות שבדיוק אחד מהם מצליח היא 0.50.5. מצאו את pp. (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

0.8(1−p)+0.2p=0.50.8(1-p)+0.2p=0.5

שני מסלולים: רק הראשון, רק השני

0.8−0.6p=0.5 ⇒ p=0.5\begin{aligned}0.8-0.6p &= 0.5 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

On résout

«בדיוק אחד» הם שני מסלולים. מי שכתב רק 0.8(1−p)=0.50.8(1-p)=0.5 קיבל p=0.375p=0.375.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בשקית א 2 כדורים אדומים ו-3 כחולים. בשקית ב כדור אדום אחד וכדור כחול אחד. מוציאים כדור משקית א ומעבירים אותו לשקית ב, ואז מוציאים כדור משקית ב. מה ההסתברות שהכדור השני אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.47

Corrigé :

25⋅23\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}

הועבר אדום: בשקית ב 2 אדומים מתוך 3

35⋅13\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}

הועבר כחול: בשקית ב אדום אחד מתוך 3

415+315=715≈0.47\frac{4}{15}+\frac{3}{15}=\frac{7}{15} \approx 0.47

מחברים

אחרי ההעברה בשקית ב שלושה כדורים. מי שחישב מתוך 2 שכח את הכדור שהועבר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe