Suites · Suites · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה היא רשימת מספרים בסדר קבוע. שני סוגים מכסים כמעט הכול בבגרות, וההבדל ביניהם הוא מה נשמר בין איבר לאיבר.

d

סדרה חשבונית — כל איבר גדול מקודמו בהפרש קבוע: 3, 7, 11, 15.

q

סדרה הנדסית — כל איבר הוא קודמו כפול מנה קבועה: 3, 6, 12, 24.

האיבר הכללי

a_n = a_1 + (n - 1) d

למה $n - 1$ ? כי מהאיבר הראשון עד ה- $n$ עשינו צעד אחד פחות ממספר האיברים. מ- $a_1$ ל- $a_5$ יש ארבעה צעדים, לא חמישה.

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

ובהנדסית — אותו היגיון בדיוק, רק שבמקום להוסיף $d$ כופלים ב- $q$ .

סכום סדרה חשבונית

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

ההוכחה היפה של גאוס: כותבים את הסדרה פעמיים — פעם אחת רגיל ופעם אחת הפוך — ומחברים. כל זוג נותן אותו סכום, ויש $n$ זוגות. מחלקים ב-2 כי ספרנו פעמיים.

סדרה שלמה

בסדרה חשבונית $a_1 = 5$ ו- $d = 3$ . מצאו את $a_{10}$ ואת סכום עשרת הראשונים.

a_{10} = 5 + 9 \cdot 3

תשעה צעדים, לא עשרה

= 32

האיבר העשירי

S_{10} = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2}

נוסחת הסכום

= 185

הסכום

הטעות של הסדרות.

a_n = a_1 + n \cdot d

a_1 + (n - 1) d

צעד אחד פחות ממספר האיברים. זו הטעות שחוזרת יותר מכל אחרת בפרק.

בסדרה חשבונית $a_1 = 3$ ו- $d = 4$ . מהו $a_{10}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

39: $a_n = a_1 + (n-1)d$ , כלומר $3 + 9 \cdot 4$ . שימו לב ל- $(n-1)$ — תשע קפיצות, לא עשר.

Exercices

Exercice 1

בסדרה חשבונית $a_1 = 5$ ו- $d = 3$ . מהו $a_{10}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

a_{10} = 5 + 9 \cdot 3

תשעה צעדים

= 32

התוצאה

$n - 1$ ולא $n$ — צעד אחד פחות ממספר האיברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה סדרה — מהו סכום עשרת האיברים הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 185

Corrigé :

S = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2}

נוסחת הסכום

= 185

On calcule

ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בסדרה הנדסית $a_1 = 3$ ו- $q = 2$ . מהו $a_5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

3 \cdot 2^4

ארבעה צעדים

= 48

התוצאה

3, 6, 12, 24, 48 — בדיקה בספירה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הסדרה 4, 12, 36, 108 — איזה סוג?

חשבונית, $d = 8$
הנדסית, $q = 3$
הנדסית, $q = 8$
לא חשבונית ולא הנדסית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הנדסית, $q = 3$

Corrigé :

12 : 4 = 3

המנה

36 : 12 = 3

זהה

מנה קבועה — הנדסית. ההפרשים כאן אינם קבועים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בסדרה חשבונית $a_1 = 2$ ו- $a_5 = 18$ . מהו $d$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

18 = 2 + 4d

ארבעה צעדים מ- $a_1$ ל- $a_5$

\begin{aligned}4d &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

On résout

ארבעה צעדים, לא חמישה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בסדרה חשבונית $a_1 = 8$ ו- $d = 5$ . מהו $a_{12}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63

Corrigé :

8 + 11 \cdot 5

אחת-עשרה קפיצות

= 63

$(n-1)$ קפיצות, לא $n$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה הנדסית $a_1 = 4$ ו- $q = 3$ . מהו $a_4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

4 \cdot 3^3

שלוש קפיצות

= 108

בהנדסית ה- $(n-1)$ יושב בחזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה חשבונית $a_1 = 2$ ו- $d = 4$ . מהו הסכום $S_8$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 128

Corrigé :

\begin{aligned}a_8 &= 2 + 7 \cdot 4 \\ &= 30\end{aligned}

קודם האחרון

\frac{8(2+30)}{2} = 128

הסכום נשען על האיבר האחרון — מחשבים אותו קודם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

סדרה שבה כל איבר הוא פי 3 מקודמו. איזו סדרה זו?

הנדסית עם $q = 3$
לא סדרה מוכרת
תלוי באיבר הראשון
חשבונית עם $d = 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הנדסית עם $q = 3$

Corrigé :

a_{n+1} = 3a_n

כפל קבוע

כפל ⇐ הנדסית. חיבור ⇐ חשבונית. זו כל ההבחנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

האיברים $6$ , $b$ , $14$ עוקבים בסדרה חשבונית. מהו $b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

2b = 6 + 14

האמצעי הוא הממוצע

b = 10

ההפרש יוצא $4$ : $6, 10, 14$ .

Vérifier la réponse sur elev

האיבר הכללי

סכום סדרה חשבונית

Exercices

La suite se pratique sur elev