La loi des sinus

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משולש ישר זווית שהיתר שלו 1010, וזוויותיו 30∘30^\circ, 60∘60^\circ ו-90∘90^\circ. הצלעות: 55, 535\sqrt{3} ו-1010. מחלקים כל צלע בסינוס של הזווית שמולה: 5sin⁡30∘=10\frac{5}{\sin 30^\circ} = 10, 53sin⁡60∘=10\frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 10, 10sin⁡90∘=10\frac{10}{\sin 90^\circ} = 10. שלוש פעמים אותו מספר, והוא אורך היתר: הקוטר של המעגל שעובר דרך שלושת הקדקודים.

αα2ROABCD
BDBD קוטר. ∠BDC\angle BDC ו-∠BAC\angle BAC הן זוויות היקפיות על אותה קשת BCBC, ולכן שתיהן α\alpha. ∠BCD=90∘\angle BCD = 90^\circ, כי היא נשענת על קוטר.

למה במשולש ישר זווית היתר הוא קוטר של המעגל החוסם?

Voir la réponse et le corrigé

זווית היקפית של 90∘90^\circ נשענת על קשת של 180∘180^\circ, כלומר על קוטר. לכן היתר הוא קוטר, 2R2R. בשרטוט זה המשולש BCDBCD: הזווית הישרה ב-CC והיתר BDBD.

משפט הסינוסים

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\begin{aligned}\frac{a}{\sin\alpha} &= \frac{b}{\sin\beta} \\ &= \frac{c}{\sin\gamma} \\ &= 2R\end{aligned}

בכל משולש, לא רק במשולש ישר זווית. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

למה? בשרטוט: sin⁡α=BCBD=a2R\sin\alpha = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} במשולש ישר הזווית BCDBCD. ומכאן asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R. אותו דבר עם bb ועם cc. ואם α\alpha קהה? הזווית ב-DD היא 180∘−α180^\circ - \alpha, ו-sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha: המשפט לא משתנה.

a, αa,\ \alpha

הזוג: צלע והזווית שמולה. בלי זוג ידוע המשפט לא מתחיל.

β ⇒ b\beta \ \Rightarrow \ b

עם הזוג ועוד זווית: מוצאים את הצלע שמולה.

β, γ ⇒ α\beta,\ \gamma \ \Rightarrow \ \alpha

שתי זוויות נותנות את השלישית: α=180∘−β−γ\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma.

2R=asin⁡α2R = \frac{a}{\sin\alpha}

הזוג לבדו כבר נותן את רדיוס המעגל החוסם.

צלע חסרה

במשולש ABCABC נתון BC=8BC = 8, ∠A=45∘\angle A = 45^\circ ו-∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מצאו את ABAB ואת רדיוס המעגל החוסם.

BC, ∠ABC,\ \angle A

הזוג: BCBC מול ∠A\angle A

ABsin⁡60∘=8sin⁡45∘\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C

AB=8⋅3222=46≈9.80\begin{aligned}AB &= \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 4\sqrt{6} \approx 9.80\end{aligned}
2R=8sin⁡45∘=82 ⇒ R=42≈5.66\begin{aligned}2R &= \frac{8}{\sin 45^\circ} \\ &= 8\sqrt{2} \ \Rightarrow \ R \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

חצי מהיחס

במשולש זווית של 30∘30^\circ וזווית של 45∘45^\circ. הצלע שמול 30∘30^\circ היא 66. מה אורך הצלע שמול 45∘45^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

xsin⁡45∘=6sin⁡30∘=12\frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = 12, ולכן x=12⋅22=62≈8.49x = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49. בדיקה: 45∘>30∘45^\circ > 30^\circ, ולכן הצלע ארוכה מ-66.

בדיקה מהירה בכל תשובה: מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה. אם יצא לכם b<ab < a כש-β>α\beta > \alpha, הפכתם את היחס. ולפני כל חישוב: המחשבון במצב מעלות (DEG).

שלוש טעויות במשפט הסינוסים.

asin⁡α=R\frac{a}{\sin\alpha} = R
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

היחס הוא הקוטר. במשולש ישר זווית: היתר חלקי sin⁡90∘\sin 90^\circ הוא היתר, והיתר הוא קוטר.

ABsin⁡A=BCsin⁡C\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}
ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

הצלע ABAB יוצאת מ-AA, ולכן היא לא מול AA. מול AA נמצאת BCBC.

∠C=180∘−45∘\angle C = 180^\circ - 45^\circ
∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B

הזווית השלישית היא 180∘180^\circ פחות שתי הזוויות האחרות.

Exercices

Exercice 1

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=75∘\angle B = 75^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18.03

Corrigé :

ACsin⁡75∘=12sin⁡40∘\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ}

משפט הסינוסים: BCBC מול AA, ACAC מול BB

AC=12sin⁡75∘sin⁡40∘≈18.03AC = \frac{12 \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 18.03

AC≈18.03AC \approx 18.03. המלכודת: 12sin⁡40∘sin⁡75∘≈7.99\frac{12 \sin 40^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 7.99, היחס ההפוך. בדיקה: 75∘>40∘75^\circ > 40^\circ, ולכן AC>BCAC > BC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABC
המעגל החוסם לא מצויר.

במשולש ABCABC נתון BC=9BC = 9 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

9sin⁡30∘=2R\frac{9}{\sin 30^\circ} = 2R

הזוג: BCBC והזווית שמולה

18=2R ⇒ R=9\begin{aligned}18 &= 2R \ \Rightarrow \ R \\ &= 9\end{aligned}

R=9R = 9. המלכודת: לעצור ב-1818, שזה הקוטר ולא הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠C=45∘\angle C = 45^\circ. מהו אורך ABAB?

  1. 12212\sqrt{2}
  2. 66
  3. 626\sqrt{2}
  4. 323\sqrt{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 626\sqrt{2}

Corrigé :

ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R

ABAB מול ∠C\angle C

AB=2⋅6⋅sin⁡45∘=12⋅22=62\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 6 \cdot \sin 45^\circ \\ &= 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

הנכונה: 626\sqrt{2}. המלכודת: 323\sqrt{2} מתקבל מ-Rsin⁡CR\sin C, בלי ה-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=10BC = 10, ∠B=50∘\angle B = 50^\circ ו-∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.22

Corrigé :

∠A=180∘−50∘−60∘=70∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

הזווית שמול BCBC

ABsin⁡60∘=10sin⁡70∘\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 70^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C

AB=10sin⁡60∘sin⁡70∘≈9.22AB = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 9.22

AB≈9.22AB \approx 9.22. המלכודת: לכתוב 10sin⁡50∘\frac{10}{\sin 50^\circ}. ∠B\angle B לא נמצאת מול BCBC, ולכן קודם מוצאים את ∠A\angle A.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABC

איזה שוויון נכון בכל משולש ABCABC?

  1. AB⋅sin⁡C=BC⋅sin⁡AAB \cdot \sin C = BC \cdot \sin A
  2. ABsin⁡B=ACsin⁡C\frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}
  3. ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
  4. ABsin⁡A=BCsin⁡C\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

Corrigé :

AB↔∠C,BC↔∠AAB \leftrightarrow \angle C ,\quad BC \leftrightarrow \angle A

כל צלע עם הזווית שמולה

ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

הנכונה: ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}. המלכודת: לחבר צלע לזווית שבקצה שלה. הצלע שמול קדקוד היא הצלע שאין בה את האות שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCO
OO מרכז המעגל החוסם.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות שצלעו 99 (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.2

Corrigé :

9sin⁡60∘=2R\frac{9}{\sin 60^\circ} = 2R

כל זווית היא 60∘60^\circ

R=92⋅32=93=33≈5.20\begin{aligned}R &= \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{9}{\sqrt{3}} \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

רדיוס 33≈5.203\sqrt{3} \approx 5.20. המלכודת: R=4.5R = 4.5, חצי צלע. צלע היא קוטר רק כשהזווית שמולה ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A>∠B\angle A > \angle B (שתיהן חדות). לכן BC>ACBC > AC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

BC=2Rsin⁡AAC=2Rsin⁡B\begin{aligned}BC &= 2R\sin A \\ \quad AC &= 2R\sin B\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

∠A>∠B ⇒ sin⁡A>sin⁡B\angle A > \angle B \ \Rightarrow \ \sin A > \sin B

בין 0∘0^\circ ל-90∘90^\circ הסינוס עולה

נכון: מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה. המלכודת: להשוות את ABAB ואת ACAC, הצלעות שיוצאות מ-AA, במקום את הצלעות שמול הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.4

Corrigé :

BCsin⁡70∘=2⋅5\frac{BC}{\sin 70^\circ} = 2 \cdot 5

BCBC מול ∠A\angle A

BC=10sin⁡70∘≈9.4BC = 10 \sin 70^\circ \approx 9.4

BC≈9.4BC \approx 9.4. המלכודת: 5sin⁡70∘≈4.75 \sin 70^\circ \approx 4.7, רדיוס במקום קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

CAB

שני מגדלי תצפית AA ו-BB בנמל אשדוד נמצאים במרחק 800800 מטר זה מזה. אונייה CC נראית מ-AA בזווית ∠CAB=55∘\angle CAB = 55^\circ ומ-BB בזווית ∠CBA=65∘\angle CBA = 65^\circ. מצאו את המרחק ACAC במטרים (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 837.21

Corrigé :

∠C=180∘−55∘−65∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול ABAB

ACsin⁡65∘=800sin⁡60∘\frac{AC}{\sin 65^\circ} = \frac{800}{\sin 60^\circ}

ACAC מול ∠B\angle B

AC=800sin⁡65∘sin⁡60∘≈837.21AC = \frac{800 \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 837.21

AC≈837.21AC \approx 837.21 מטר. המלכודת: לחבר את ACAC לזווית 55∘55^\circ שב-AA. זו זווית שיוצאת מ-AA, והיא מול BCBC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABC

מיינו: באילו נתונים אפשר להתחיל מיד במשפט הסינוסים במשולש ABCABC?

  • יש זוג צלע וזווית שמולה
  • אין זוג
  • a, α, βa ,\ \alpha ,\ \beta
  • a, b, γa ,\ b ,\ \gamma
  • a, b, ca ,\ b ,\ c
  • b, α, γb ,\ \alpha ,\ \gamma
  • c, γ, Rc ,\ \gamma ,\ R
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a, α, βa ,\ \alpha ,\ \beta — יש זוג צלע וזווית שמולה · b, α, γb ,\ \alpha ,\ \gamma — יש זוג צלע וזווית שמולה · c, γ, Rc ,\ \gamma ,\ R — יש זוג צלע וזווית שמולה · a, b, γa ,\ b ,\ \gamma — אין זוג · a, b, ca ,\ b ,\ c — אין זוג

Corrigé :

a, αa,\ \alpha

זוג ידוע מיד

α γ ⇒ β=180∘−α−γ\begin{aligned}\alpha \\ \ \gamma \ \Rightarrow \ \beta &= 180^\circ - \alpha - \gamma\end{aligned}

שתי זוויות נותנות את השלישית, והנה הזוג b, βb ,\ \beta

a, b, γa,\ b,\ \gamma

הזווית בין שתי הצלעות: אין זוג

שואלים: יש צלע והזווית שמולה, או שתי זוויות? המלכודת: a, b, γa ,\ b ,\ \gamma נראה כמו שלושה נתונים מספיקים, אבל γ\gamma לא נמצאת מול אף אחת מהצלעות הנתונות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe