Série 3 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל, והנתונים חוזרים בכל אחד. השאלה השלישית מחברת את הפרק לגאומטריה האנליטית, כמו בבחינה: זווית משיפוע, ואחריה שטח ורדיוס.

בבחינה סעיף משתמש בתוצאה של הסעיף הקודם. שמרו את התוצאות המלאות במחשבון ועגלו רק בסוף, אחרת הטעות של העיגול גדלה מסעיף לסעיף.

Exercices

Exercice 1

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ ו-∠ABC=75∘\angle ABC = 75^\circ. א. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.71

Corrigé :

BCsin⁡40∘=2R=12\begin{aligned}\frac{BC}{\sin 40^\circ} &= 2R \\ &= 12\end{aligned}

משפט הסינוסים: BCBC מול ∠A\angle A

BC=12sin⁡40∘≈7.71BC = 12 \sin 40^\circ \approx 7.71

BC≈7.71BC \approx 7.71. המלכודת: Rsin⁡40∘R\sin 40^\circ, בלי ה-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ ו-∠ABC=75∘\angle ABC = 75^\circ. ב. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.59

Corrigé :

AC=2Rsin⁡∠ABCAC = 2R\sin\angle ABC

ACAC מול ∠B\angle B

AC=12sin⁡75∘≈11.59AC = 12 \sin 75^\circ \approx 11.59

AC≈11.59AC \approx 11.59. המלכודת: לחשב עם ∠C\angle C. ∠C\angle C מול ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ ו-∠ABC=75∘\angle ABC = 75^\circ. ג. מצאו את שטח המשולש ABCABC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40.52

Corrigé :

∠ACB=180∘−40∘−75∘=65∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית שבין BCBC ל-ACAC

S=12⋅BC⋅AC⋅sin⁡65∘≈40.52S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 65^\circ \approx 40.52

שתי הצלעות מסעיפים א ו-ב

השטח ≈40.52\approx 40.52. המלכודת: 12⋅BC⋅AC⋅sin⁡40∘\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 40^\circ. הזווית שבין BCBC ל-ACAC היא ∠C\angle C.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCD

במרובע ABCDABCD האלכסון BDBD חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון AB=7AB = 7, ∠ABD=65∘\angle ABD = 65^\circ ו-∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ. עוד נתון ∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ ו-∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ. א. מצאו את BDBD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.02

Corrigé :

∠BAD=180∘−65∘−35∘=80∘\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 65^\circ - 35^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

הזווית שמול BDBD

BDsin⁡80∘=7sin⁡35∘ ⇒ BD≈12.02\frac{BD}{\sin 80^\circ} = \frac{7}{\sin 35^\circ} \ \Rightarrow \ BD \approx 12.02

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD: ABAB מול ∠ADB\angle ADB

BD≈12.02BD \approx 12.02. המלכודת: 7sin⁡80∘sin⁡65∘\frac{7 \sin 80^\circ}{\sin 65^\circ}. ∠ABD\angle ABD יוצאת מ-BB, והצלע שמולה היא ADAD, לא ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD

במרובע ABCDABCD האלכסון BDBD חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון AB=7AB = 7, ∠ABD=65∘\angle ABD = 65^\circ ו-∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ. עוד נתון ∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ ו-∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ. ב. מצאו את CDCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.53

Corrigé :

CDsin⁡45∘=BDsin⁡95∘\frac{CD}{\sin 45^\circ} = \frac{BD}{\sin 95^\circ}

משפט הסינוסים ב-△BCD\triangle BCD: CDCD מול ∠DBC\angle DBC, BDBD מול ∠C\angle C

CD≈12.02sin⁡45∘sin⁡95∘≈8.53CD \approx \frac{12.02 \sin 45^\circ}{\sin 95^\circ} \approx 8.53

CD≈8.53CD \approx 8.53. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡95∘\sin 95^\circ שלילי. sin⁡95∘=sin⁡85∘≈0.996\sin 95^\circ = \sin 85^\circ \approx 0.996.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD

במרובע ABCDABCD האלכסון BDBD חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון AB=7AB = 7, ∠ABD=65∘\angle ABD = 65^\circ ו-∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ. עוד נתון ∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ ו-∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ. ג. מצאו את שטח המרובע ABCDABCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 71.08

Corrigé :

SABD=12⋅7⋅BD⋅sin⁡65∘≈38.12S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot BD \cdot \sin 65^\circ \approx 38.12

∠ABD\angle ABD בין ABAB ל-BDBD

∠BDC=180∘−45∘−95∘=40∘\begin{aligned}\angle BDC &= 180^\circ - 45^\circ - 95^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

ב-△BCD\triangle BCD

SBCD=12⋅BD⋅CD⋅sin⁡40∘≈32.95S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 40^\circ \approx 32.95

∠BDC\angle BDC בין BDBD ל-CDCD

SABCD≈71.08S_{ABCD} \approx 71.08

סכום שני המשולשים

השטח ≈71.08\approx 71.08. המלכודת: בשטח של △BCD\triangle BCD להשתמש ב-∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ. היא בין BDBD ל-BCBC, ו-BCBC לא ידועה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). א. מצאו את הזווית ∠CAB\angle CAB בעזרת שיפוע הישר ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63.43

Corrigé :

mAC=4−02−0=2\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{4 - 0}{2 - 0} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע

tan⁡∠CAB=2 ⇒ ∠CAB≈63.43∘\tan\angle CAB = 2 \ \Rightarrow \ \angle CAB \approx 63.43^\circ

ABAB על ציר ה-xx, ולכן זו זווית השיפוע: tan⁡α=m\tan\alpha = m

∠CAB≈63.43∘\angle CAB \approx 63.43^\circ. המלכודת: tan⁡−1(12)≈26.57∘\tan^{-1}(\frac{1}{2}) \approx 26.57^\circ, כשהופכים את השיפוע ל-ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). ב. מצאו את הזווית ∠ABC\angle ABC (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

mBC=4−02−6=−1\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{4 - 0}{2 - 6} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע

tan⁡β=−1 ⇒ β=135∘\begin{aligned}\tan\beta &= -1 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= 135^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של BCBC עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx

∠ABC=180∘−135∘=45∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 135^\circ \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הזווית בתוך המשולש צמודה לזווית השיפוע

∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ. המלכודת: לענות 135∘135^\circ. זו זווית השיפוע, והזווית של המשולש צמודה לה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). ג. מצאו את שטח המשולש ABCABC בעזרת הנוסחה 12absin⁡γ\frac{1}{2}ab\sin\gamma.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

AB=6AC=22+42=20\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad AC &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

sin⁡∠CAB=420=25\begin{aligned}\sin\angle CAB &= \frac{4}{\sqrt{20}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{5}}\end{aligned}

ב-△\triangle ישר הזווית שהגובה מ-CC יוצר

S=12⋅6⋅20⋅420=12\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} \\ &= 12\end{aligned}

השטח 1212. בדיקה: הבסיס AB=6AB = 6 והגובה מ-CC הוא 44: 6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12. המלכודת: לקחת את ∠ABC\angle ABC עם הצלעות ABAB ו-ACAC. הזווית שכלואה בין ABAB ל-ACAC היא ∠CAB\angle CAB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). ד. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.16

Corrigé :

AC=20=25\begin{aligned}AC &= \sqrt{20} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

הצלע שמול ∠B\angle B

2R=ACsin⁡45∘=2522=210\begin{aligned}2R &= \frac{AC}{\sin 45^\circ} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 2\sqrt{10}\end{aligned}

משפט הסינוסים עם הזוג ACAC, ∠B\angle B מסעיף ב

R=10≈3.16R = \sqrt{10} \approx 3.16

R=10≈3.16R = \sqrt{10} \approx 3.16. בדיקה עם הזוג השני: BC=32BC = \sqrt{32} ו-sin⁡∠A=25\sin\angle A = \frac{2}{\sqrt{5}} נותנים אותו RR. המלכודת: לחבר את ACAC לזווית ∠A\angle A, שממנה ACAC יוצאת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe