Position relative droite-cercle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ישר יכול לחתוך מעגל בשתי נקודות, להשיק לו בנקודה אחת, או לפספס אותו. מי מחליט? מערכת המשוואות. מציבים את הישר במעגל ומקבלים משוואה ריבועית — ומספר הפתרונות שלה הוא מספר נקודות המפגש.

חיתוך מלא, צעד אחר צעד

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1.

x2+(x+1)2=25x^2 + (x+1)^2 = 25

מציבים את הישר במעגל

2x2+2x−24=0 ⇒ x2+x−12=0\begin{aligned}2x^2 + 2x - 24 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
(x+4)(x−3)=0 ⇒ x=3 x=−4\begin{aligned}(x+4)(x-3) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -4\end{aligned}

שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך

(3,4),(−4,−3)(3, 4), \quad (-4, -3)

כל xx חוזר לישר לקבל את ה-yy שלו

איזה גודל במשוואה הריבועית מכריע בין שלושת המצבים?

Voir la réponse et le corrigé

הדיסקרימיננטה: Δ>0\Delta > 0 — שתי נקודות (חותך), Δ=0\Delta = 0 — נקודה אחת (משיק), Δ<0\Delta < 0 — אין מפגש.

הדרך הגיאומטרית — מרחק מול רדיוס

יש גם דרך בלי משוואה ריבועית: מודדים את מרחק המרכז מהישר ומשווים לרדיוס. קטן מהרדיוס — חותך; שווה — משיק; גדול — מפספס. לישר ax+by+c=0ax + by + c = 0:

d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

מרחק הנקודה (x0,y0)(x_0, y_0) מהישר. הערך המוחלט — מרחק אינו שלילי.

המעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 והישר y=5y = 5. מה מצבם ההדדי?

Voir la réponse et le corrigé

מרחק המרכז (0,0)(0,0) מהישר הוא 5, והרדיוס 3. 5>35 > 3 — הישר לא נוגע במעגל כלל.

המלכודת של הפרק.

x=3 היא נקודת החיתוךx = 3 \ \text{היא נקודת החיתוך}
(3,4) היא נקודת החיתוך(3, 4) \ \text{היא נקודת החיתוך}

פתרון המשוואה נותן רק את ה-xx. נקודה היא זוג — חוזרים לישר להשלים את ה-yy.

Exercices

Exercice 1

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1. כמה נקודות חיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2+(x+1)2=25⇒x2+x−12=0\begin{aligned}x^2 + (x+1)^2 &= 25 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=1+48=49>0\begin{aligned}\Delta &= 1 + 48 \\ &= 49 > 0\end{aligned}

שני פתרונות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה מערכת: אחת מנקודות החיתוך היא (3,y)(3, y). מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

y=3+1=4\begin{aligned}y &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את ה-xx בישר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 והישר y=5y = 5. מהו מרחק המרכז מהישר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

d=∣5−0∣=5\begin{aligned}d &= |5 - 0| \\ &= 5\end{aligned}

ישר אופקי — המרחק הוא הפרש גבהים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותם נתונים (r=3r = 3, d=5d = 5): מה מצבם ההדדי?

  1. הישר אינו פוגש את המעגל
  2. חותך בשתי נקודות
  3. עובר במרכז
  4. משיק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הישר אינו פוגש את המעגל

Corrigé :

d=5>3=r\begin{aligned}d &= 5 > 3 \\ &= r\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המעגל x2+y2=16x^2 + y^2 = 16 והישר y=4y = 4. כמה נקודות משותפות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

d=4=r\begin{aligned}d &= 4 \\ &= r\end{aligned}

מרחק שווה רדיוס — משיק

x2+16=16⇒x=0\begin{aligned}x^2 + 16 &= 16 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (0,4)(0,4)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו מרחק הנקודה (0,0)(0, 0) מהישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

d=∣3⋅0+4⋅0−10∣9+16=105=2\begin{aligned}d &= \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המעגל x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 והישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0 (מרחקו מהמרכז 2). מה מצבם ההדדי?

  1. משיק
  2. הישר בתוך המעגל
  3. חותך בשתי נקודות
  4. לא נפגשים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A משיק

Corrigé :

d=2=r\begin{aligned}d &= 2 \\ &= r\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

עבור איזה c>0c > 0 הישר y=x+cy = x + c משיק למעגל x2+y2=8x^2 + y^2 = 8?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2+(x+c)2=8⇒2x2+2cx+c2−8=0\begin{aligned}x^2 + (x+c)^2 &= 8 \Rightarrow 2x^2 + 2cx + c^2 - 8 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=4c2−8(c2−8)=0\begin{aligned}\Delta &= 4c^2 - 8(c^2 - 8) \\ &= 0\end{aligned}
c2=16⇒c=4\begin{aligned}c^2 &= 16 \Rightarrow c \\ &= 4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המעגל (x−3)2+y2=25(x-3)^2 + y^2 = 25 והישר האנכי x=8x = 8. כמה נקודות משותפות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

d=∣8−3∣=5=r\begin{aligned}d &= |8 - 3| \\ &= 5 \\ &= r\end{aligned}

משיק בנקודה (8,0)(8, 0)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=7y = 7. כמה נקודות משותפות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

d=7>5=r\begin{aligned}d &= 7 > 5 \\ &= r\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe