Tangente au cercle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משיק נוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק — ובנקודת ההשקה הוא מאונך לרדיוס. המשפט הקטן הזה עושה את כל העבודה: מהמרכז ומנקודת ההשקה מחשבים את שיפוע הרדיוס, הופכים ומנגידים — וזה שיפוע המשיק.

mrayon⋅mtangente=−1m_{\text{rayon}} \cdot m_{\text{tangente}} = -1

שיפועים של ישרים מאונכים — מכפלתם מינוס אחת.

משיק בנקודה על המעגל

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והנקודה (3,4)(3, 4) שעליו.

mr=4−03−0=43\begin{aligned}m_r &= \frac{4 - 0}{3 - 0} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז לנקודה

mt=−34m_t = -\frac{3}{4}

הופכי ונגדי

y−4=−34(x−3)y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)

משוואת ישר בנקודה ובשיפוע — סיימנו

מהו אורך המשיק מנקודה חיצונית PP שמרחקה מהמרכז dd?

Voir la réponse et le corrigé

המשולש מרכז–השקה–PP ישר-זווית בנקודת ההשקה, ולכן פיתגורס: ℓ=d2−r2\ell = \sqrt{d^2 - r^2}.

אורך משיק במספרים

מהנקודה (9,0)(9, 0) אל המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.

d=9r=5\begin{aligned}d &= 9 \\ \quad r &= 5\end{aligned}
ℓ=81−25=56≈7.48\begin{aligned}\ell &= \sqrt{81 - 25} \\ &= \sqrt{56} \approx 7.48\end{aligned}

הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק — פיתגורס עושה את השאר

מנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים למעגל. מה אפשר לומר על אורכיהם?

Voir la réponse et le corrigé

שווים — שני המשולשים ישרי-הזווית חופפים (רדיוס משותף ויתר משותף). זה המשפט ששימושי בכל שאלות הדלתון.

ההיפוך שכולם שוכחים.

mt=−43m_t = -\frac{4}{3}
mt=−34m_t = -\frac{3}{4}

נגדי בלבד אינו מאונך — צריך גם הופכי וגם נגדי: הופכים את השבר ומחליפים סימן.

Exercices

Exercice 1

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והנקודה (3,4)(3, 4) שעליו. מהו שיפוע הרדיוס אל הנקודה? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.33

Corrigé :

mr=43≈1.33m_r = \frac{4}{3} \approx 1.33
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותם נתונים: מהו שיפוע המשיק בנקודה? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.75

Corrigé :

mt=−34=−0.75\begin{aligned}m_t &= -\frac{3}{4} \\ &= -0.75\end{aligned}

הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

באותם נתונים: המשיק y=−0.75x+ny = -0.75x + n. מהו nn? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.25

Corrigé :

4=−0.75⋅3+n4 = -0.75 \cdot 3 + n

מציבים את נקודת ההשקה

n=4+2.25=6.25\begin{aligned}n &= 4 + 2.25 \\ &= 6.25\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהנקודה (9,0)(9, 0) מעבירים משיק למעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. מהו אורכו? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.48

Corrigé :

ℓ=d2−r2=81−25=56≈7.48\begin{aligned}\ell &= \sqrt{d^2 - r^2} \\ &= \sqrt{81 - 25} \\ &= \sqrt{56} \approx 7.48\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מנקודה במרחק 13 ממרכז מעגל שרדיוסו 5 — מהו אורך המשיק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

ℓ=169−25=144=12\begin{aligned}\ell &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

השלשה 5-12-13

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המעגל x2+y2=100x^2 + y^2 = 100 והנקודה (6,8)(6, 8) שעליו. מהו שיפוע המשיק בנקודה? (עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.75

Corrigé :

mr=86=43\begin{aligned}m_r &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}
mt=−34m_t = -\frac{3}{4}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 והנקודה (4,6)(4, 6) שעליו. מהו שיפוע הרדיוס אל הנקודה? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.33

Corrigé :

mr=6−24−1=43\begin{aligned}m_r &= \frac{6-2}{4-1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז (1,2)(1,2) — לא מהראשית

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מדוע המשיק בנקודת ההשקה מאונך לרדיוס?

  1. כי המעגל סימטרי
  2. כי כך הוגדר
  3. כל נקודה אחרת על המשיק רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס
  4. זה נכון רק במעגל היחידה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כל נקודה אחרת על המשיק רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס

Corrigé :

d(מרכז,ישר)=rd(\text{מרכז}, \text{ישר}) = r

המרחק הקצר ביותר — האנך

נקודת ההשקה היא הנקודה הקרובה ביותר למרכז על הישר, והמרחק הקצר ביותר תמיד נמדד לאורך האנך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

משיק אופקי למעגל x2+y2=49x^2 + y^2 = 49 — באיזו נקודה עליונה הוא נוגע? כתבו את ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

(0,7)(0, 7)

המשיק y=7y = 7 נוגע בקודקוד העליון

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מנקודה חיצונית שני משיקים באורך 8 כל אחד, והרדיוס 6. מהו מרחק הנקודה מהמרכז?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

d=ℓ2+r2=64+36=10\begin{aligned}d &= \sqrt{\ell^2 + r^2} \\ &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס הפוך

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe