Formule explicite et relation de récurrence

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

אפשר לתאר סדרה בשתי דרכים. נוסחה מפורשת נותנת כל איבר לפי המקום שלו: an=3n+1a_n=3n+1. כלל נסיגה נותן איבר ראשון, ואיך מקבלים כל איבר מהקודם: a1=4a_1=4, an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3. הזיזו את המחוון וראו את שתיהן באותה תמונה.

מהו a10a_{10}? חשבו בנוסחה המפורשת. כמה צעדים של כלל הנסיגה הייתם צריכים כדי להגיע אליו?

Voir la réponse et le corrigé

a10=3⋅10+1=31a_{10}=3 \cdot 10+1=31 בהצבה אחת. בכלל הנסיגה צריך תשעה צעדים מ-a1=4a_1=4. לכן רוצים נוסחה מפורשת, וצריך להוכיח שהיא מתאימה לכלל.

מכלל נסיגה לנוסחה מפורשת

נתון כלל נסיגה, ומוצעת נוסחה an=f(n)a_n=f(n). מוכיחים באינדוקציה שהנוסחה נכונה לכל nn:

11

בדיקה: a1a_1 הנתון שווה ל-f(1)f(1)

22

הנחה: ak=f(k)a_k=f(k)

33

הוכחה: מציבים את ההנחה בכלל הנסיגה, ומראים ש-ak+1=f(k+1)a_{k+1}=f(k+1)

a1=1a_1=1, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. הוכיחו: an=2n−1a_n=2^n-1

בסיס: a1=1=21−1a_1=1=2^1-1. שלב ההוכחה:

ak+1=2ak+1a_{k+1}=2a_k+1

כלל הנסיגה עבור n=kn=k

=2(2k−1)+1=2\left(2^k-1\right)+1

מציבים את ההנחה ak=2k−1a_k=2^k-1

=2k+1−2+1=2k+1−1=2^{k+1}-2+1=2^{k+1}-1

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

נתונה הנוסחה an=n2a_n=n^2. הראו, בלי אינדוקציה, ש-an+1−an=2n+1a_{n+1}-a_n=2n+1.

Voir la réponse et le corrigé

(n+1)2−n2=2n+1(n+1)^2-n^2=2n+1. מהנוסחה המפורשת מגיעים לכלל בהצבה ישירה. הכיוון השני, מהכלל לנוסחה, דורש אינדוקציה: הכלל לבדו לא אומר מאיפה מתחילים.

סכום ואיבר

אם SnS_n הוא סכום nn האיברים הראשונים, אז Sn+1=Sn+an+1S_{n+1}=S_n+a_{n+1}. זה כלל נסיגה של הסכומים. מהכיוון ההפוך, כשידועה נוסחה של SnS_n, מקבלים כל איבר: an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} עבור n≥2n \geq 2, ו-a1=S1a_1=S_1.

Sn=n2+nS_n=n^2+n. מצאו את a5a_5

כאן SnS_n הוא סכום nn האיברים הראשונים של סדרה.

S5=30S4=20\begin{aligned}S_5 &= 30 \\ \quad S_4 &= 20\end{aligned}

On remplace (מציבים)

a5=S5−S4=10\begin{aligned}a_5 &= S_5-S_4 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר החמישי הוא מה שנוסף בין S4S_4 ל-S5S_5

בשלב 3 מתחילים תמיד מכלל הנסיגה: ak+1=…ak…a_{k+1}=\dots a_k\dots. רק כך נכנסת ההנחה. מי שמתחיל מ-f(k+1)f(k+1) ומנסה להגיע לכלל, מוכיח את הכיוון ההפוך.

הטעויות בהוכחה של נוסחה מפורשת.

ak+1=2ak+1=2⋅2k−1+1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2a_k+1 \\ &= 2 \cdot 2^k-1+1\end{aligned}
ak+1=2(2k−1)+1a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1

מציבים את aka_k בתוך סוגריים. בלי סוגריים, רק 2k2^k מוכפל ב-22.

a1=4 an+1=an+3 ⇒ an=3n+4\begin{aligned}a_1 &= 4 \\ \ a_{n+1} &= a_n+3 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 3n+4\end{aligned}
an=3n+1a_n=3n+1

לא לשכוח את הבסיס: 3⋅1+4=7≠43 \cdot 1+4=7 \neq 4. הכלל an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3 מתקיים בשתי הנוסחאות, רק הבסיס מבדיל ביניהן.

Exercices

Exercice 1

נתון: a1=3a_1=3, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1. מצאו את a4a_4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17

Corrigé :

a2=2⋅3−1=5\begin{aligned}a_2 &= 2 \cdot 3-1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את a1a_1 בכלל

a3=2⋅5−1=9\begin{aligned}a_3 &= 2 \cdot 5-1 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים את a2a_2

a4=2⋅9−1=17\begin{aligned}a_4 &= 2 \cdot 9-1 \\ &= 17\end{aligned}

מציבים את a3a_3

כל איבר נבנה מהקודם. המלכודת: לעצור ב-a3a_3, או לחשב a4a_4 כ-2⋅4−12 \cdot 4-1, כאילו זו נוסחה מפורשת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון: a1=3a_1=3, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1. איזו נוסחה מפורשת מתאימה לסדרה?

  1. an=2n+1a_n=2n+1
  2. an=2n+1a_n=2^n+1
  3. an=2n+1−1a_n=2^{n+1}-1
  4. an=3⋅2n−1a_n=3 \cdot 2^{n-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B an=2n+1a_n=2^n+1

Corrigé :

3, 5, 9, 173,\ 5,\ 9,\ 17

האיברים הראשונים

21+1=3 22+1=5 23+1=9\begin{aligned}2^1+1 &= 3 \\ \ 2^2+1 &= 5 \\ \ 2^3+1 &= 9\end{aligned}

בדיקה

2(2k+1)−1=2k+1+12\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+1

הצעד

הנכונה: 2n+12^n+1. 2n+12n+1 עובדת עבור n=1,2n=1,2 ונכשלת ב-n=3n=3 (7≠97 \neq 9). 3⋅2n−13 \cdot 2^{n-1} נותנת 66 במקום 55. 2n+1−12^{n+1}-1 נותנת a1=3a_1=3 ואז a2=7a_2=7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון: a1=3a_1=3, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1. השלימו את שלב ההוכחה ש-an=2n+1a_n=2^n+1.

ak+1=2(2k+1)−1=2k+1+a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+ ____ −1=2k+1+-1=2^{k+1}+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ak+1=2(2k+1)−1=2k+1+a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+ 2 −1=2k+1+-1=2^{k+1}+ 1

Corrigé :

2(2k+1)=2k+1+22\left(2^k+1\right)=2^{k+1}+2

פתיחת סוגריים

2k+1+2−1=2k+1+12^{k+1}+2-1=2^{k+1}+1

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

ה-22 מוכפל גם ב-11 שבתוך הסוגריים. בלי זה מקבלים 2k+12^{k+1}, והצעד «נכשל» בגלל טעות חישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: הנוסחה an=3n+1a_n=3n+1 מתאימה לסדרה a1=4a_1=4, an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a1=3⋅1+1=4\begin{aligned}a_1 &= 3 \cdot 1+1 \\ &= 4\end{aligned}

בסיס

ak+1=3k+1+3=3(k+1)+1\begin{aligned}a_{k+1} &= 3k+1+3 \\ &= 3(k+1)+1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. הבסיס והצעד מתקיימים. זו הסדרה שבציור. שימו לב: הצעד לבדו מתקיים גם ב-3n+73n+7, ורק הבסיס מכריע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לסדרה יש נוסחה מפורשת an=5⋅2na_n=5 \cdot 2^n. איזה כלל נסיגה מתאר אותה?

  1. a1=5a_1=5, an+1=2ana_{n+1}=2a_n
  2. a1=10a_1=10, an+1=5ana_{n+1}=5a_n
  3. a1=10a_1=10, an+1=2ana_{n+1}=2a_n
  4. a1=10a_1=10, an+1=an+5a_{n+1}=a_n+5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C a1=10a_1=10, an+1=2ana_{n+1}=2a_n

Corrigé :

a1=5⋅2=10\begin{aligned}a_1 &= 5 \cdot 2 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר הראשון

an+1an=5⋅2n+15⋅2n=2\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} \\ &= 2\end{aligned}

היחס בין איברים סמוכים

הנכונה: a1=10a_1=10, an+1=2ana_{n+1}=2a_n. a1=5a_1=5 היה נכון רק אם החזקה הייתה 2n−12^{n-1}. an+1=5ana_{n+1}=5a_n מבלבל בין המקדם למנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון: a1=1a_1=1, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. סדרו את ההוכחה ש-an=2n−1a_n=2^n-1.

  • בודקים: a1=1=21−1a_1=1=2^1-1
  • כותבים את כלל הנסיגה: ak+1=2ak+1a_{k+1}=2a_k+1
  • מניחים: ak=2k−1a_k=2^k-1
  • מציבים את ההנחה: ak+1=2(2k−1)+1a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1
  • מקבלים ak+1=2k+1−1a_{k+1}=2^{k+1}-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בודקים: a1=1=21−1a_1=1=2^1-1 · מניחים: ak=2k−1a_k=2^k-1 · כותבים את כלל הנסיגה: ak+1=2ak+1a_{k+1}=2a_k+1 · מציבים את ההנחה: ak+1=2(2k−1)+1a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1 · מקבלים ak+1=2k+1−1a_{k+1}=2^{k+1}-1

Corrigé :

ak+1=2k+1−2+1=2k+1−1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2^{k+1}-2+1 \\ &= 2^{k+1}-1\end{aligned}

הצעד

שלב 3 מתחיל מכלל הנסיגה, ורק אחר כך מציבים את ההנחה. המלכודת: להציב את הנוסחה 2k+1−12^{k+1}-1 בכלל, כלומר להניח את מה שמוכיחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון: a1=2a_1=2, an+1=3an+2a_{n+1}=3a_n+2. לפניכם שלב ההוכחה ש-an=3n−1a_n=3^n-1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

ak+1=3ak+2a_{k+1}=3a_k+2
=3(3k−1)+2=3\left(3^k-1\right)+2
=3k+1−1+2=3^{k+1}-1+2
=3k+1−1=3^{k+1}-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =3k+1−1+2=3^{k+1}-1+2 → =3k+1−3+2=3^{k+1}-3+2

Corrigé :

3(3k−1)=3k+1−33\left(3^k-1\right)=3^{k+1}-3

ה-33 כופל גם את −1-1

הכפל בסוגריים חל על שני המחוברים. השורה האחרונה נכונה, אבל היא לא נובעת מהשורה השגויה: 3k+1−1+2=3k+1+13^{k+1}-1+2=3^{k+1}+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

SnS_n הוא סכום nn האיברים הראשונים של סדרה, ו-Sn=n2+nS_n=n^2+n לכל nn. מצאו את a5a_5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

S5=25+5=30\begin{aligned}S_5 &= 25+5 \\ &= 30\end{aligned}

סכום חמשת האיברים

S4=16+4=20\begin{aligned}S_4 &= 16+4 \\ &= 20\end{aligned}

סכום ארבעת האיברים

a5=S5−S4=10\begin{aligned}a_5 &= S_5-S_4 \\ &= 10\end{aligned}

מה שנוסף באיבר החמישי

a5a_5 הוא ההפרש S5−S4S_5-S_4, לא S5S_5 עצמו. המלכודת: לענות 3030.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו באינדוקציה: הסדרה a1=1a_1=1, an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1 מקיימת an=n2a_n=n^2 לכל nn טבעי.

  • a1=1a_1=1
  • an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1

an=n2a_n=n^2

Voir la réponse et le corrigé
  1. a1=1=12a_1=1=1^2 — בדיקה עבור n=1n=1
  2. ak=k2a_k=k^2 — הנחת האינדוקציה
  3. ak+1=k2+2k+1a_{k+1}=k^2+2k+1 — כלל הנסיגה עבור n=kn=k, והצבת ההנחה
  4. ak+1=(k+1)2a_{k+1}=(k+1)^2 — נוסחת הכפל המקוצר: זו הטענה עבור n=k+1n=k+1

Corrigé :

ak+1=ak+2k+1=k2+2k+1=(k+1)2\begin{aligned}a_{k+1} &= a_k+2k+1 \\ &= k^2+2k+1 \\ &= (k+1)^2\end{aligned}

הצעד

בכלל הנסיגה עבור n=kn=k המחובר הוא 2k+12k+1, לא 2(k+1)+12(k+1)+1. המלכודת: להציב k+1k+1 בכלל במקום kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון: a1=1a_1=1, an+1=an1+ana_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}. חשבו כמה איברים ובחרו את הנוסחה המפורשת.

  1. an=1n2a_n=\frac{1}{n^2}
  2. an=12n−1a_n=\frac{1}{2^{n-1}}
  3. an=1na_n=\frac{1}{n}
  4. an=nn+1a_n=\frac{n}{n+1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C an=1na_n=\frac{1}{n}

Corrigé :

a2=12 a3=1/23/2=13\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{2} \\ \ a_3 &= \frac{1/2}{3/2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

האיברים

1/k1+1/k=1k+1\frac{1/k}{1+1/k}=\frac{1}{k+1}

הצעד: כופלים מונה ומכנה ב-kk

הנכונה: 1n\frac{1}{n}. 12n−1\frac{1}{2^{n-1}} מתאימה ל-a1a_1 ול-a2a_2 ונכשלת ב-a3a_3: שני איברים לא מספיקים כדי לבחור נוסחה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe