On résout ensemble · Tableaux et arbres · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון שאלת ההסתברות של הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פרמטר $p$ עם בייס וברנולי, חזרה עד ההצלחה הראשונה, ברנולי עם תנאי, ועץ תלוי עם הסתברות «בדיעבד». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. אחרי כל אחת מחכה שאלה תאומה ברשימה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר, בייס וברנולי בשאלה אחת

Activité interactive

בחברת תוכנה, 40% מהעובדים עובדים מהבית בחלק מהשבוע ( $H$ ). מבין העובדים מהבית, $p$ מגיעים למשרד ברכבת ( $R$ ). מבין האחרים, 20% מגיעים ברכבת. ידוע שמבין המגיעים ברכבת, מחצית עובדים מהבית. א. מצאו את $p$ . ב. האם $H$ ו- $R$ בלתי תלויים? ג. בוחרים 5 עובדים באקראי. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם מגיעים ברכבת?

\begin{aligned}P(H) &= 0.4 \\ \quad P(R \mid H) &= p \\ \quad P(R \mid \bar{H}) &= 0.2 \\ \quad P(H \mid R) &= 0.5\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנתון «מבין המגיעים ברכבת» הוא הסתברות מותנית, והוא יהיה המשוואה.

הסתברות שלמה

\begin{aligned}P(R) &= 0.4p+0.6 \cdot 0.2 \\ &= 0.4p+0.12\end{aligned}

שני מסלולים מגיעים ל- $R$ .

א. משוואה

\begin{aligned}\frac{0.4p}{0.4p+0.12} &= 0.5 \ \Rightarrow \ 0.4p \\ &= 0.2p+0.06\end{aligned}

בייס: המסלול של $H$ חלקי כל המסלולים.

א.

p=0.3

והוא בין $0$ ל- $1$ ✓

ב.

\begin{aligned}P(R) &= 0.12+0.12 \\ &= 0.24 \neq 0.3 \\ &= P(R \mid H)\end{aligned}

המאורעות תלויים.

ג.

P_5(2)=\binom{5}{2} \cdot 0.24^2 \cdot 0.76^3 \approx 0.25

ברנולי, עם ההסתברות $P(R)=0.24$ שמצאנו.

סעיף ג תלוי בסעיף א: בלי $p$ אין $P(R)$ . בבגרות, טעות בסעיף הראשון עוברת לכל ההמשך, ולכן בודקים אותו לפני שממשיכים.

Faire l'activité sur elev

עובד אקראי לא מגיע ברכבת. מה ההסתברות שהוא עובד מהבית?

Voir la réponse et le corrigé

$P(H \cap \bar{R})=0.4 \cdot 0.7=0.28$ ו- $P(\bar{R})=1-0.24=0.76$ . לכן $\frac{0.28}{0.76}=\frac{7}{19} \approx 0.37$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — עד ההצלחה הראשונה

Activité interactive

שולפים עד שיוצא לבן

בקופסה 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. שולפים כדור, רושמים את צבעו ומחזירים אותו. ממשיכים לשלוף עד שיוצא כדור לבן. מה ההסתברות שיידרשו בדיוק 4 שליפות?

$\left(\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \frac{3}{5}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \frac{2}{5}$

$4 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \frac{2}{5}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^4$

מה ההסתברות להוציא לבן בשליפה אחת, והאם היא משתנה משליפה לשליפה?

$\frac{2}{5}$ , והיא לא משתנה

Voir la réponse et le corrigé

מחזירים את הכדור, ולכן הקופסה תמיד אותה קופסה.

$\frac{2}{5}$ בהתחלה, ואחר כך יותר

Voir la réponse et le corrigé

זה היה נכון בלי החזרה. כאן הכדור חוזר.

\begin{aligned}p &= \frac{2}{5} \\ \quad 1-p &= \frac{3}{5}\end{aligned}

אותה הסתברות בכל שליפה

מה צריך לקרות כדי שיידרשו בדיוק 4 שליפות?

שלושה אדומים, ואחריהם לבן

Voir la réponse et le corrigé

הלבן הראשון מופיע בשליפה הרביעית.

לבן אחד בכלשהי מ-4 השליפות

Voir la réponse et le corrigé

אם הלבן יוצא קודם, מפסיקים קודם. הלבן חייב להיות אחרון.

R \ R \ R \ W

מסלול אחד בלבד

איך מחשבים את ההסתברות של המסלול?

כופלים לאורך המסלול

Voir la réponse et le corrigé

השליפות בלתי תלויות.

כופלים ב-4, מספר המקומות של הלבן

Voir la réponse et le corrigé

יש רק מקום אחד ללבן: האחרון.

\left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \frac{2}{5}=\frac{54}{625} \approx 0.086

שלושה כישלונות ואז הצלחה

Voir la réponse et le corrigé

הנכונה: $\left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \frac{2}{5}$ . האפשרות הראשונה מחליפה בין אדום ללבן. המקדם $4$ שייך לשאלת ברנולי («לבן אחד בדיוק מתוך 4»), לא לשאלת «עד ש...». $\left(\frac{3}{5}\right)^4$ היא ארבעה אדומים, ואז ממשיכים לשלוף.

Faire l'activité sur elev

מה ההסתברות שיידרשו לכל היותר 3 שליפות?

Voir la réponse et le corrigé

המשלים: שלוש השליפות הראשונות כולן אדומות. $1-\left(\frac{3}{5}\right)^3=1-\frac{27}{125}=\frac{98}{125}=0.784$ .

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — ברנולי עם תנאי

Activité interactive

בכל יום עבודה, הרכבת של שירה מאחרת בהסתברות $0.2$ , בלי תלות בימים אחרים. שירה נוסעת 5 ימים בשבוע. א. מה ההסתברות שבשבוע מסוים הרכבת תאחר בדיוק פעמיים? ב. מה ההסתברות שתאחר לפחות פעם אחת? ג. ידוע שבשבוע מסוים הרכבת איחרה לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שאיחרה בדיוק פעמיים?

\begin{aligned}n &= 5 \\ \quad p &= 0.2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מספר הימים קבוע, ושואלים כמה איחורים: ברנולי.

א.

\begin{aligned}P_5(2) &= \binom{5}{2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^3 \\ &= 10 \cdot 0.04 \cdot 0.512 \\ &= 0.2048\end{aligned}

עשרה סדרים אפשריים לשני ימי האיחור.

ב.

\begin{aligned}1-0.8^5 &= 1-0.32768 \\ &= 0.67232\end{aligned}

המשלים: אף איחור.

ג. המונה

\begin{aligned}P(2 \cap \geq 1) &= P_5(2) \\ &= 0.2048\end{aligned}

«בדיוק 2» כבר נמצא בתוך «לפחות 1».

ג.

\frac{0.2048}{0.67232} \approx 0.30

חלקי ההסתברות של התנאי.

בסעיף ג החיתוך הוא פשוט: כל שבוע עם בדיוק שני איחורים הוא גם שבוע עם איחור אחד לפחות. זה לא תמיד כך, ולכן כותבים את החיתוך במפורש.

Faire l'activité sur elev

ידוע שבשבוע מסוים הרכבת איחרה בדיוק פעמיים. מה ההסתברות שאחד האיחורים היה ביום ראשון?

Voir la réponse et le corrigé

יש $\binom{5}{2}=10$ זוגות ימים, כולם שווי הסתברות. ביום ראשון נמצאים $\binom{4}{1}=4$ מהם. התשובה $\frac{4}{10}=0.4$ , והיא אינה תלויה ב- $0.2$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — עץ תלוי והסתברות בדיעבד

Activité interactive

גשם אחרי גשם

בעונת החורף בעיר מסוימת: אם ירד גשם ביום מסוים, מחר ירד גשם בהסתברות $0.6$ . אם לא ירד גשם, מחר ירד גשם בהסתברות $0.2$ . ביום ראשון ירד גשם. ידוע שביום שלישי ירד גשם. מה ההסתברות שירד גשם גם ביום שני?

$0.6$

$0.36$

$0.44$

$\frac{9}{11}$

איך נראה העץ, ומאיפה מתחילים?

משני ענפים ליום שני: גשם $0.6$ , בלי גשם $0.4$

Voir la réponse et le corrigé

ביום ראשון ירד גשם, ולכן יום שני נקבע לפי «אחרי גשם».

משני ענפים ליום ראשון: גשם $0.6$ , בלי גשם $0.4$

Voir la réponse et le corrigé

יום ראשון כבר ידוע: ירד גשם. הוא השורש, לא ענף.

\begin{aligned}P(M) &= 0.6 \\ \quad P(\bar{M}) &= 0.4\end{aligned}

$M$ : גשם ביום שני

מה ההסתברות לגשם ביום שלישי?

$0.6 \cdot 0.6+0.4 \cdot 0.2$

Voir la réponse et le corrigé

הסתברות שלמה: שני מסלולים.

$0.6 \cdot 0.6$

Voir la réponse et le corrigé

זה רק המסלול שעובר דרך גשם ביום שני.

\begin{aligned}P(T) &= 0.36+0.08 \\ &= 0.44\end{aligned}

$T$ : גשם ביום שלישי

ידוע שירד גשם ביום שלישי. מה ההסתברות לגשם ביום שני?

$\frac{0.36}{0.44}$

Voir la réponse et le corrigé

המסלול דרך $M$ חלקי כל המסלולים שמסתיימים ב- $T$ .

Voir la réponse et le corrigé

זה $P(M)$ בלי המידע על יום שלישי.

\begin{aligned}P(M \mid T) &= \frac{0.36}{0.44} \\ &= \frac{9}{11} \approx 0.82\end{aligned}

בייס

Voir la réponse et le corrigé

הנכונה: $\frac{9}{11}$ . $0.6$ מתעלם מהמידע על יום שלישי. $0.36$ הוא «וגם», בלי לחלק בתנאי. $0.44$ היא ההסתברות לגשם ביום שלישי, כלומר המכנה בלבד.

Faire l'activité sur elev

האם «גשם ביום שני» ו«גשם ביום שלישי» בלתי תלויים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $P(T \mid M)=0.6$ , אבל $P(T)=0.44$ . הידיעה שירד גשם ביום שני מעלה את הסיכוי לגשם ביום שלישי. כך בנוי מזג האוויר בשאלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

בעיר מסוימת, 30% מהתושבים גרים במרכז העיר ( $C$ ). מבין הגרים במרכז, $p$ נוסעים לעבודה באופניים ( $B$ ). מבין האחרים, 10% נוסעים באופניים. ידוע שמבין הנוסעים באופניים, 60% גרים במרכז. מצאו את $p$ , ואת ההסתברות שתושב אקראי נוסע באופניים. (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$p=$ ____ , $P(B)=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $p=$ 0.35 , $P(B)=$ 0.175

Corrigé :

\begin{aligned}P(B) &= 0.3p+0.7 \cdot 0.1 \\ &= 0.3p+0.07\end{aligned}

הסתברות שלמה

\frac{0.3p}{0.3p+0.07}=0.6

בייס: הנתון «מבין הנוסעים באופניים»

\begin{aligned}0.3p &= 0.18p+0.042 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.35\end{aligned}

\begin{aligned}P(B) &= 0.105+0.07 \\ &= 0.175\end{aligned}

On remplace (מציבים)

$0.6$ הוא $P(C \mid B)$ , לא $P(B \mid C)$ . מי שהציב $p=0.6$ בלבל בין שני הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בקופסה 4 כדורים אדומים וכדור לבן אחד. שולפים כדור, רושמים את צבעו ומחזירים אותו, עד שיוצא הכדור הלבן. מה ההסתברות שיידרשו בדיוק 3 שליפות?

$3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5}$
$\left(\frac{4}{5}\right)^3$
$\left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5}$
$\left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot \frac{4}{5}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5}$

Corrigé :

\begin{aligned}\left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} &= \frac{16}{125} \\ &= 0.128\end{aligned}

שני אדומים ואז הלבן

הנכונה: $\left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5}$ . המקדם $3$ שייך לשאלת ברנולי. כאן הלבן חייב להיות אחרון, ולכן יש מסלול אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בכל יום, מכונת הקפה במשרד מתקלקלת בהסתברות $0.1$ , בלי תלות בימים אחרים. בודקים 4 ימים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

בדיוק תקלה אחת: ____ , לפחות תקלה אחת: ____ , בדיוק תקלה אחת, אם ידוע שהייתה לפחות אחת: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בדיוק תקלה אחת: 0.29 , לפחות תקלה אחת: 0.34 , בדיוק תקלה אחת, אם ידוע שהייתה לפחות אחת: 0.85

Corrigé :

\begin{aligned}P_4(1) &= 4 \cdot 0.1 \cdot 0.9^3 \\ &= 0.2916\end{aligned}

ברנולי

\begin{aligned}1-0.9^4 &= 1-0.6561 \\ &= 0.3439\end{aligned}

המשלים

\frac{0.2916}{0.3439} \approx 0.85

«בדיוק אחת» נמצא בתוך «לפחות אחת»

בסעיף השלישי המכנה הוא $0.3439$ , לא $1$ . התנאי «הייתה לפחות תקלה» מוציא את הסדרות בלי תקלה בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אם ירד גשם ביום מסוים, מחר ירד גשם בהסתברות $0.5$ . אם לא ירד גשם, מחר ירד גשם בהסתברות $0.1$ . ביום ראשון ירד גשם, וידוע שגם ביום שלישי ירד גשם. מה ההסתברות שירד גשם ביום שני? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.83

Corrigé :

\begin{aligned}P(T) &= 0.5 \cdot 0.5+0.5 \cdot 0.1 \\ &= 0.3\end{aligned}

שני מסלולים ליום שלישי

\begin{aligned}P(M \mid T) &= \frac{0.25}{0.3} \\ &= \frac{5}{6} \approx 0.83\end{aligned}

בייס

יום ראשון הוא השורש של העץ, לא ענף. מי שענה $0.5$ לא השתמש במידע על יום שלישי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקופסה 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. שולפים כדור ומחזירים אותו, עד שיוצא כדור לבן. מה ההסתברות שיידרשו לכל היותר 2 שליפות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.64

Corrigé :

1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{9}{25}

המשלים: שתי השליפות הראשונות אדומות

=\frac{16}{25}=0.64

בדרך הארוכה: $\frac{2}{5}+\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}=0.4+0.24=0.64$ ✓. מי שענה $0.24$ חישב רק את «בדיוק 2».

Vérifier la réponse sur elev

1 — פרמטר, בייס וברנולי בשאלה אחת

2 — עד ההצלחה הראשונה

3 — ברנולי עם תנאי

4 — עץ תלוי והסתברות בדיעבד

Exercices

La suite se pratique sur elev