Jusqu'au premier succès, et Bernoulli

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

רוני מנסה לפתוח את מנעול האופניים שלה עם צרור של ארבעה מפתחות דומים. בכל ניסיון היא בוחרת מפתח אקראי, כי היא לא זוכרת איזה כבר ניסתה. לכן בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 14\frac{1}{4}, בלי קשר לניסיונות הקודמים. היא מנסה עד שהמנעול נפתח. באיזה ניסיון זה יקרה?

(1−p)n−1⋅p(1-p)^{n-1} \cdot p

ההסתברות שההצלחה הראשונה תהיה בניסיון ה-nn: קודם n−1n-1 כישלונות ברצף, ואחריהם הצלחה.

מה ההסתברות שהמנעול ייפתח לראשונה בניסיון השלישי?

Voir la réponse et le corrigé

שני כישלונות ואז הצלחה: (34)2⋅14=964≈0.14\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{64} \approx 0.14. המעריך הוא 22, מספר הכישלונות, ולא 33.

«לכל היותר nn ניסיונות»

«לכל היותר nn ניסיונות» פירושו: ההצלחה הראשונה בניסיון 1, או 2, ..., או nn. אפשר לחבר את כל המסלולים, אבל דרך המשלים קצרה יותר. צריך יותר מ-nn ניסיונות רק כש-nn הניסיונות הראשונים כולם נכשלו.

1−(1−p)n1-(1-p)^{n}

ההסתברות להצליח לכל היותר ב-nn ניסיונות. זו גם ההסתברות ל«לפחות הצלחה אחת» ב-nn ניסיונות.

כמה ניסיונות צריך?

מה ההסתברות שרוני תפתח את המנעול תוך 3 ניסיונות לכל היותר? ומהו מספר הניסיונות הקטן ביותר nn שבשבילו ההסתברות לפתוח תוך nn ניסיונות לכל היותר גדולה מ-0.90.9?

1−(34)3=1−2764=3764≈0.58\begin{aligned}1-\left(\frac{3}{4}\right)^3 &= 1-\frac{27}{64} \\ &= \frac{37}{64} \approx 0.58\end{aligned}

המשלים: שלושה כישלונות

1−0.75n>0.9 ⇔ 0.75n<0.11-0.75^n>0.9 \ \Leftrightarrow \ 0.75^n<0.1

מעבירים אגפים

0.758≈0.10010.759≈0.0750.75^8 \approx 0.1001 \qquad 0.75^9 \approx 0.075

מנסים ערכים של nn במחשבון

n=9n=9

הערך הראשון שבו החזקה קטנה מ-0.10.1

נוסחת ברנולי

כשמספר הניסיונות קבוע מראש (nn), והשאלה היא כמה מהם יצליחו, משתמשים בנוסחת ברנולי. התנאים: הניסיונות בלתי תלויים, ובכל אחד מהם אותה הסתברות הצלחה pp.

Pn(k)=(nk)pk(1−p)n−kP_n(k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

ההסתברות לבדיוק kk הצלחות ב-nn ניסיונות. (nk)\binom{n}{k} הוא מספר המסלולים. הנוסחה מופיעה בדף הנוסחאות.

Pn(k)P_n(k)

בדיוק kk הצלחות

Pn(k)+Pn(k+1)+⋯+Pn(n)P_n(k)+P_n(k+1)+\dots+P_n(n)

לפחות kk הצלחות

1−(1−p)n1-(1-p)^n

לפחות אחת: דרך המשלים «אף אחת»

שותלים 5 שתילים, וכל אחד נקלט בהסתברות 0.80.8, בלי תלות באחרים. מה ההסתברות שבדיוק 4 ייקלטו? ומה ההסתברות שלפחות 4 ייקלטו?

Voir la réponse et le corrigé

בדיוק 4: (54)⋅0.84⋅0.2=5⋅0.4096⋅0.2=0.4096\binom{5}{4} \cdot 0.8^4 \cdot 0.2=5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2=0.4096. לפחות 4: מוסיפים את 0.85=0.327680.8^5=0.32768, ומקבלים 0.737280.73728.

ברנולי ותנאי

שאלה נפוצה בבגרות: «ידוע ש...» על סדרה של ניסיונות. זו הסתברות מותנית, וגם המונה וגם המכנה מחושבים בנוסחת ברנולי.

ידוע שקלעה לפחות 3

שחקנית קולעת בהסתברות 0.60.6, והיא זורקת 4 זריקות בלתי תלויות. ידוע שקלעה לפחות 3 פעמים. מה ההסתברות שקלעה בכל הארבע?

P4(4)=0.64=0.1296\begin{aligned}P_4(4) &= 0.6^4 \\ &= 0.1296\end{aligned}

המונה: «כל הארבע» הוא חלק מ«לפחות 3»

P4(3)=4⋅0.63⋅0.4=0.3456\begin{aligned}P_4(3) &= 4 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4 \\ &= 0.3456\end{aligned}

בדיוק 3

P4(3)+P4(4)=0.4752P_4(3)+P_4(4)=0.4752

המכנה: התנאי

0.12960.4752=311≈0.27\frac{0.1296}{0.4752}=\frac{3}{11} \approx 0.27

הסתברות מותנית

זהו קודם את סוג השאלה. מספר ניסיונות קבוע, ושואלים כמה הצלחות: ברנולי. מנסים עד שמצליחים, ושואלים מתי: כישלונות ברצף ואז הצלחה.

שלוש טעויות בחזרות.

(1−p)n⋅p(1-p)^{n} \cdot p
(1−p)n−1⋅p(1-p)^{n-1} \cdot p

לפני הצלחה בניסיון ה-nn יש n−1n-1 כישלונות, לא nn.

P(≥4)=P5(4)=0.4096\begin{aligned}P(\geq 4) &= P_5(4) \\ &= 0.4096\end{aligned}
P(≥4)=P5(4)+P5(5)=0.73728\begin{aligned}P(\geq 4) &= P_5(4)+P_5(5) \\ &= 0.73728\end{aligned}

«לפחות 4» כולל גם את 5.

P(4∣≥3)=P4(4)P(4 \mid \geq 3)=P_4(4)
P(4∣≥3)=P4(4)P4(3)+P4(4)P(4 \mid \geq 3)=\frac{P_4(4)}{P_4(3)+P_4(4)}

התנאי מקטין את העולם, ולכן מחלקים בהסתברות שלו.

Exercices

Exercice 1

בכל ניסיון לעבור את מבחן הנהיגה המעשי, ההסתברות לעבור היא 0.40.4, בלי תלות בניסיונות הקודמים. מה ההסתברות לעבור לראשונה בניסיון השלישי? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.144

Corrigé :

0.62⋅0.40.6^2 \cdot 0.4

שני כישלונות ואז הצלחה

=0.36⋅0.4=0.144=0.36 \cdot 0.4=0.144

מי שכתב 0.63⋅0.40.6^3 \cdot 0.4 ספר שלושה כישלונות לפני הניסיון השלישי. יש רק שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותם נתונים: מה ההסתברות לעבור את המבחן תוך שלושה ניסיונות לכל היותר? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.784

Corrigé :

1−0.631-0.6^3

המשלים: שלושה כישלונות

=1−0.216=0.784=1-0.216=0.784

בדיקה בדרך הארוכה: 0.4+0.6⋅0.4+0.62⋅0.4=0.4+0.24+0.144=0.7840.4+0.6 \cdot 0.4+0.6^2 \cdot 0.4=0.4+0.24+0.144=0.784 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא pp, והניסיונות בלתי תלויים. מנסים עד ההצלחה הראשונה. מה ההסתברות שההצלחה הראשונה תהיה בניסיון החמישי?

  1. (51)p(1−p)4\binom{5}{1} p (1-p)^4
  2. p4(1−p)p^4 (1-p)
  3. (1−p)5p(1-p)^5 p
  4. (1−p)4p(1-p)^4 p
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (1−p)4p(1-p)^4 p

Corrigé :

(1−p)4⋅p(1-p)^4 \cdot p

ארבעה כישלונות, ואז הצלחה

הנכונה: (1−p)4p(1-p)^4 p. המקדם (51)\binom{5}{1} סופר את כל המקומות של ההצלחה, אבל כאן היא חייבת להיות האחרונה. p4(1−p)p^4(1-p) מחליף בין הצלחה לכישלון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.50.5, והניסיונות בלתי תלויים. מהו מספר הניסיונות הקטן ביותר nn שבשבילו ההסתברות להצליח לפחות פעם אחת גדולה מ-0.950.95?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

1−0.5n>0.95 ⇔ 0.5n<0.051-0.5^n>0.95 \ \Leftrightarrow \ 0.5^n<0.05

המשלים

0.54=0.06250.55=0.03125\begin{aligned}0.5^4 &= 0.0625 \qquad 0.5^5 \\ &= 0.03125\end{aligned}

מנסים ערכים

n=5n=5

ב-n=4n=4 ההסתברות היא 0.93750.9375, עדיין לא מעל 0.950.95. בודקים את שני הערכים הסמוכים, ולא עוצרים בראשון שנראה «קרוב».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במבחן אמריקאי 6 שאלות, ולכל שאלה 4 תשובות, מהן אחת נכונה. תלמיד מנחש בכל שאלה. מה ההסתברות שיענה נכון על בדיוק 2 שאלות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

P6(2)=(62)(14)2(34)4P_6(2)=\binom{6}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^4

ברנולי

=15⋅116⋅81256=12154096≈0.30=15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256}=\frac{1215}{4096} \approx 0.30

בלי (62)=15\binom{6}{2}=15 חישבתם רק מסלול אחד: שתי השאלות הראשונות נכונות והשאר לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכל יום עבודה הרכבת מאחרת בהסתברות 0.20.2, בלי תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שבשבוע של 5 ימי עבודה הרכבת תאחר לפחות פעמיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.26

Corrigé :

P5(0)=0.85=0.32768\begin{aligned}P_5(0) &= 0.8^5 \\ &= 0.32768\end{aligned}

אף איחור

P5(1)=5⋅0.2⋅0.84=0.4096\begin{aligned}P_5(1) &= 5 \cdot 0.2 \cdot 0.8^4 \\ &= 0.4096\end{aligned}

איחור אחד

1−0.32768−0.4096=0.26272≈0.261-0.32768-0.4096=0.26272 \approx 0.26

המשלים של «לכל היותר פעם אחת»

המשלים של «לפחות 2» הוא «0 או 1», לא «בדיוק 1».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שחקנית זורקת 4 זריקות בלתי תלויות, ובכל אחת קולעת בהסתברות pp. ידוע שקלעה בדיוק פעמיים. מה ההסתברות שהזריקה הראשונה הייתה קליעה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

p⋅(31)p(1−p)2p \cdot \binom{3}{1} p (1-p)^2

הראשונה קליעה, ועוד קליעה אחת מבין שלוש האחרות

P(2)=(42)p2(1−p)2P(2)=\binom{4}{2} p^2 (1-p)^2

בדיוק שתיים

36=0.5\frac{3}{6}=0.5

p2(1−p)2p^2(1-p)^2 מצטמצם

התשובה אינה תלויה ב-pp: כל ששת הסדרים של שתי קליעות שווי הסתברות, ובשלושה מהם הראשונה קליעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. ההסתברות לבדיוק 2 «עץ» היא 12\frac{1}{2}, כי בממוצע חצי מההטלות הן «עץ».

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P4(2)=(42)⋅116=616=38\begin{aligned}P_4(2) &= \binom{4}{2} \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{6}{16} \\ &= \frac{3}{8}\end{aligned}

ברנולי

38≠12\frac{3}{8} \neq \frac{1}{2}

הטענה לא נכונה. «בממוצע חצי» לא אומר «בדיוק חצי ברוב הפעמים». יותר ממחצית מהסדרות (1016\frac{10}{16}) אינן מאוזנות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשחק זורקים קובייה הוגנת בכל תור, ומנצחים כשיוצא 6. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

ניצחון לראשונה בתור השלישי: ____ , לפחות ניצחון אחד ב-4 תורות: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ניצחון לראשונה בתור השלישי: 0.12 , לפחות ניצחון אחד ב-4 תורות: 0.52

Corrigé :

(56)2⋅16=25216≈0.12\left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{216} \approx 0.12

שני תורות בלי 6, ואז 6

1−(56)4=1−6251296=6711296≈0.52\begin{aligned}1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 &= 1-\frac{625}{1296} \\ &= \frac{671}{1296} \approx 0.52\end{aligned}

המשלים: ארבעה תורות בלי 6

שתי שאלות שונות על אותו ניסוי: הראשונה שואלת מתי, השנייה שואלת כמה. מי שענה 4⋅164 \cdot \frac{1}{6} בשנייה חיבר הסתברויות של מאורעות לא זרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו את השאלות לפי סוג החישוב.

  • מספר ניסיונות קבוע (ברנולי)
  • עד ההצלחה הראשונה
  • בודקים 20 מוצרים. מה ההסתברות שלפחות 2 פגומים?
  • זורקים 10 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 קליעות?
  • מטילים קובייה עד שיוצא 6. מה ההסתברות שיספיקו 3 הטלות לכל היותר?
  • מתקשרים שוב ושוב עד שעונים. מה ההסתברות שיענו בשיחה הרביעית?
  • ניגשים למבחן עד שעוברים. מה ההסתברות לעבור בניסיון השני?
  • שותלים 6 זרעים. מה ההסתברות שכולם ינבטו?
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : זורקים 10 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 קליעות? — מספר ניסיונות קבוע (ברנולי) · בודקים 20 מוצרים. מה ההסתברות שלפחות 2 פגומים? — מספר ניסיונות קבוע (ברנולי) · שותלים 6 זרעים. מה ההסתברות שכולם ינבטו? — מספר ניסיונות קבוע (ברנולי) · מתקשרים שוב ושוב עד שעונים. מה ההסתברות שיענו בשיחה הרביעית? — עד ההצלחה הראשונה · מטילים קובייה עד שיוצא 6. מה ההסתברות שיספיקו 3 הטלות לכל היותר? — עד ההצלחה הראשונה · ניגשים למבחן עד שעוברים. מה ההסתברות לעבור בניסיון השני? — עד ההצלחה הראשונה

Corrigé :

(nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

כמה הצלחות מתוך nn

(1−p)n−1p(1-p)^{n-1} p

באיזה ניסיון ההצלחה הראשונה

השאלה «כמה?» עם nn נתון היא ברנולי. השאלה «מתי?» היא עד ההצלחה הראשונה, ובה אין nn קבוע מראש.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe