Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים, מכל חלקי הפרק: בייס עם שלושה ענפים, עץ תלוי של שלושה שלבים, משוואה ריבועית ב-pp, «לכל היותר nn ניסיונות», ברנולי עם תנאי, שטח דרך המשלים והעברת כדור בין קופסאות.

בכל שאלה זהו קודם את סוג השאלה: טבלה, עץ תלוי, פרמטר, עד ההצלחה הראשונה או ברנולי. הסוג קובע את הכלי.

Exercices

Exercice 1

בספרייה עירונית שלושה סניפים. 50% מההשאלות נעשות בסניף הצפון, 30% בסניף המרכז ו-20% בסניף הדרום. ספר חוזר באיחור בהסתברות 0.10.1 בצפון, 0.20.2 במרכז ו-0.30.3 בדרום. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

הסתברות שספר אקראי חוזר באיחור: ____ , ספר חזר באיחור; ההסתברות שהושאל בצפון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הסתברות שספר אקראי חוזר באיחור: 0.17 , ספר חזר באיחור; ההסתברות שהושאל בצפון: 0.29

Corrigé :

0.5⋅0.1+0.3⋅0.2+0.2⋅0.3=0.05+0.06+0.06=0.17\begin{aligned}0.5 \cdot 0.1+0.3 \cdot 0.2+0.2 \cdot 0.3 &= 0.05+0.06+0.06 \\ &= 0.17\end{aligned}

שלושה מסלולים

0.050.17≈0.29\frac{0.05}{0.17} \approx 0.29

בייס

לצפון יש מחצית מההשאלות, אבל רק כשליש מהאיחורים. מי שענה 0.50.5 לא השתמש במידע «חזר באיחור».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בחידון שלוש שאלות. על הראשונה תלמיד עונה נכון בהסתברות 0.80.8. אחרי תשובה נכונה, ההסתברות לענות נכון על הבאה היא 0.80.8. אחרי טעות, 0.50.5. מה ההסתברות שיענה נכון על בדיוק שתי שאלות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.288

Corrigé :

0.8⋅0.8⋅0.2=0.1280.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2=0.128

הטעות בסוף

0.8⋅0.2⋅0.5=0.080.8 \cdot 0.2 \cdot 0.5=0.08

הטעות באמצע

0.2⋅0.5⋅0.8=0.080.2 \cdot 0.5 \cdot 0.8=0.08

הטעות בהתחלה

0.128+0.08+0.08=0.2880.128+0.08+0.08=0.288

שלושה מסלולים

השאלות תלויות, ולכן אין כאן ברנולי: 3⋅0.82⋅0.2=0.3843 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2=0.384 היא טעות. כל מסלול מחושב לפי הענפים שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בכל אחד משני משחקים בלתי תלויים, קבוצה מנצחת בהסתברות pp, ו-p>0.5p>0.5. ההסתברות שתנצח בדיוק באחד מהם היא 0.420.42. מצאו את pp. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

2p(1−p)=0.422p(1-p)=0.42

שני מסלולים

p2−p+0.21=0p^2-p+0.21=0

מסדרים ומחלקים ב-−2-2

p=0.3 או p=0.7\begin{aligned}p &= 0.3 \ \text{או} \ p \\ &= 0.7\end{aligned}
p=0.7p=0.7

התנאי p>0.5p>0.5

בלי התנאי p>0.5p>0.5 היו לשאלה שתי תשובות. הביטוי 2p(1−p)2p(1-p) לא משתנה כשמחליפים pp ב-1−p1-p.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.250.25, והניסיונות בלתי תלויים. מהו מספר הניסיונות הקטן ביותר nn שבשבילו ההסתברות להצליח לפחות פעם אחת היא לפחות 0.750.75?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

1−0.75n≥0.75 ⇔ 0.75n≤0.251-0.75^n \geq 0.75 \ \Leftrightarrow \ 0.75^n \leq 0.25

המשלים

0.754≈0.3160.755≈0.2370.75^4 \approx 0.316 \qquad 0.75^5 \approx 0.237

מנסים ערכים

n=5n=5

אינטואיציה של «ארבעה ניסיונות של רבע» נותנת 44, וזו טעות: 1−0.754≈0.681-0.75^4 \approx 0.68. הסתברויות של ניסיונות חוזרים לא מתחברות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בכל יום בשבוע בקיץ, ההסתברות ליום שמשי היא 0.90.9, בלי תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שבשבוע של 7 ימים יהיו לפחות 6 ימים שמשיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.85

Corrigé :

P7(7)=0.97≈0.478P_7(7)=0.9^7 \approx 0.478

כל השבוע

P7(6)=7⋅0.96⋅0.1≈0.372P_7(6)=7 \cdot 0.9^6 \cdot 0.1 \approx 0.372

בדיוק 6

0.478+0.372≈0.850.478+0.372 \approx 0.85

«לפחות 6» הם שני מקרים: 6 או 7. מי שחישב רק P7(6)P_7(6) קיבל פחות ממחצית התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים. ידוע שיצא «עץ» לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיצא «עץ» בכל שלוש ההטלות?

  1. 78\frac{7}{8}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 17\frac{1}{7}
  4. 18\frac{1}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 17\frac{1}{7}

Corrigé :

P(≥1)=1−18=78\begin{aligned}P(\geq 1) &= 1-\frac{1}{8} \\ &= \frac{7}{8}\end{aligned}

התנאי

1/87/8=17\frac{1/8}{7/8}=\frac{1}{7}

שלוש «עץ» נמצא בתוך התנאי

הנכונה: 17\frac{1}{7}. 18\frac{1}{8} מתעלם מהתנאי. התנאי משאיר 7 סדרות שוות הסתברות, ורק אחת מהן היא «עץ-עץ-עץ».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDEF

ABCDABCD ריבוע. EE אמצע הצלע ABAB, ו-FF אמצע הצלע BCBC. בוחרים נקודה אקראית בתוך הריבוע. מה ההסתברות שהיא בתוך המשולש DEFDEF? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

SAED=12⋅a2⋅a=a24\begin{aligned}S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a \\ &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

משולש ישר זווית בקודקוד AA

SEBF=a28SFCD=a24\begin{aligned}S_{EBF} &= \frac{a^2}{8} \\ \quad S_{FCD} &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

שני המשולשים האחרים

SDEF=a2−a24−a28−a24=3a28\begin{aligned}S_{DEF} &= a^2-\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{8}-\frac{a^2}{4} \\ &= \frac{3a^2}{8}\end{aligned}

הריבוע פחות שלושת המשולשים

P=38=0.375\begin{aligned}P &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

יחס שטחים

את שטח DEFDEF קשה לחשב ישירות, וקל לחשב דרך המשלים: מה שנשאר מחוץ לו הוא שלושה משולשים ישרי זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: אם AA ו-BB בלתי תלויים, אז גם Aˉ\bar{A} ו-Bˉ\bar{B} בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(Aˉ∩Bˉ)=1−P(A)−P(B)+P(A∩B)P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)

המשלים של A∪BA \cup B

=1−P(A)−P(B)+P(A)P(B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

אי-תלות

=(1−P(A))(1−P(B))=P(Aˉ)P(Bˉ)=(1-P(A))(1-P(B))=P(\bar{A})P(\bar{B})

פירוק לגורמים

הטענה נכונה. אם הידיעה ש-AA קרה לא משנה את הסיכוי של BB, גם הידיעה ש-AA לא קרה לא משנה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 אדומים ו-2 לבנים. מעבירים כדור אקראי מקופסה I לקופסה II, ואחר כך שולפים כדור אקראי מקופסה II. מה ההסתברות שהכדור שנשלף מקופסה II אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.52

Corrigé :

35⋅35=925\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}

הועבר אדום: בקופסה II יש 3 אדומים מתוך 5

25⋅25=425\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}

הועבר לבן: 2 אדומים מתוך 5

1325=0.52\frac{13}{25}=0.52

הסתברות שלמה

אחרי ההעברה יש בקופסה II 5 כדורים, לא 4. זה המכנה של הענף השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 אדומים ו-2 לבנים. מעבירים כדור אקראי מקופסה I לקופסה II, ואחר כך שולפים כדור אקראי מקופסה II. הכדור שנשלף מקופסה II אדום. מה ההסתברות שהכדור שהועבר היה אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.69

Corrigé :

9/2513/25=913≈0.69\frac{9/25}{13/25}=\frac{9}{13} \approx 0.69

בייס

המכנה הוא ההסתברות מהשאלה הקודמת. 35\frac{3}{5} הוא ההסתברות להעביר אדום לפני שיודעים מה נשלף.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe