Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: «לפחות» ו«לכל היותר», pp לא ידוע, בייס עם פרמטר, בינומית מותנית, שליפה בלי החזרה ו«ההטלה האחרונה הצלחה».

«לפחות» ו«לכל היותר» נפתרים לעתים קרובות מהר יותר במשלים. כתבו קודם אילו ערכים של XX נכנסים.

Exercices

Exercice 1

בכל יום, ההסתברות שירד גשם היא 0.30.3, בלי תלות בין הימים. מה ההסתברות שבשבוע של 55 ימי עבודה ירד גשם ב-22 ימים לפחות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.47178

Corrigé :

P(X=0)=0.75≈0.168P(X=0)=0.7^5\approx 0.168

אף יום

P(X=1)=5⋅0.3⋅0.74≈0.360P(X=1)=5\cdot 0.3\cdot 0.7^4\approx 0.360

יום אחד

1−0.168−0.360≈0.471-0.168-0.360\approx 0.47

המשלים

המשלים של «לפחות 22» הוא «00 או 11». מי שמחסר רק את P(X=1)P(X=1) או רק את P(X=0)P(X=0) שוכח מקרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

תלמיד מנחש בשאלון אמריקאי: בכל שאלה 44 תשובות, ורק אחת נכונה. בשאלון 44 שאלות. מה ההסתברות שיצדק בשאלה אחת לכל היותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.73828125

Corrigé :

P(X=0)=0.754≈0.316P(X=0)=0.75^4\approx 0.316

אף שאלה

P(X=1)=4⋅0.25⋅0.753≈0.422P(X=1)=4\cdot 0.25\cdot 0.75^3\approx 0.422

בדיוק אחת

0.316+0.422≈0.740.316+0.422\approx 0.74

מחברים

«לכל היותר 11» כולל את 00. מי שעונה 0.420.42 חישב רק «בדיוק 11».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בניסוי בינומי, ההסתברות לשתי הצלחות בשני ניסיונות היא 0.490.49. מהי ההסתברות להצלחה בניסיון אחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

p2=0.49p^2=0.49

שתי הצלחות: מסלול אחד

p=0.7p=0.7

p>0p>0

לא (21)\binom{2}{1}: «שתיים מתוך שתיים» הוא מסלול אחד בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מפעל קונה ברגים משני ספקים. חלק pp מהברגים מספק א, ש-4%4\% מהברגים שלו פגומים; השאר מספק ב, ש-1%1\% מהברגים שלו פגומים. ידוע שבורג פגום מגיע מספק א בהסתברות 0.50.5. מהו pp?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

P(A∣D)=0.04p0.04p+0.01(1−p)=0.5\begin{aligned}P(A\mid D) &= \frac{0.04p}{0.04p+0.01(1-p)} \\ &= 0.5\end{aligned}

בייס

0.04p=0.01(1−p) ⇒ 0.05p=0.01\begin{aligned}0.04p &= 0.01(1-p) \ \Rightarrow \ 0.05p \\ &= 0.01\end{aligned}

המונה שווה לחצי המכנה

p=0.2p=0.2

On résout

חצי מהפגומים מכל ספק, אבל רק 20%20\% מהברגים מספק א: הוא פגום פי 44, ולכן הוא מספק חצי מהפגומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מטילים מטבע הוגן 44 פעמים. ידוע שיצא «עץ» לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיצא «עץ» בדיוק פעם אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.26666666666666666

Corrigé :

P(X=1)=416P(X=1)=\frac{4}{16}

בדיוק פעם אחת

P(X≥1)=1−116=1516\begin{aligned}P(X \geq 1) &= 1-\frac{1}{16} \\ &= \frac{15}{16}\end{aligned}

התנאי

4/1615/16=415≈0.27\frac{4/16}{15/16}=\frac{4}{15}\approx 0.27

מותנית

בלי התנאי התשובה 0.250.25. המידע «לפחות פעם» מוחק מסלול אחד, ולכן ההסתברות עולה קצת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכד I שלושה כדורים לבנים ושניים שחורים; בכד II כדור לבן אחד וארבעה שחורים. בוחרים כד בהטלת מטבע, ושולפים ממנו שני כדורים בלי החזרה. מה ההסתברות ששני הכדורים לבנים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.15

Corrigé :

I: 35⋅24=0.3I: \ \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=0.3

בכד I, בלי החזרה

II: 0II: \ 0

בכד II יש רק לבן אחד

0.5⋅0.3+0.5⋅0=0.150.5\cdot 0.3+0.5\cdot 0=0.15

הסתברות שלמה

בלי החזרה השליפה השנייה היא 24\frac{2}{4}, לא 35\frac{3}{5}. ומהכד השני אי אפשר לשלוף שני לבנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∪B)=0.8P(A\cup B)=0.8. המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(A∩B)=0.6+0.5−0.8=0.3\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0.6+0.5-0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

מנוסחת האיחוד

P(A)⋅P(B)=0.3P(A)\cdot P(B)=0.3

מכפלה

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

שוויון

הטענה נכונה. קודם מוצאים את החיתוך מהאיחוד, ורק אז משווים למכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מטילים מטבע הוגן 55 פעמים. מה ההסתברות שיצא «עץ» בדיוק 22 פעמים, וההטלה החמישית היא אחת מהן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.125

Corrigé :

(41)⋅0.5⋅0.53\binom{4}{1}\cdot 0.5\cdot 0.5^3

«עץ» אחד בארבע ההטלות הראשונות

⋅0.5\cdot 0.5

ההטלה החמישית «עץ»

4⋅132=0.1254\cdot\frac{1}{32}=0.125

התוצאה

(52)⋅132≈0.31\binom{5}{2}\cdot\frac{1}{32}\approx 0.31 לא דורש שההטלה החמישית תהיה «עץ».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מחשבים את ההסתברות ל-22 הצלחות בדיוק ב-44 ניסיונות, כש-p=0.3p=0.3. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

p=0.3 q=0.7 n=4 k=2\begin{aligned}p &= 0.3 \\ \ q &= 0.7 \\ \ n &= 4 \\ \ k &= 2\end{aligned}
P(X=2)=0.32⋅0.72=0.0441\begin{aligned}P(X=2) &= 0.3^2\cdot 0.7^2 \\ &= 0.0441\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P(X=2)=0.32⋅0.72=0.0441P(X=2)=0.3^2\cdot 0.7^2=0.0441 → P(X=2)=(42)⋅0.32⋅0.72=0.2646P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot 0.3^2\cdot 0.7^2=0.2646

Corrigé :

(42)=6\binom{4}{2}=6

מספר המסלולים

6⋅0.0441=0.26466\cdot 0.0441=0.2646

התוצאה

שכחו את (42)\binom{4}{2}. 0.04410.0441 היא ההסתברות של מסלול אחד, למשל «הצלחה, הצלחה, כישלון, כישלון».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חנות מקבלת טלפונים משלושה מחסנים: 50%50\% ממחסן א (2%2\% מהם פגומים), 30%30\% ממחסן ב (3%3\% פגומים) ו-20%20\% ממחסן ג (5%5\% פגומים). כמה אחוזים מהטלפונים בחנות פגומים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.9

Corrigé :

0.5⋅0.02+0.3⋅0.03+0.2⋅0.050.5\cdot 0.02+0.3\cdot 0.03+0.2\cdot 0.05

שלושה מסלולים

=0.01+0.009+0.01=0.029=0.01+0.009+0.01=0.029

מחברים

2.9%2.9\%

באחוזים

ממוצע פשוט של 2%2\%, 3%3\% ו-5%5\% נותן 3.33%3.33\%, בלי המשקלים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe